Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để c) Tìm để Bài 2 (5,0 điểm) a) Giải ph[.]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN LỚP x 2x x 2x P : x 5x x x x x 1 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) Tìm x để P 1 Bài (5,0 điểm) 2 x2 x2 x 2 2 0 x x 1 x 4x a) Giải phương trình : 4 m b) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm âm : x 1 0 c) Cho x, y, z khác thỏa mãn x y z Tính giá trị biểu thức : xy yz zx M x y z 2019 Bài (3,0 điểm) x y y z z x x y z a) Cho x, y, z thỏa mãn Chứng minh x y z 27 2 2 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y x y xy 12 0 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF Gọi H trực tâm tam giác Lấy H ' điểm đối xứng H qua BC Gọi M , N hình chiếu H ' xuống AB AC a) Chứng minh AEF ABC b) Chứng EH phân giác FED M , D, N thẳng hàng c) Gọi S , S1 , S2 , S3 diện tích tam giác ABC , AEF , BDF , CDE Chứng S1.S S3 64 minh S a b 1 ab a b Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn A 1 a b3 ĐÁP ÁN x 2x x 2x P : x 5x x x x x 1 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P x 2x x 2x P x 1, x 2, x 3 : x 5x x x x x 1 x x 3 x 3 x 1 x x x x x 5x x x 1 : x x 1 x x x 3 x x 3 x x x x x 1 x x x x x x x x 3 x x x 3 x x2 x 1 x với x 1, x 2, x 3 Vậy e) Tìm x để P x2 x 1 P x x x Thực phép chia , ta có : P , x x 3 U (7) 1; 7 x Để x 7 1 P Ta có bảng sau : x 4 Đối chiếu điều kiện ta với f) Tìm x để P 1 Để P 1 x 4;10 10 P x2 x 1 x2 x 1 1 0 x x x 1 0 x2 x 1 x x2 x 0 0 x x x 2 x 1 0 x 1 x x Vì Kết hợp với điều kiện , x P 1 Bài (5,0 điểm) 2 x2 x2 x 2 2 0 x 3; x 1 x x 1 x 4x d) Giải phương trình : x x x x 2 x 2 0 x 1 x 3 x x 1 x x2 x 2 x2 x2 x 2 0 x x 1 x x x 1 x2 x 2 x2 x x2 0 x x 1 x x 1 x x x 1 x x 3 x x 1 x x 3 0 x 3 x 1 x 1 x 3 x 3x x x x x x x 0 x 3 x 1 x 1 x 3 2 x 0 2x x x 10 0 x 4(tm) x 1 x 3 x 1 x 3 x x 10 0(VN ) Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 m e) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm âm : x Ta có 2 4 m x 1 4 m m 0 x x x m x 1 0 m x 1 2 x 6 m x mx m 2 m x 6 m x 4 m 6 m 4 m 6 m m Để phương trình cho có nghiệm âm Vậy với m phương trình cho có nghiệm âm 6 m 4 m m 6 m 4 m 1 0 f) Cho x, y, z khác thỏa mãn x y z Tính giá trị biểu thức : xy yz zx M x y z 2019 Ta có : x x 1 y z 0 1 y x x y y z z y 0 0 x y z z y z x z x y x z z x y 0 1 xy yz zx 0 0 xy yz zx 0 x y z xyz Mà suy 1 1 yz xz xy x x y y z z xy yz zx 0 0 x y z y z x z x y Nên x y z yz xz xy 3 M 3 1 x2 y z Vậy M 1 Bài (3,0 điểm) x y y z z x x y z c) Cho x, y, z thỏa mãn Chứng minh x y z 27 Th1 : Nếu x, y, z có số dư chia cho Thì x y; y z; z x chia hết cho x y y z z x 3.3.3 x y y z z x 27 x y y z z x x y z x y z 27 Mà nên Suy Th2: Nếu có hai ba số x; y; z có số dư chia cho x y 3 x y y z z x x y z x y z 3 z 3 *Giả sử x 3, y 3 , mà x y 3, y z 3, z x 3 nên x y y z z x 27 x y y z z x x y z x y z 27 Mà nên x y 3 x y y z z x 3 * x, y chia dư Suy x y z 3 Mà x : dư 1, y : dư nên x y chia dư 2, mà x y z 3 Suy z : dư x y 3, y z 3, z x 3 x y z 27 x y y z z x x y z x y z 27 Mà nên Vậy *Th3: số không số dư chia cho Giả sử x, y, z chia dư 0;1; x y; y z; z x không chia hết cho x y y z z x 27 , x y z 3 x y y z z x x y z Mà Suy vô lý x y y z z x x y z x y z 27 Vậy chứng tỏ , x, y, z thỏa mãn Vậy 2 2 d) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y x y xy 12 0 Ta có : 39 x y x y xy 12 0 x xy y x y 3xy 0 4 39 x y xy 0 2 2 3 39 0; xy 0; VT 2 Vì x , y Vậy khơng có giá trị thỏa mãn x y Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF Gọi H trực tâm tam giác Lấy H ' điểm đối xứng H qua BC Gọi M , N hình chiếu H ' xuống AB AC A E F I H B M N C D H' d) Chứng minh AEF ABC Xét AEB AFC có : A chung, AEB AFC 90 AE AB AE AF AF AC AB AC mà A chung nên : Nên AEF ∽ ABC (c.g c) AEF ABC 1 AEB ∽ AFC ( g g ) e) Chứng minh EH phân giác FED M , D, N thẳng hàng *Ta có CEB, CDA có C chung , CEB CDA 90 CEB ∽ CDA( g g ) CE CB CE CD ; C chung CED ∽ CBA(c.g c) CED CBA CD CA CB CA nên Từ (1) (2) suy AEF CED Mà AEF FEB 90 ; CED BED 90 FEB BED Chứng tỏ EH phân giác FED *Vì EH phân giác FED EH phân giác DEI AI IE Do HEA 90 nên EA phân giác đỉnh E EID nên AD ED HI IE HD ED HI IA Nên suy HD AD Mà H ' đối xứng với H qua BC nên HD DH ' HI AI HI AI AH AH AF HF / / H ' M AB A ' H AM Suy DH ' AD DH ' AD AH ' mà AI AF FI / / MD Nên AD AM (theo định lý Talet đảo) Chứng minh tương tự ta có DN / / EI Mà F , I , E thẳng hàng nên suy M , D, N thẳng hàng f) Gọi S , S1 , S2 , S3 diện tích tam giác ABC , AEF , BDF , CDE S1.S S3 64 Chứng minh S A b-z E x F c-x B z H D a-y C Đặt BC a, CA b, AB c, AF x, BD y, CE z c2 xc x S1S S3 x c x y a y b z x c x ; 2 2 S a b c Khi Ta có : 2 a b y a y ; z b z 4 x c x y a y z b z a 2b c S1.S2 S3 2 abc 64 Nên S3 64 Suy a b 1 ab a b a , b , c Bài (2,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn 1 A a b Tìm giá trị lớn a b 1 ab a b a b 1 ab a b 2ab Ta có : S 1 P S P Đặt S a b, P ab, S 4 P Ta có : 1 a b3 a b 3ab a b A 3 a b ab ab S 3SP S2 S6 S 3 3 S 3S : 3 P S S 3 S 5 Mà S 4 P P S2 S2 S2 S 1 A 3 16 S 3 S 1 S 4 P Dấu xảy a b 1 a b 2 a b 4ab