PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGŨ HÀNH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC : 2013-2014 MƠN THI: TỐN – LỚP Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Bài (1,5 điểm) 2008 2009 2010 a) Chứng minh chia hết cho b) Chứng minh giá trị tự nhiên n để giá trị biểu thức 2n3 3n n chia hết cho giá trị biểu thức n n Bài (1,5 điểm) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – – đẹp Học sinh khối lớp nhận làm vệ sinh đoạn đường em chăm Lớp 8/1 nhận 10 mét 1/10 phần lại, lớp 8/2 nhận 20 mét 1/10 phần lại, lớp 8/3 nhận 30 mét 1/10 phần lại … chia lớp cuối vừa đủ phần đường lớp dài Hỏi khối có lớp đoạn đường lớp nhận dài mét ? Bài (2,0 điểm) x3 x x x x x2 x M x3 x2 x2 x x Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M có giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) 2 a) Cho a b 3 Tính giá trị nhỏ biểu thức a b 1 x 14 x x3 b) Cho x Hãy tính giá trị biểu thức x Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao Gọi M, N giao điểm ba đường phân giác tam giác AHB AHC MN cắt AB, AH, AC I, E, K a) Chứng minh : BM vng góc với AN b) Chứng minh : ME.NK MI NE c) Biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích lớn tam giác AIK theo S ĐÁP ÁN Bài 2008 2009 2010 2008 2008 a 2 7.2 7 2 b Chia 2n 3n n cho n n dư Vì n n n n 1 số chẵn nên n n 1 Ư(3) Bài Gọi x (m) chiều dài đoạn đường khối vệ sinh ( x ) Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài : 10 0,1 x 10 0,1x Sau lớp / nhận, đoạn đường lại: x 0,1x 0,9 x Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài : 20 0,1. 0,9 x 20 0,09 x 17,1 Ta có phương trình : 0,1x 0,09 x 17,1 Giải : x 810 (thích hợp) Khối có lớp Mỗi lớp chăm đoạn đường dài 90m Bài a x3 x 1 x x 1 0 x 1 x x 1 x 1 0 x 1 x 0 x 2 x x x 1 x 1 0 x 1; x b x3 x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x3 x x x x x 1 x x 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x3 x x x x x x x x 1 x x 1 x x x x x x x 1 x3 x x x x 1 x 1 x x 1 2x 2x x 1 x x x3 x x x2 x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x c) x2 x x2 x 1 M 1 x x 1 x x 1 x x 1 M có giá trị nguyên x x 1Ư(1) x 0(tm) x x 1 x x 0 x 1(ktm) x x x x 0(VN ) Vậy x 0 Bài 4a a b 0 a 2ab b 0 a b 2ab (với a, b) a b 3 a b 9 a b 2ab 9 a b 9 a b 4,5 2 Vậy giá trị nhỏ a b 4,5 4b 2 1 x x 2 x x 1 x 16 x 4 x x 1 x3 x x 1 x x x 1 x x 4; x3 4. 14 1 52 x Với x x 0 Với Bài 1 x 4; x3 4. 14 1 52 x x A F I B M N P E H D a) Gọi F giao điểm BM AN ABH HAC (cùng phụ với BAH ) 1 1 ABF CAN ABF ABH ; CAN BAH 2 ABF BAF 900 (vì CAN BAF 90 ) ABF vng F BM AN K C b) Gọi P giao điểm BM CN AP phân giác BAC nên AP phân giác AIK Chứng minh tương tự câu a ta có: CN AM P trực tâm AMN AP IK ; AP đường cao AIK AIK vuông cân A AI AK Áp dụng tính chất đường phân giác vào AIE AEK ta có: MI AI NK AK MI NK ; ( Do AI AK ) ME AE NE AE ME NE ME.NK MI NE AD BC c) Gọi D trung điểm BC; AMI AMH ( g c.g ) AI AH 1 S AIK AI AK AH 2 1 S ABC AH BC AH AD AH AD 2 1 AH AD S AIK S ABC S AIK S 2 Vì S Vậy diện tích lớn AIK