PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THANH TRÌ TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HSG SỐ 45 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 120 phút Ngày kiểm tra 04/7/2022 Bài 1 (4,0 điểm) 1 Phân tích đa t[.]
PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THANH TRÌ TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HSG SỐ 45 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra 04/7/2022 Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x Phân tích đa thức thành nhân từ: xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3x 1) 330 x a x 2 * Cho phương trình: x x a * a a) Giải phương trình * b) Tìm giá trị a để x 1 nghiệm phương trình Bài 3: (3,0 điểm) a b c 0 Giả sử a, b, c ba số đôi khác b c c a a b a b c 0 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh rằng: Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Bài 4: (3,0 điểm) Chứng minh n số tự nhiên thỏa mãn: n 2n số phương n chia hết cho 24 3 2 Chứng minh x x 5ax 4bx c chia hết cho x 3x x a b c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh: Các tam giác ABC , AEF đồng dạng HD HE HF 1 b) Chứng minh: AD BE CF c) Chứng minh: BF BA CE CA BC d) Gọi M trung điểm BC Đường thằng qua H vng góc MH cắt AB, AC N , K Chứng minh: Tam giác MNK cân Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y , z cho: x y z xyz = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN TỐN TRƯỜNG THCS THANH TRÌ Năm học: 2019-2020 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x Phân tích đa thức thành nhân từ: xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) Lời giải x2 1 x2 x2 x 1 x2 x x x x x x xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) xy ( x y ) yz ( x y ) yz ( z x) zx ( z x) 4 2 y ( x y )( x z ) z ( z x )( x y ) ( x y )( x z )( y z ) Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3x 1) 330 x a x 2 * Cho phương trình: x x a * a a) Giải phương trình * b) Tìm giá trị a để x 1 nghiệm phương trình Lời giải (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3 x 1) 330 (12 x 1)(12 x 2)(12 x 3)(12 x 4) 7920 (Nhân hai với 24 ) 144 x 60 x 144 x 60 x 7920 Đặt: 144 x 60 x y Ta có phương trình: ( y 1)( y 1) 7920 y 7921 y 89 y 89 Với y 89, ta có: 144 x 60 x 89 Giải ra: x 1 x 7 12 Với y 89, ta có: 144 x 60 x 89 Giải thích phương trình vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có hai nghiệm x 1 x 7 12 x x 2 a) Với a 1, ta có phương trình: x x (ĐK: x 2; ) Giải phương trình tìm ra: x 3 (TMĐK) 1 a 2 * b) Thay x 1 vào phương trình ta có: a (ĐK: a 1 ) Giải phương trình tìm ra: a 2 (thỏa mãn điều kiện) a 4 (thỏa mãn điều kiện) kết luận Bài 3: (3,0 điểm) a b c 0 Giả sử a, b, c ba số đôi khác b c c a a b a b c 0 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh rằng: Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Lời giải a b c a b c b ab ac c 0 b c a c b a (a b )(c a ) b c c a a b a b ab ac c (1) (b c ) (a b)(c a )(b c) (Nhân hai vế với b c ) b c bc ba a 2 ( c a ) ( a b )( c a )( b c ) Tương tự ta có: c a ac cb b 3 (a b) (a b)(c a )(b c) 1, , Công vế với vế ta đpcm Đặt P 1 1 1 x x y y z z x ( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 Áp dụng BĐT a b c a b c a b a b với a, b, c dương dấu xảy a b c 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 Ta có x x y 1 y a x Do dó : 1 1 1 1 1 1 P 1 y x x y z x 1 y 1 x 1 x y z x 3 1 1 3 9 3 x y z 4 x y z 4 (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) Chứng minh n số tự nhiên thỏa mãn: n 2n số phương n chia hết cho 24 3 2 Chứng minh x x 5ax 4bx c chia hết cho x 3x x a b c 0 Lời giải Vì n 2n số phương nên ta có: n k ; 2n m2 ( k , m số tự nhiên) Ta thấy m số lẻ (vì 2n số lẻ) m 2t ( t số tự nhiên) m 4t (t 1) 2n 4t (t 1) n 2t (t 1) n chẵn k lẻ 2 Ta có: k , m chia cho có số dư 2 Mà: k m 3n chia dư 2 2 Nên k , m chia cho có số dư n m k chia hết cho Ta có k lẻ k 2 p ( p số tự nhiên) k 4 p( p 1) 1 n n 4 p( p 1) chia hết cho Từ suy ra: n chia hết cho 24 Ta có: x x3 5ax 4bx c x 3x x x m x ( m 3) x (3m 9) x (9m 3) x 3m Suy ra: m m 3m 5a a 9m 4b b 15 c 3m c 21 Vậy a b c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh: Các tam giác ABC , AEF đồng dạng HD HE HF 1 b) Chứng minh: AD BE CF c) Chứng minh: BF BA CE CA BC d) Gọi M trung điểm BC Đường thằng qua H vng góc MH cắt AB, AC N , K Chứng minh: Tam giác MNK cân Lời giải A E F K H N B D M a) Vẽ hình đên câu a AE AF Chứng minh đúng: AEB ∽ AFC Suy ra: AB AC Chứng minh đúng: ABC ∽ AEF HD S BHC b) Chỉ được: AD S ABC đủ HE S AHC HF S AHB ; BE S CF S ABC ABC Tương tự: HD HE HF S BHC S AHC S AHB 1 AD BE CF S ABC Suy ra: c) CMTT câu a, BDF đồng dạng BAC BF BD BF.BA BD.BC Suy BC BA Tương tự CE CA CD BC Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được: BF.BA+ CE CA CD BC BD.BC = CD DB BC BC d) Chứng minh BAH BCH (Cùng phụ ABC ) Chứng minh ANH CHM (Cùng phụ NHF ) Suy ra: ANH đồng dạng CHM (g - g) NH AH NH HM , 1 Suy ra: HM CM hay AH CM C KH HM (2) chứng minh tương tự: AH BM 1; Từ CM BM suy ra: HK NH Vậy MNK cân (Vì MH vừa đường cao vừa trung tuyến) Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y , z cho: x y z xyz Lời giải 1 1 a) Chia hai vế của: x y z xyz cho xyz ta có: xy yz xz Do vai trò x, y, z nên giả sử: x y z ta có: 1 1 1 1 x 1 xy yz xz x x x x (vì x ngun dương) Thay x 1 ta có: yz y z ( y 1)( z 1) 2 y 2, z 3 (vì y z ) Vậy ba số cần tìm là: 1; 2;3 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =