UBND HUYỆN THANH TRÌ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN Bài (4,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y x y 4 2 2 2) Phân tích đa thức thành nhân tử x y x y x y Bài (4,0 điểm) 1) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a 124 2) Tìm tất số nguyên dương n để số a 11 77 bình phương (với 2n chữ số 1, n chữ số 7) Bài (3,0 điểm) 1) Giải phương trình x x 11 x x 21 35 2) Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2, x y z 18 xyz Tính giá trị S 1 xy z yz x xz y Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a b c 1 Chứng minh a b2 c Bài (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 2a Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D ( D khác A) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD O, cắt By C Gọi H hình chiếu vng góc O CD 1) Chứng minh AD.OC OB.OD 2) Chứng minh ADH ∽ BOH AHB vuông 3) Gọi I giao điểm AC BD, E giao điểm AH DO, F giao điểm BH CO Chứng minh E , I , F thẳng hàng 4) Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ? 3 Bài (1,0 điểm) Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x x y z y z 34 ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) 2 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y x y x xy y x y x xy y 4( x y ) 2 x y x y 5 x y 32 x y 3 x y 3 x y 1 x y 4 2 2 4) Phân tích đa thức thành nhân tử x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x y x y x y 1 y y 1 x y x y y 1 x y x y x y y 1 x y x y 1 Bài (4,0 điểm) 1) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a 124 Ta có : a a 1 a 1 +) Vì a số nguyên tố lớn nên a số lẻ a 1 ; a 1 hai số chẵn liên tiếp nên a 1 a 1 8 a 13 a 1 a 1 3 +) Vì a số nguyên tố lớn nên a suy a 13 Lại có 3;8 nguyên tố nên a 1 a 1 3.8 a 124 với a số nguyên tố lớn 2) Tìm tất số nguyên dương n để số a 11 77 bình phương (với 2n chữ số 1, n chữ số 7) Ta có a 11 77 (với 2n chữ số 1, n chữ số 7) Nếu n 1 a 11 4 2 số phương Nếu n a 111 111 777 77 34, số chia hết cho khơng chia hết khơng phương Bài (3,0 điểm) x 1) Giải phương trình x 2 x 11 x x 21 35 x 11 x x 21 35 x Ta có : 2 x 11 x x 21 x x 35 x 0 2 x 0 Đẳng thức xảy x Do x 0 x 2 x ( x 2) 0 x 11 x x 21 35 x 2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 2 2) Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2, x y z 18 xyz S Tính giá trị x y z Ta có : 1 xy z yz x xz y x y z xy y xz 18 xy yz zx xy yz xz Vì x y z 2 z 2 x y Khi xy z xy x y xy x y x 1 y 1 1 xy z x 1 y 1 Tương tự : 1 1 ; yz x y 1 z 1 zx y z 1 x 1 1 xy z yz x xz y 1 1 z 1 x 1 y x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 S x y z 2 1 1 x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z Vậy S 1 Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a b c 1 Chứng minh a2 b2 c2 2 Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên c a b c c a b 2 2 Tương tự b b a c ; a a b c a b c ab bc ca 1 2 2 Mà a b c ab ac bc a b c 1 ab bc ca 1 a b c Từ (1) (2) suy Hay a b2 c a b2 c a b2 c a b2 c2 dfcm Bài (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB có độ dài 2a Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm D ( D khác A) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD O, cắt By C Gọi H hình chiếu vng góc O CD D H I E A C F O M B 5) Chứng minh AD.OC OB.OD Xét AOD BCO ta có: DAO CBO 90 ADO COB (cùng phụ với AOD ) AOD ∽ BCO( g.g ) AD OD AD.OC OB.OC BO OC Vậy AD.OC OB.OC 6) Chứng minh ADH ∽ BOH AHB vng Ta có : ADO BOC (cmt ); ODH COH (cùng phụ với HOD ) ADO ODH BOC COH hay ADH BOH 1 AD OD 2 Mà AOD ∽ BCO(cmt ) OB OC Xét DOH OCH ta có : DHO CHO 90 ODH COH (cùng phụ với DOH ) DH OD 3 OH OC AD DH 4 Từ (2) (3) suy OB OH DOH ∽ OCH ( g.g ) Xét ADH BOH , ta có : ADH BOH (do (1)), AD DH (4) OB OH Vậy ADH ∽ BOH (c.g.c) *Chứng minh AHB vng Ta có : ADH ∽ BOH (c.g.c) AHD OHB Mà AHD OHA OHD 90 OHB OHA 90 AHB 90 Vậy AHB vuông H 7) Gọi I giao điểm AC BD, E giao điểm AH DO, F giao điểm BH CO Chứng minh E , I , F thẳng hàng Ta có ABH vng H có HO đường trung tuyến 1 HO AB OA OB OH AB 2 Nên Xét ADO HDO , ta có : OA OH (cmt ), OAD OHD 90 , DO cạnh chung ADO ∽ HDO(ch cgv ) DA DH Mà OA OH (cmt ) OD đường trung trực AH suy E trung điểm AH Chứng minh tương tự, ta có BC CH F trung điểm BH EF đường trung bình ABH EF / / AB Ta có : BC / / AD , áp dụng hệ định lý Talet ta suy IB BC IB CH ID AD ID DH (Vì DA DH BC CH ) IB CH DBC có ID DH nên HI / / BC (Định lý Talet đảo) Gọi M giao điểm HI AB, suy HM / / BC nên IM / / BC IH DI 5 DBC có HI / / BC nên BC DB IM AM 6 ABC có IM / / BC nên BC AB DI AM 7 ABD có IM / / AD nên DB AB IH IM Từ (5), (6), (7) suy BC BC , IM IH Vậy I trung điểm HM Xét AHM có : E trung điểm AH, I trung điểm HM Nên EI đường trung bình AHM EI / / AM Suy EI / / AB mà EF / / AB nên E,I, F thẳng hàng 8) Tìm vị trí D Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ? Tứ giác ABCD có BC / / AD (cùng vng góc với AB) nên tứ giác ABCD hình thang vng Do : S ABCD AD BC AB DH CH AB 2 (vì DA DH , BC CH ) Hay S ABCD DC AB Mà AB không đổi nên S ABCD đạt giá trị nhỏ DC có độ dài nhỏ CD AB (vì CD AB ) Hình thang vng ABCD hình chữ nhật AD BC DH DA AB AD CH CB AB CD AB AD S Vậy ABCD đạt GTNN D nằm tia Ax cho 3 Bài (1,0 điểm) Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x x y z y z 34 Đặt x a, y z b a 0; b 2 Ta có : 2 a a b b3 34 a b3 a b 34 a b a ab b a b 34 Vì a b 34 a b a b *Nếu a b 1 a ab b a b 34 a ab b a 2ab b 34 ab 34 0 (vơ lý a 0, b 0) *Nếu a b 2 a ab b a b 34 a 5 2a 2ab 2b a 2ab b 34 a b 34 b 5 b 2 a b Mà b 2 a 4 Do a 5 b 5 a b 2 Mà a,b nguyên dương nên xảy trường hợp : b 2 x 4 x 4 Th1: a 4 y z 2 y z 1 3 Thay x 4; y z 1 vào phương trình (1) ta : 2 34 28 42 (vô lý) b 2 a Th2: x 5 y z 2 x 5 y z 1 3 Thay x 5, y z 1 vào phương trình (1) ta 2 34 76 42 (vơ lí) b 3 Th3 : a 5 x 5 y z 3 x 5; y 1; z 2 x 5; y 2; z 1 3 Thay x 5, y z 3 vào phương trình (1) ta : 3 34 61 61 (tmdk) Vậy x; y; z 5;1; ; 5; 2;1