PHỊNG GD&ĐT SƠNG LƠ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Cho biểu thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6;7;8 CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN 2x 2x A= − ÷: − ÷ x −1 x + x − x −1 x +1 A a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức x A b) Tìm để nhận giá trị số âm ( x + 2) A x c) Tìm giá trị nguyên để biểu thức nhận giá trị số nguyên Câu S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k ( k + 1) ( k + ) k ∈ ¥ *) a) Cho (với 4S + Chứng minh bình phương số tự nhiên x, y x3 + x + x + = y b) Tìm số nguyên thỏa mãn Câu x − 3x + + x − = a) Giải phương trình sau: m ( x − ) − ( x + m ) = 4m m b) Xác định giá trị để phương trình: có nghiệm số không lớn x, y , z x + y + z = c) Cho số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu P= thức : 1 + + 16 x y z Câu Cho tam giác ABC cạnh 2a , M ·xMy = 600 trung điểm BC quay Mx, My AB, AC M quanh đỉnh cố định cho hai tia cắt D E Chứng minh rằng: a)∆BDM : ∆CME BD.CE tích · BDE DM b) phân giác BD.ME + CE.MD > a.DE c) d) Chu vi ∆ADE ·xMy khơng phụ thuộc vào vị trí ·xMy khơng đổi quay quanh M 8×8 Câu Trong bảng ô vuông kích thước gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu ln có đánh dấu khơng có điểm chung (hai ô có điểm chung hai ô có chung đỉnh chung cạnh) ĐÁP ÁN Bài A= x −1 x ≠ 1; 1a) ĐKXĐ: Rút gọn được: A < ⇔ x −1< ⇔ x < 1b) x ⇒ x < y (1) 4 15 ( x + ) − y = x + x + = x + ÷ + > ⇒ y < x + 16 3 Từ (1) (2) ta có : Thay x < y < x + 2, x, y mà nguyên suy y = x +1 (2) y = x +1 vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm ( x, y ) ( −1;0 ) ; ( 1;2 ) Từ tìm hai cặp số thỏa mãn tốn là: x =1 x = −1 Bài x − 3x + + x − = ( 1) 3a) x ≥ 1: ( 1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = 1(TM ) + Nếu x < 1: ( 1) ⇔ x − x + = ⇔ x − x − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = +Nếu x = 1( ktm) ⇔ x = 3( ktm) Vậy phương trình có nghiệm x =1 m3 ( x − ) − ( x + m ) = 4m ⇔ ( m3 − ) x = m ( m + 2m + ) ⇔ ( m − ) ( m + m + ) x = m ( m + 2m + ) ⇔x= 3b)Ta có: 2m ( Do m−2 m + 2m + > 0) 2m ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ 2(TM ) m−2 Để nghiệm khơng lớn −2 ≤ m ≤ Vậy phương trình có nghiệm nghiệm khơng lớn 3c) Ta có: 1 1 1 y x z x z y 21 P= + + = ( x + y + z) + + ÷= + + ÷+ + ÷+ ÷+ 16 x y z 16 x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x + ≥ 16 x y Theo BĐT cô si ta có: Dấu “=” xảy z x + ≥ , 16 x z ⇔ z = 4x Tương tự: dấu “=” xảy z y + ≥1 ⇔ z = y; 4y z , dấu “=” xảy 49 ⇒P≥ x = ; y = ;z = 16 7 Dấu “=” xảy 49 MinP = ⇔ x = ; y = ;z = 16 7 Vậy ⇔ y = 2x Bài a) Ta có: · · · · · DMC = 600 + CME = 600 + BDM ⇒ BDM = CME Suy : Suy ∆BMD : ∆CEM ( g.g ) BD CM = ⇒ BD.CE = BM CM = a BM CE ∆BMD : ∆CEM ⇒ b) Vì BD CM = MD EM (không đổi) BD BM = MD ME hay · · DBM = DME = 600 ⇒ ∆BMD : ∆MED(c.g c) Lại có: · · ⇒ BDM = EDM c) Vì · · · · DBM = MCE = 600 ; BDM = CME (cmt ) suy DM · BDE phân giác BD BM ∆BMD : ∆MED ⇒ = ⇒ BD.ME = a.DM (1) DM ME ∆CEM : ∆MED ⇒ CE.MD = a.ME (2) Tương tự chứng minh được: Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: BD.ME + CE.MD = a.DM + a.ME = a.( DM + ME ) < a.DE MH , MI , MK d) Kẻ vng góc với MH = MI = MK AB, DE , AC H, I, K suy DI = DH , EI = EK ∆ADE = AH Suy chu vi a 3a BH = ⇒ AH = ·HBM = 600 BM = a 2 ADE Vì nên Suy chu vi tam giác 3a khơng đổi Suy Bài 8×8 Chi 64 ô vuông bảng thành loại hình vẽ (các loại đánh số giống nhau) Khi theo cách chia rõ ràng ô loại điểm chung Khi đánh dấu 13 điểm bất kỳ, 13 điểm thuộc loại vừa chia Vì 13 = 4.3 + nên theo nguyên lý Dirichle tồn thuộc loại, khơng có điểm chung Suy đpcm 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 ... phương trình ban đầu giải phương trình tìm ( x, y ) ( −1;0 ) ; ( 1;2 ) Từ tìm hai cặp số thỏa mãn toán là: x =1 x = −1 Bài x − 3x + + x − = ( 1) 3a) x ≥ 1: ( 1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = 1(TM ) +