PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHĨA BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN Năm học : 2015-2016 Bài (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.x x 2.x 2008 x 2007 x 2008 Bài (2 điểm) Giải phương trình: 1) x x x 0 2 1 1 2)8 x x x x x x x x x Bài (2 điểm) CMR với a, b, c số dương, ta có: 1 1 9 a b c a b c Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2008 cho đa thức x 10 x 21 Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AC AB , đường cao AH H BC Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo AHM GB HD 3) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC ĐÁP ÁN Bài 1) x x x x x x x 1 x 1 x x 1 2) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 x x 207 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 Bài 2 2.1 x 3x x 0 1 Nếu x 1: 1 x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1) x 1: 1 x x 0 x x x 1 0 x 1 (ktm) x 1 x 3 0 x 3 ( ktm) Nếu Vậy phương trình 1 có nghiệm x 1 2.2 2 1 1 x x x x x (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 0 2 1 1 x x x x x x x x x 1 2 x x x x 16 x x x 0(ktm) x 8(tm) Vậy phương trình cho có nghiệm x Bài 3.1 Ta có: a a b b c c 1 1 A a b c 1 b c a c a b a b c a b a c c b 3 b a c a b c x y 2 y x Mà (BĐT Cơ si) Do đó: A 3 9 Vậy A 9 3.2 Ta có: P ( x) x x x x 2008 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 Đặt t x 10 x 21 t 3; t , Biểu thức P( x) viết lại P ( x ) t t 3 2008 t 2t 1993 Do chia t 2t 1993 cho t ta có số dư 1993 Bài A E B M HG D C 1) Hai tam giác ADC BEC có: C chung; CD CA CE CB (hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) Do ADC BEC Suy BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên AEB 45 , ABE vng cân A Suy : BE AB m BM BE AD BEC ADC 2) Ta có BC BC AC Mà AD AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH AB BE (do ABH CBA) Nên BC AC AC 0 Do đó: BHM BEC (c.g c) BHM BEC 135 AHM 45 3) Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn tia phân giác BAC GB AB AB ED , GC AC AC DC Suy : mà AH HD ABC DEC ED / / AH HC HC GB HD GB HD GB HD GB GC HD HC BC AH HC Do đó: GC HC