089 đề hsg toán 8 tiền hải 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4 điểm) 1) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A và chứng minh 2) Tìm và sao cho hai đa thức và cùng[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1.(4 điểm)  x  x  x3  x  x    x   x  x  A 1      x3 2x   1 x  1) Cho biểu thức A Rút gọn biểu thức A chứng minh f  x  4 x  3x  x  2a  3b a b 2) Tìm cho hai đa thức g  x  5 x  x  3x  x  3a  2b x  3 chia hết cho đa thức  Bài (4 điểm) x x  x  x  10 128    1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :  2) Chứng minh với số tự nhiên x giá trị biểu thức sau ln viết tổng hai số phương: 2 A x   x  1   x     x  3 Bài (3,5 điểm) 2mx  m  1) Tìm giá trị m để phương trình ẩn x : x  có nghiệm 2x 9x  6 2) Giải phương trình x  x  x  x  3) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình x  xy 6 x  y  Bài (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, AC BD cắt O Gọi M trung điểm cạnh BC , N trung điểm cạnh CD AN cắt DM I Chứng minh : 1) AN  DM DO DI DM 2)BI BA IBC 2ICD 3) IM phân giác góc OIC Bài (1,0 điểm) Cho 1010 số nguyên dương phân biệt, số không vượt 2018 Chứng minh số ln tồn hai số có tổng 1009 ĐÁP ÁN Bài 1.(4 điểm)  x  x  x3  x  x    x   x  x  A 1      x2  x3 2x    3) Cho biểu thức A Rút gọn biểu thức A chứng minh ĐKXĐ: x 1; x  x  x  x  1   x   x  x  x2  x  A 1   2x    x    x    x    x  x2    x  x    x  1 x   x  x    x  1   x   x   x  1  1     2x   1 x 1 x   x    x  x      x  1  x  1 x  x  1  x  1  x   x   x  1  1    2x     x    x    x    x  x    x  1 1  x  x  x  x  x   x   x  1  x  x  x  1  x   x   x  1 1    1   2x  2x    x    x  x2   1 x 1 x  x   x  x2  x  x2   2 1 x  x x  x 1 Vậy với điều kiện Ta có x 1; x  1 A 2 x  x 1 2   x  1 4   x  x  1  x  x  A      0 x  x 1   x  x  1  x  x  1  3 3 x         x   A  ( dfcm) Khơng có dấu xảy f  x  4 x3  x  x  2a  3b a b 4) Tìm cho hai đa thức g  x  5 x  x  x  x  3a  2b Vì đa thức Ta có :  x  3 f 0 chia hết cho x  nên   4.33  3.32  2.3  2a  3b 0  a  3b  87  1 Vì đa thức Ta có f  x chia hết cho đa thức g  x g 0 chia hết cho x  nên   5.34  4.33  3.32  2.3  3a  2b 0  3a  2b 318    2a  3b  87   a  b  318  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  a 60  b  69 Vậy a 60, b  69 Bài (4 điểm) 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x  x    x    x  10   128 x  x    x    x  10   128  x  10 x   x  10 x  24   128  x  10 x  12  12   x  10 x  12  12   128 2  x  10 x  12   144  128  x  10 x  12   16  x  10 x  12    x  10 x  12    x  10 x  16   x  10 x    x    x    x  10 x   4) Chứng minh với số tự nhiên x giá trị biểu thức sau ln viết tổng hai số phương: 2 A x   x  1   x     x  3 2 A  x   x  1   x     x  3 2  x  x  x   x  12 x  12  x  24 x  36 10 x  40 x  50  x  10 x  25    x  30 x  25  2  x     x   (dfcm) Bài (3,5 điểm) 2mx  m  4) Tìm giá trị m để phương trình ẩn x : x  có nghiệm ĐKXĐ: x 1 Với điều kiện ta có: 2mx  m   2mx   m    x  1 x  2mx  mx  m  x   mx  x 3  m  x  m   3  m  1 Tìm m  phương trình (1) có nghiệm Phương trình cho có nghiệm : x 3 m m2 3 m 1   m m   m  m2 m  2; m  phương trình cho có nghiệm Vậy 2x 9x  6 5) Giải phương trình x  x  x  x  3 x 1; x  Ta thấy x 0 nghiệm phương trình : ĐKXĐ: Xét x 0 ta có : 2x 9x  6   6 3 x  5x  x  x  2x   2x  1 x x x   t  6 x Đặt , ta có phương trình t  t  2  t    2t   9t  18 6t  24  6t  11t  10 0    t 5  2   x  x   (VN )     x  (tm)  2x   5     x  x 2(tm)  3  S  ;  4  Tập nghiệm phương trình 3) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình x  xy 6 x  y  x  xy 6 x  y   x  x  xy  y  y  x  5 x  x  Xét x 5  PTVN Xét Vì x 5  y  x2  x  x   x x y  Z  x  Z   x    U (3)  1; 3  x   2; 4;6;8  y   0;0;8;8 Vậy cặp giá trị (x;y) cần tìm  2;  ;  4;0  ;  6;8 ;  8;8  Bài (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, AC BD cắt O Gọi M trung điểm cạnh BC , N trung điểm cạnh CD AN cắt DM I Chứng minh : A B O M I D N 1) AN  DM DO DI DM C K Chứng minh AND DMC (c.g c)  DAN CDM DIN ∽ DCM ( g g )  DI DM DN DC  1 Chứng minh AN  DM , chứng minh DO  DC DN DC   Chứng minh Từ (1) (2)  DO DI DM 2)BI BA IBC 2ICD Gọi K giao điểm IM với AB Chứng minh CDM BKM ( g.c.g )  CD BK  AB BK  AIK vng I có IB trung tuyến nên IB  AB(dfcm) IB  AB  BI BC  BIC cân B  IBC 180  2BCI 2BCD  2BCI 2  BCI  ICD   2BCI 2ICD  *dfcm  3) IM phân giác góc OIC MN , OM đường trung bình CBD  MN / / DB / / CD  MNC 45 , BOM 45  DI DM DO  DNM ∽ DIC (c.g c)  DIO DOM  OIM BOM 45  OIM MIC 45 Nên IM phân giác OIC Bài (1,0 điểm) Cho 1010 số nguyên dương phân biệt, số không vượt 2018 Chứng minh số ln tồn hai số có tổng 1009 Xét tập A  a1 ; a2 ; ; a1010  B  b1; b2 ; b3 ; ; b1010  với i   1; 2; ;1010 thỏa mãn ai 2018 tập bi 2019   bi 2018i   1; 2;3; ;1010 Tổng số phần tử hai tập hợp A B 2.1010 2020 mà số , bi thuộc tập số nguyên từ đến 2018 gồm 2018 phần tử Do số phân biệt với nhau, số bi phân biệt với nên có số tập A trùng với số tập B Xét trường hợp am bm  am 2019  am  2am 2019 (vô lý) Xét trường hợp am bn (m khác n)  am 2019  an  am  an 2019 Vậy tập hợp A có cặp số có tổng 2019 ... Z  x  Z   x    U (3)  1; 3  x   2; 4;6 ;8? ??  y   0;0 ;8; 8 Vậy cặp giá trị (x;y) cần tìm  2;  ;  4;0  ;  6 ;8? ?? ;  8; 8  Bài (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, AC BD cắt O Gọi M...   x  10   1 28 x  x    x    x  10   1 28  x  10 x   x  10 x  24   1 28  x  10 x  12  12   x  10 x  12  12   1 28 2  x  10 x  12   144  1 28  x  10 x ...  3b  87  1 Vì đa thức Ta có f  x chia hết cho đa thức g  x g 0 chia hết cho x  nên   5.34  4.33  3.32  2.3  3a  2b 0  3a  2b 3 18    2a  3b  87   a  b  3 18  Từ