Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG THCS QUAN HÓA ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện của x để xác định b) Rút gọn biểu thức c) Với những giá trị nguyên nào của thì[.]
TRƯỜNG THCS QUAN HĨA ĐỀ THI VỊNG II OLYMPIC NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN x x x x x 19 K x2 x x x 1 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để K xác định b) Rút gọn biểu thức K c) Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị ngun ? Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x x x 3x 0 1 1 b) x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh với n n n 30 2 b) Tìm x, y Z cho x xy y 7 AC AB AH H BC , đường cao Câu (6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB b) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD c) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC không Các điểm H , G , O theo thứ tự giao điểm ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực tam giác ABC Chứng minh ba điểm H , G , O thẳng hàng ĐÁP ÁN x x x x x 19 K x x 1 x2 x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện x để K xác định K xác định x 1, x 0 e) Rút gọn biểu thức K x x x x x 19 K x2 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 19 x x 1 x 1 x x x x x x x 19 x x 19 x 19 x2 x x 1 x x x K f) Với giá trị nguyên biểu thức có giá trị ngun ? x 19 x 0 19 K x 1 * 1 x x Ta có : Vì x Z,k Z 19 Z x U 19 1; 19 x Kết hợp vs điều kiện (*) ta có x 19 x 19; 19 K nguyên Vậy với Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x 3x x 3x 0 x x x 1 x x x 1 x x 1 0 x 0 x x x 1 x x 1 0 x x 1 x 1 0 x x 0(VN ) S 1 Vậy phương trình có tập nghiệm 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 1 1 x x x 3 x x x x x b) 1 1 1 1 x 2 x 3 x 3 x 4 x 5 x 6 x 5 x 6 1 x 6 x x 2 x 6 x x 12 x 10(tm) x x 12 32 x x 20 x 10 x 0 x 2(tm) Câu (4,0 điểm) c) Chứng minh với n n n30 Ta có : Ta có : n5 n n n 1 n n 1 n 1 n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 )n n 1 n 1 n n 30 (do 2,3,5 1) 1 )5n n 1 n 1 5, 5n n 1 n 1 30 Từ (1) (2) suy n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 30 n n 30 2 d) Tìm x, y Z cho x xy y 7 x xy y 7 x xy xy y 7 x x y y x y 7 x y x y 7 1.7 7.1 x 3; y 1(tm) x ; y 13 (ktm) 5 x 3; y 1(tm) x ; y 13 (ktm) x; y 3; 1 , 3;1 5 Ta lập bảng có kết Vậy AH H BC AC AB ABC Câu (6,0 điểm)Cho tam giác vuông A , đường cao HC HD HA BC AC Trên tia lấy điểm D cho Đường vng góc với D cắt E A E M 1 B H G D C d) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB BAC EDC 90 , C Xét ABC DEC có : chung ABC ∽ DEC ( g g ) BC AC BC EC EC DC AC DC Xét BEC ADC có : BC EC (cmt ) BEC ∽ ADC (c.g c ) AC DC D1 45 ADC 135 AHD C chung , Ta có Mà vng cân H (gt) (hai góc kề bù) BEC ADC BEC ∽ ADC BEC 135 E1 45 (hai góc kề bù) mà ABE vuông A AE AB m ABE vuông A Áp dụng định lý Pytago vào ABE vng A, ta có : BE AB AE BE m m m e) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Xét HAB ACB có : AHB BAC 90 , ABC chung AB HB AB HB.HC 1 BC AB ABE vuông cân A, AM trung tuyến nên AM đường cao AB BM BE HAB ∽ ACB ( g.g ) (chứng minh tương tự trên) BH BM BE BC Từ (1) (2) suy BH BM Xét BHM BEC có : B1 chung; BE BC (cmt) BHM ∽ BEC (c.g.c) BHM BEC 135 AHM 45 AHB 90 ABE cân A, AM đường trung tuyến nên AM phân giác BAE GB HD f) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC BG AB 3 Ta có : Trong ABC có AG phân giác BAC GC AC (tính chất) AB AC AB DE ABC ∽ DEC 4 DE DC AC DC Mặt khác DE DC DE AH BC ) 5 AH HC (hệ Talet) DC HC Trong AHC có : DE / / AH (cùng BG AH BG AH 3 , , GC HC BG GC AH HC Từ BG HD AH HD BC AH HC HB.HC BM BE Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC không Các điểm H , G, O theo thứ tự giao điểm ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực tam giác ABC Chứng minh ba điểm H , G, O thẳng hàng A H G O C B D Gọi D điểm đối xứng với A qua O OA OB OC OD (=bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC ) Xét ABD có OA OB OD ABD vuông B nên AB BD Chứng minh tương tự ta có : AC CD Xét tứ giác BHCD có: BH / / CD( AC ) BHCD CH / / BD AB hình bình hành Mà M trung điểm BC nên M trung điểm HD OM GM AH mà AG (G trọng tâm ABC ) Xét AHD có : OM đường trung bình OM GM AG AH AH AG MG MO AG AH A1 M ( slt AH / /OM ); cmt MG MO Xét AGH MGO có : AGH ∽ MGO (c.g c) G1 G2 mà G1 G2 180 nên G2 G3 180 H , G, O thẳng hàng