UBND HUYỆN KIM MÃ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP Bài (4 điểm) a) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho n A = 5n + + 26.5n + 82 n +1 M 59 b) Chứng minh với số tự nhiên : Bài (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + y + z − 3xyz a) x + 2011x + 2010 x + 2011 b) Bài (4 điểm) a + b = a + b2 = 20 M = a + b3 a) Cho Tính giá trị biểu thức 2 a + b + c = a + b + c = 14 N = a + b4 + c b) Cho Tính giá trị biểu thức Bài (4 điểm) ·ACD = 600 , O ABCD Cho hình thang cân có giao điểm hai đường chéo Gọi E, F ,G theo thứ tụ trung điểm Vì sao? Bài (4 điểm) Tam giác EFG tam giác ? AB, CD thứ tự trung điểm AC , BD, EF a) Chứng minh đường thẳng đồng quy AC N DE BF M b) Gọi giao điểm với theo thứ tự Chứng minh Cho hình bình hành EMFN ABCD có E, F OA, OD, BC hình bình hành ĐÁP ÁN Bài A = n + ( n + 1) + ( n + ) M 3 a) Ta phải chứng minh : A = n3 + n3 + 3n + 3n + + n3 + 6n + 12n + với n∈¢ = 3n3 + 9n + 15n + = 3n3 − 3n + 9n + 18n + = 3n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 2n + 1) n ( n − 1) ( n + 1) M ⇒ 3n ( n − 1) ( n + 1) M Nhận thấy AM Vậy b)5n + + 26.5n + 82 n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82 n ( n + 2n + 1) M = 5n ( 59 − ) + 8.64n = 59.5n + ( 64 n − 5n ) 59.5n M 59 Vậy n+2 8.( 64n − 5n ) M ( 64 − ) = 59 + 26.5n + 82 n+1 M 59 Bài a / x3 + y + z − xyz = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) + z − 3xyz = ( x + y + z ) − z ( x + y ) ( x + y + z ) − xy ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( x + y + z ) − z ( x + y ) − 3xy = ( x + y + z ) x + y + z + xy + yzz + xz − zx − zy − xy = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) b / x + 2011x + 2010 x + 2011 = x + x3 + x + 2010 x + 2010 x + 2010 − x3 + = x ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) − ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x + 2010 − x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2011) Bài a + b = 20 ⇒ ( a + b ) − 2ab = 20 ⇒ ab = −8 a) Từ M = a + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) = 23 − ( −8 ) = 56 a + b + c = 14 ⇒ ( a + b + c ) = 196 b) Từ ⇒ a + b + c = 196 − ( a 2b2 + b 2c + c a ) a + b + c = ⇒ ( a + b + c) = Ta lại có: ⇒ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = ⇒ ab + bc + ca = −7 ⇒ ( ab + bc + ca ) = 49 ⇒ a 2b + b 2c + c a + 2abc ( a + b + c ) = 49 ⇒ a 2b + b 2c + c a = 49 Do đó: N = a + b + c = 196 − ( a 2b + b2c + c a ) = 196 − 2.49 = 98 Bài Do ABCD hình thang cân Chứng minh Xét ∆BFC ∆BFC Chứng minh suy vuông F vng F có: ∆BEC ·ACD = 600 FG = BC vng E có EG = BC ∆OAB ∆OCD tam giác ∆AOD ⇒ EF = Xét EF đường trung bình Suy EF = EG = FG ⇒ ∆EFG 1 AD ⇒ EF = BC 2 (ABCD hthang cân) Bài a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành BD Chứng minh Có O Vậy BEDF ABCD, hình bình hành trung điểm BD nên O trung điểm EF EF , BD, AC b) Xét ∆ABD đồng quy O có M trọng tâm, nên OM = OA ta có O trung điểm Xét ∆BCD ON = OC có N trọng tâm, nên OA = OC OM = ON Mà nên OM = ON , OE = OF EMFN Tứ giác có nên hình bình hành