PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÒA AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 Mơn: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 3x x 3x 5 15 11 x x Câu (4 điểm) Giải phương trình: 5 x 81 16 64 x2 x x2 x x x x x Câu (2 điểm) Tìm số dư phép chia đa thức x x x x 2010 cho đa thức x 10 x 21 Câu (6 điểm) Cho đa thức ABC vuông A AC AB , đường cao AH H BC Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh rằng: BEC : ADC Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM , BEC đồng dạng Tính số đo ·AHM GB HD Tia AM cắt BC G Chứng minh : BC AH HC Câu (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vng góc với AC ( H AC ) Gọi M trung điểm AH , K trung điểm CD Chứng minh rằng: BM MK ĐÁP ÁN Câu x 3x x 3x 5 15 1.1 Đặt t x 3x , ta có: x x x x 15 8t 7t 15 8t 8t 15t 15 8t t 1 15 t 1 t 1 8t 15 Thay t x 3x vào đa thức ta có: x 3x x 3x 15 x 3x 1 8 x 3x 15 x 3x x 24 x 55 1.2 x11 x x11 x10 x9 x10 x9 x8 x8 x x x x x x x x x x x x x 1 x9 x x 1 x8 x x 1 x x x 1 x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x x8 x x x 1 Câu 2.1 5 x 81 16 64 3 81 5 x 16 64 5 x 16 8 16 23 x x2 x x2 x x¡ 2.2 x x x x 2 DK : t Đặt t x x x x t 1, Phương trình trở thành: t t 1 t 1 t 6t t t 1 t 1 7t (t 1) t t 1 t 6t t 1 6t 12t 6t 12t 7t 7t 5t 17t t 3(TM ) 2 t 3 t t (ktm) 5 x t x2 x x 2 Với Vậy nghiệm phương trình : x 0; x 2 Câu P ( x) x x x x 2010 x 10 x 16 x 10 x 24 2010 Ta có: Đặt t x 10 x 21, biểu thức P( x) viết lại: P ( x) t t 3 2010 t 2t 1995 Do chia t 2t 1995 cho t ta có số dư 1995 Câu µ · · 4.1 CDE CAB có: C chung; CDE CAB 90 CD CE CD CA CDE : CAB CA CB CE CB Hai tam giác ADC BEC có: CD CA (cmt ) µ ADC : BEC (c.g.c) C chung; CE CB · · Suy : BEC ADC 135 (Vì AHD vng cân H theo giả thiết) · Nên AEB 45 , ABE vng cân A Suy BE AB m BM BE AD 4.2 Ta có: BC BC AC (do BEC : ADC ) Mà AD AH ( AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH ( Do BHM : CBA) BC AC AC BE AB Nên 0 · · · Do đó: BHM : BEC (c.g c) BHM BEC 135 AHM 45 4.3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn tia phân giác góc BAC GB AB AB ED ABC : DEC GC AC AC DC Suy mà ED AH ED / / AH DC HC Ta lại có: ED AH HD HD HC DC HC HC Mà GB HD GB HD GB HD GC HC GC GB HC HD BC HC AH Câu Gọi O trung điểm đoạn thẳng BH Ta có M , O trung điểm AH , BH nên: MO đường trung bình HAB MO AB, MO / / AB Vậy AB CD, AB / /CD, KC CD Mà Do đó: MO KC , MO / / KC , suy tứ giác MOCK hình bình hành Từ có: CO / / MK Ta có: MO / / KC , KC CB MO CB Tam giác MBC có MO CB, BH MC nên O trực tâm MBC CO BM Ta có: CO BM CO / / MK nên BM MK