111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THIỆU HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a 1 a 4a a 4a a 8a 4a 16 M : a3 a 1 4a a2 3a a 1 1) Rút gọn M Tìm a để M 5a 2) Cho a, b, c đôi khác khác Cho a b c 0 a b a b b c c a c N 1 a b a b b c c a c Tính Câu (4,0 điểm) x3 1) Giải phương trình : x3 x 1 3x2 28 0 x 2 2) Tìm hai số x, y thỏa mãn hai điều kiện sau x xy 10 y 0 x y 10 Câu (4,0 điểm) 2 2 2 1) Tìm số x, y nguyên thỏa mãn x y 3xy x 3xy x y 3xy y y 0 2) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Câu (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB cố định có O trung điểm Trên đường thẳng vng góc với AB A, lấy điểm C cho AC AO Kẻ AK vng góc CO K, điểm D đối xứng với A qua K Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BD E Kẻ DH vng góc với AB H, DH cắt BC I a) Chứng minh CD EO b) Chứng minh KI qua trung điểm BD c) Kẻ IN vng góc với AC N, kẻ DM vng góc với AC M, DM cắt CO J Chứng minh tứ giác JNOI hình bình hành Khi C di chuyển (sao cho AC AO) 2 Tính giá trị nhỏ NI OJ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ A a 1 b 1 c 1 b2 1 c a ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a 1 a 4a a 4a a 8a 4a 16 M : a3 a 1 4a a2 3a a 1 3) Rút gọn M Tìm a để M 5a ĐK: a 0; a 1 Ta có : a 1 a 4a a 4a a 8a 4a 16 M : a3 a 4a a2 3a a 1 4a a 8a 4a 16 a a 4 a 4 2 Khi M 5a a 5a a 5a a 4) Cho a, b, c đôi khác khác Cho a b c 0 a b a b b c c a c N 1 a b a b b c c a c Tính a b b c c a c a b x; y; z ; ; a b a b x b c y c a z Đặt c 1 1 N x y z x y z Ta có 1 1 yz xz xy N x y z 4 y z Ta lại có : x y z x yz b c c a c b bc ac a c x b a b ab a b a c a b c a b c c a b c 2c a b c 2c ab a b ab ab ab x z 2a x y 2b ; bc z ac Cmtt ta có : y 1 1 2c 2a 2b 2 N x y z 4 4 a b3 c ab bc ac abc x y z 3 Vì a b c 0 a b c 3abc , Do 1 1 N x y z 4 3abc 4 10 abc x y z Vậy N=10 Câu (4,0 điểm) x3 3) Giải phương trình : 3x x 28 0 x 1 x x3 x3 x 1 3x2 28 0 x x 1 x x x 3x x x x 28 0 x 1 x x 1 x x2 x2 x2 3x 27 1 33 x 1 x 1 x x x2 x2 3 4 x x 0 x 2(tm) x x 2 4) Tìm hai số x, y thỏa mãn hai điều kiện sau x xy 10 y 0 x y 10 2 Từ 10 x y Thay vào x xy 10 y 0 ta có : x xy x y y 0 x3 xy x y y 0 x x y x y xy xy y 0 x y x xy y 0 y 1 x 2 2 x 2 y y y 12 y 1 y x x xy y 0 x y 11 y 0 x y 0 2 Câu (4,0 điểm) 2 2 2 3) Tìm số x, y nguyên thỏa mãn x y 3xy x 3xy x y 3xy y y 0 2 2 2 Từ x y 3xy x 3xy x y 3xy y y 0 x xy y y 1 1 1.1 x xy 1 Th1: y y 1 x 1 y 2 x 5 y 1 x 3x 0(VN ) 2 x 3xy y 0 x 0(VN ) Th : y y y 1 x x 0(VN ) x; y 1; ; 5; Vậy phương trình có nghiệm ngun 4) Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Gọi abcd số phải tìm ( a, b, c, d N , a, b, c, d 9, a 0) Ta có : abcd k k , m N ,31 k m 100 a 1 b 3 c d 3 m abcd k m k 1353 abcd 1353 m m k m k 123.11 41.33 k m 200 m k 123 m k 41 m 67; k 56 hoac m k 11 m k 33 m 37; k 4 Vậy số cần tìm 3136 Câu (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB cố định có O trung điểm Trên đường thẳng vng góc với AB A, lấy điểm C cho AC AO Kẻ AK vng góc CO K, điểm D đối xứng với A qua K Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BD E Kẻ DH vng góc với AB H, DH cắt BC I E C M N A D J I K O H B d) Chứng minh CD EO Chứng minh CO / / BE (cùng vng góc với AD) Chứng minh ACO OEB(ch gn) AC OE Mà AC CD (CO trung trực AD) CD EO e) Chứng minh KI qua trung điểm BD IH BH DH BH DH / / EO CA BA , EO BO Do BH BH IH DH Mà BA BO nên CA EO Mà CA EO IH DH Suy hay I trung điểm DH, mà K trung điểm AD nên IK//AB IK Suy qua trung điểm BD IN f) Kẻ vng góc với AC N, kẻ DM vng góc với AC M, DM cắt CO J Chứng minh tứ giác JNOI hình bình hành Khi C di chuyển (sao cho AC AO ) Tính giá trị nhỏ NI OJ IH / / AC Do AMDH hình chữ nhật có I trung điểm DH IN vng góc với MA nên N trung điểm AM K trung điểm AD nên I , K , N thẳng hàng Chứng minh JKD OKA KJ KO Chứng minh NKA IKD KN KI Suy tứ giác NJIO hình bình hành Chứng minh NI AH , JO BD 2 2 Ta có NI JO AH BD Chứng minh BD BH AB nên : NI JO AH BH AB AH AB AH AB AH AB AH AB 2 AH AB AB AB 2 Min ( NI JO ) AB AH AB Vậy Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ A a 1 b 1 c 1 b2 1 c 1 a 1 Sử dụng bất đẳng thức Co si ta có : b a 1 b a 1 a 1 b ab a a a 1 2 b 1 b 1 2b b 1 c bc c 1 a ca b c 2 3 2 , , 2 Cmtt : c a Từ suy a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 b 1 c 1 a 1 2 2 2 ab bc ca a b c 9 Mặt khác : a b c ab bc ca hay Do Vậy A A a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 3 b 1 c 1 a 1 2 a 1 b 1 c 1 3 b2 1 c 1 a 1 Dấu xảy a b c 1