067 đề HSG toán 9 hạ hòa 2015 2016

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2015 Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + x = 38 − y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Câu (4,0 điểm) ( a) Cho x + x + 2015 )( y + ) y + 2015 = 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A = x + y + 2016 b) Chứng minh rằng: Nếu ax = by = cz 1 + + = x y z ax + by + cz = a + b + c Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: ( x + x + ) = 11 x +  x( x + y ) + y − y + = b) Giải hệ phương trình:  2  y ( x + y ) − x − y = Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H S AEF = cos A a) Chứng minh ∆AEF ∆ABC đồng dạng S ABC 2 b) Chứng minh rằng: S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (2,0điểm) Cho a, b ,c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + b + c3 a + b b + c c + a P= + + + 2abc c + ab a + bc b + ca -HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………, SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Đây lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà giám khảo chấm chấm theo thang điểm Bài Nội dung Giải phương trình nghiệm nguyên: x + x = 38 − y x + x = 38 − y ⇔ x + x = 19 − 3y ⇔ 2( x + 1) = 3(7 − y ) (*) a b 0,5 0,25 0,25 0,25 Ta thấy: 2( x + 1) 2 ⇒ − y 2 ⇒ y lẻ Ta lại có: − y ≥ ⇒ y ≤ Do y = ⇒ y = ±1 Lúc đó: 2( x + 1) = 18 ⇒ ( x + 1) = ±3 nên x = 2; x = −4 Ta thấy cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên nghiệm 0,25 phương trình Ta có n4 + = n4 + + 4n2 – 4n2 0,25 2 = ( n + 2) – ( 2n) 0,25 2 = ( n – 2n + 2).( n + 2n+ 2) 0,25 Vì n số tự nhiên nên n + 2n+ > nên 0,25 n – 2n + = 0,25 n = 0,25 ( )( ) 2 Cho x + x + 2015 y + y + 2015 = 2015 Hãy tính A biết: A = x + y + 2016 ? ( ) Nhân vế đẳng thức cho với x − x + 2015 ta được: ( ) ( ) −2015 y + y + 2015 = 2015 x − x + 2015 (1) a ( ) Nhân vế đẳng thức cho với y − y + 2015 ta được: ( ) ( ) −2015 x + x + 2015 = 2015 y − y + 2015 (2) Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn ta được: x + y = Vậy A = 2016 1 0,5 0,5 0,75 0,25 b) Chứng minh rằng: Nếu ax = by = cz x + y + z = ax + by + cz = a + b + c Đặt: ax = by = cz = t Ta có: ax + by + cz = 0,25 1 t t t + + = t + + = (1) x y z x y z Mặt khác: t = x a = y3 b = z3 c 1 0,5 1 Suy ra: a + b + c = t  + +  = t (2) x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh a ( x + x + ) = 11 x + (1) ⇔ ( x + x + ) − ( x − x + ) = 11 ⇔ 6( x2 + 2x + 2) 0,5 x2 + 2x + − = 11 x2 − x + x − 2x + ( x2 + 2x + 2) ( x2 − 2x + ) 0,5 0,25 0,5 0,5 x − x + = ( x − 1) + > với x 0,5 x2 + 2x + Đặt t = (t > 0) x2 − 2x + Ta phương trình: 6t − 11t − = Giải (*) t = thỏa mãn yêu cầu Nên t = x + 2x + x + 2x + 5± = ⇔ = ⇔ x − 10 x + = ⇔ x = 2 x − 2x + x − 2x + 0,5  x + + y ( y + x) = y  x( x + y ) + y − y + = ⇔   2 2  y ( x + y ) − 2( x + 1) = y  y ( x + y ) − x − y = 2  x2 + +x+ y =4  y  ⇔ x + ( x + y ) − =7  y  u+v =  u = 4−v  v = 3, u = x2 + ⇔ ⇔ u = , v = x + y ta có hệ:  Đặt y v − 2u = v + 2v − 15 =  v = −5, u = Dễ thấy y ≠ , ta có: b  x2 + = y  x2 + x − =  x = 1, y = v = 3, u = ⇔ ⇔ +) Với ta có hệ:    x = −2, y = x+ y =3  y = 3− x  x2 + = y  x2 + = y  x + x + 46 = ⇔ ⇔ +) Với v = −5, u = ta có hệ:  VN  x + y = −5  y = −5 − x  y = −5 − x KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: (1; 2) (−2;5) 0,5 0,5 0,5 0,5 A E F H O B a D C AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC AE AF ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g c) Suy = AB AC Tam giác ABE vuông E nên cosA = 0,5 0,5 0,5 b S  AE  Từ ∆AEF : ∆ABC suy AEF =  ÷ = cos A S ABC  AB  SCDE S BDF 2 Tương tự câu a, S = cos B, S = cos C ABC ABC SDEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = − cos A − cos B − cos C Từ suy S = S ABC ABC 1,0 0,5 Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c) Chứng minh OA ⊥ EF ; OB ⊥ DF ; OC ⊥ ED 0,5 Có 2S ABC = 2.( S AEOF + S BDOF + SCDOE ) 0,5 ⇒ BC AD = OA.EF + OB.FD + OC.ED 0,5 ⇒ BC AD = R( EF + FD + ED ) 0,5 c 0,5 2 0,5 BC AD R Chu vi tam giác DEF lớn AD lớn nhất; AD lớn A điểm cung lớn BC ⇒ EF + FD + ED = a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P= + + + + + 2bc 2ca 2ab c + ab a + bc b + ac a a + bc b b + ac c c + ab Mà = − ; = − ; = − nên 2bc 2bc 2ac 2ac 2ab 2ab Với số dương x, y ta có 2+2+2 - 0,5 ≥ 0,25 0,5 = 2 Dấu xảy a = b = c a + b3 + c3 a + b b + c c + a + + + Kết luận :giá trị nhỏ P = 2abc c + ab a + bc b + ca 0,5 0,5 x y + ≥ ⇔ (x − y) ≥ đúng, dấu y x xảy x = y Áp dụng ta có:  c + ab 2ab   a + bc 2bc   b + ac 2ac  P= + + + + ÷  ÷+  ÷− 2ab c + ab 2bc a + bc 2ac b + ac       0,5 a = b = c Đính :Câu 5: P≥ 0,25