PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử b) Cho (số gồm 2018 chữ số 9), (số gồm 2018 chữ số 9)[.]
111Equation Chapter Section 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x y xy 3x y 2 b) Cho a 999 (số gồm 2018 chữ số 9), b 0,9999 (số gồm 2018 chữ số 9) Chứng minh a b bình phương số hữu tỉ Bài (4,5 điểm) M x3 x x x x x2 x : x2 x 1 x3 x x x2 a) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức M tính giá trị biểu thức M x nghiệm phương trình x 2 x b) Đa thức f x chia đa thức chia cho x dư 2014, chia cho x dư -2018 Tìm dư phép f x cho x x 10 Bài (4,5 điểm) 1 1 a) Giải phương trình : x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 2x 2x m 4 b) Tìm giá trị m để phương trình ẩn x: x x có nghiệm c) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x y x y 0 Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vng góc với CM H Đường thẳng qua H vng góc với DH cắt cạnh BC N Chứng minh : a) BC CH CM b) DHC ∽ NHB c) MN / / AC d) Khi M thay đổi cạnh AB đường thẳng kẻ qua M vng góc với DN qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh Chứng minh ln tồn đường chéo đa giác lồi không song song với cạnh đa giác ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) 2 c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x y xy x y x y xy x y x xy y x y x y 1 2 x y x y x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 x y d) Cho a 999 (số gồm 2018 chữ số 9), b 0,9999 (số gồm 2018 chữ số 9) Chứng minh a b bình phương số hữu tỉ a b 10 2018 102018 1 1 2018 10 2018 (Đặt x 10 ) x x 1 x 1 a b x 1 1 1 x x 1 x2 x x a b 1 2 1 x 1 x x x2 x2 x 1 dfcm x Bài (4,5 điểm) M x3 x x x x x2 x : x2 x 1 x3 x x x2 c) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức M tính giá trị biểu thức M x nghiệm phương trình x 2 x ĐKXĐ: x 0; x 1; x 2 M x3 x x x x x2 x : x x 1 x3 x x x2 x x x x 1 x x 1 x x 1 x2 x x x 1 1 2x x 1 x x 1 x2 x ( x 1).x x2 x x ( x x 1).(1 x ) x x x 2 x x 0(ktm) x 2(tmdk ) M d) Đa thức f x chia cho x dư 2014, chia cho x dư -2018 Tìm dư phép chia đa thức x x 10 x x f x cho x x 10 Ta có f x x x q x r x Vì bậc r(x) nhỏ nên đặt Vì f x r x ax b chia cho x dư 2014,chia cho x dư – 2018 nên : f 5a b 2014 a 576 b 866 f 2a b 2018 Vậy đa thức dư cần tìm 576 x 866 Bài (4,5 điểm) 1 1 d) Giải phương trình : x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 1 1 x 4; 5; 6; x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 1 x x x 5 x x x 18 1 1 1 1 1 x x x x x x 18 x x 18 x 13(tm) x 11x 26 0 x 11x 28 18 x 2(tm) 2x 2x m 4 e) Tìm giá trị m để phương trình ẩn x: x x có nghiệm x 1; x ĐKXĐ: 2x 2x m 4 x x 1 x m x 4 x x 1 x x 1 m x 2m * Khi m phương trình (*) vơ nghiệm 2m x m Khi m phương trình (*) có nghiệm 2m m 10 m 2m 2 Theo ĐKXĐ ta có m 10 m , m Vậy phương trình có nghiệm f) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x y x y 0 x xy x y 0 x y x x * x y x y 0 Khi x=2 phương trình (*) vơ nghiệm x2 4x y x x x Khi x 2 phương trình (*) x U (4) 1;1; 2; 2; 4; 4 ( x; y ) 1;3 , 3; , 0; ; 4;0 ; 2; ; 6;3 Để y nguyên Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ BH vng góc với CM H Đường thẳng qua H vuông góc với DH cắt cạnh BC N B M K A N C H D Chứng minh : e) BC CH CM Xét hai tam giác vuông CHB CBM có : BCH chung CHB ∽ CBM ( g g ) CH CB CB CH CM dfcm CB CM f) DHC ∽ NHB Ta có : DHC NHB (cùng phụ với NHC ); DCH NBH (cùng phụ với BCH ) DHC ∽ NHB ( g g ) g) MN / / AC DHC ∽ NHB DC HC BC HC 1 NB HB NB HB Xét hai tam giác vng CBH & BMH có : BCH MBH (cùng phụ với HBC ) CBH ∽ BMH ( g g ) CB CH 2 BM HB Từ (1) (2) suy NB NM BMN vuông cân B nên BNM 45 mà BCA 45 nên MN / / AC h) Khi M thay đổi cạnh AB đường thẳng kẻ qua M vng góc với DN qua điểm cố định Gọi K giao điểm đường thẳng kẻ qua M vng góc với DN với AB Vì NB MB NC MA 3 KMA KDN (cùng phụ với MKA)) mà CND KDN (vì BC//AD) nên CND KMA Từ 3 , MAK NCD( g.c.g ) AK CD không đổi Suy K điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh Chứng minh tồn đường chéo đa giác lồi không song song với cạnh đa giác Giả sử đường chéo đa giác lồi 24 cạnh song song với cạnh đa giác 24.(24 3) 252 Số đường chéo đa giác 24 cạnh : Vì 252 : 24 dư 10 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn 11 đường chéo song song với cạnh Ai Ai 1 đa giác ( i 24) Vì đường chéo nối hai đỉnh không kề đa giác suy số đỉnh đa giác lớn 11.2 24 (trái giả thiết) Suy điều giả sử sai Vậy đa giác lồi 24 cạnh tồn đừng chéo đa giác lồi không song song với cạnh đa giác