PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGŨ HÀNH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP Bài (1,50 điểm) 2a + a ( a + 1) a) Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.2012 + M= + + + + 2 2 ( 12 + 1) ( 22 + ) ( 32 + 3) ( 20122 + 2012 ) b) Cho M −1 b) Tìm giá trị để P =2 c) Giải phương trình Bài (1,00 điểm) 1 Q= + 2 a > 0; b > a + b = 10 a b Cho Tìm giá trị nhỏ Bài (3,00 điểm) AB = 2a; AC = 3a; BC = 4a ABC AD Cho tam giác có Đường phân giác ABC BE cắt I Gọi M trung điểm AC, G trọng tâm tam giác a a) Tính độ dài đoạn thẳng BD theo b) Chứng minh IG / / AC c) Tính tỉ số diện tích tứ giác EIGM ∆ABC ĐÁP ÁN Bài 2a + a ( a + 1) a) b) 2a + (a + a) 2 = = a + 2a + − a a ( a + 1) 2 a + 1) − a ( = = ÷ − ÷ a a +1 a ( a + 1) 1 − a ( a + 1) 1 1 1 + − + − + + − 22 22 32 32 42 2012 20132 =1− −1 ⇔ +1> ⇔ >0 x x x 1 x + x +1 = x + ÷ + > 2 Vì Để c) x2 + + x >0⇔ x>0 x Vậy x với x > P > −1 ⇔ x ≠ P = P =2⇔ P = −2 P=2⇔ x2 + x2 + − x =2⇔ = ⇔ x = 1( ktm) x P = −2 ⇔ x2 + x2 + + x = −2 ⇔ = ⇔ x = −1(ktm) x x Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 1 a + b ≥ 2ab; + ≥ a b ab ( a + b2 ) a12 + b12 ÷ ≥ 2ab ab2 ≥ ⇒ a12 + b12 ≥ 104 = 52 MinQ = Vậy ⇔a =b= 5 Bài a) b) BD DC = AB AC BD DC BD + DC BC 4a 8a = = = = = ⇒ BD = AB AC AB + AC AB + AC 5a 5 EA EC EA + EC AC 3a = = = = = AB BC AB + BC AB + BC 6a EA = a; EC = 2a ⇒ IE EA a = = = IB AB 2a ∆ABC ⇒ GM = GB G trọng tâm GM IE = = ⇒ IG / / EM GB IB (ta let đảo ) ⇒ IG / / AC c) S BIG = ÷ = S BEM EM = 0,5a; S BEM 0,5a S BIG S S = = ; = BIG BEM = = S ABC 3a S ABC S BEM S ABC 27 Tính S EIGM S BEM − S AIG = = − = S ABC S ABC 27 54