PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) (ĐỀ CHÍNH THỨC) Câu (4,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x( x 2)( x x 2) b, x 2016 x 2015 x 2016 Câu (3,5 điểm): 3 a, Cho a +b +c 0 a + b + c = 3abc Tính N = a 2016 b 2016 c 2016 a b c 2016 b, Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Câu (4,5 điểm): Giải phương trình sau: a, x (2 x 3)( x 5) 23 b, x x 20 + x 11x 30 + x 13 x 42 = 18 Câu (6,0 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 AB CD MN c, Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu (2,0 im) Cho a, b, c số dơng Chứng minh bất đẳng thức: a2 b c + b2 ca + c2 a b a b c -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn : Tốn lớp (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Tóm tắt đáp án 2 Điểm 0,5 a) x( x 2)( x x 2) 1 ( x x)( x x 2) ( x x )2 2( x x) = ( x x 1) Câu (4,0đ) 0,5 0,5 ( x 1) b) x 2016 x 2015 x 2016 = x x 2016( x x 1) = x( x3 1) 2016( x x 1) = x( x 1)( x x 1) 2016( x x 1) = ( x x 1) x( x 1) 2016 = ( x x 1)( x x 2016 Câu a) a3 + b3 + c3 = 3abc (3,5đ) a3 b3 c3 3abc 0 4 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a b3 3ab(a b) c 3ab(a b) 3abc 0 a b c 3ab(a b c) 0 2 0,5 (a b c)( a 2ab b ac bc c ) 3ab( a b c) 0 (a b c)( a b c ab ac bc) 0 a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( a +b +c 0) 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = Vì (a – b)2 a, b; (b – c)2 b,c; (c – a)2 a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 a=b=c Mà a +b +c a = b = c (*) Thay (*) vào N ta có: N 0,5 0,5 a 2016 a 2016 a 2016 2016 3a 2016 2016 a a a 3a 2 b) Giả sử n 4n 2013 m , m 2 Suy n 2009 m m n 2009 m n m n 2009 3a 2016 2015 2016 (3a) Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau xảy ra: 0,5 0,5 0,5 m n 2009 m n 1 m 1005 n 1002 m n 287 m 147 TH2: m n 7 n 138 TH1: m n 49 m n 41 TH3: 0,5 m 45 n 2 Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu (4,5đ) a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 hoc x+8 =0 x=-5 hoc x=-8 b)Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x 4; 5; 6; 7 ) 1 1 = ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 ( )+( )+( )= x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 = (x + 4)(x +7) = 54 x 4 x 7 18 (x + 13)(x – 2) = x = -13 x = (Thỏa mÃn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phơng trình là: S = 13; 2 Câu (6đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B A O M N C D a)( 2,0 điểm) Lập luận để có OM OD AB BD Lập luận để có OD OC DB AC OM ON AB AB , 0,75 ON OC AB AC 0,75 0,5 OM = ON b)( 2,0 điểm) OM DM OM AM ADC để có (1), xét AB AD DC AD 1 AM DM AD 1 Từ (1) (2) OM.( AB CD ) AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB CD ) 1 Xét ABD để có (2) 0,75 0,75 1 từ có (OM + ON) ( AB CD ) 2 1 AB CD MN 0,5 c)( 2,0 điểm) Từ ΔCBHΔEAHCBH ΔCBHΔEAHEAH ( cmt) 2 SΔCBHΔEAHCBH SΔCBHΔEAHCBH BC BC = = = nên BC2 = (2AE)2 (gt) , mà S SΔCBHΔEAHEAH AE ΔCBHΔEAHEAH AE BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Chứng minh 0,5 S AOD S BOC S AOB S DOC ( S AOD ) Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2 SAOD = 2015.2016 Do SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (đơn v DT) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp sè a2 b c a2 b c Suy b2 ca Câu T¬ng tù (2đ) c2 a b + 0,5 b c a- a2 b c a2 b c bc , =2 b c a a c c- a b 0,5 không âm ta có : 0,5 =a b c b- 0,5 0,5 0,5 Céng vÕ theo vế ba bất đẳng thức ta đợc : a2 b c VËy a2 b c + + b2 ca b2 ca + + c2 a b c2 a b (a+b+c)- a b c a b c = a b c (®pcm) Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ) 0,5