PHÒNG GD&ĐT BẮC CẠN TRƯỜNG THCS ABC ĐỀ THI THỬ SỐ 00 ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) Bài 2 (4,0 điểm) Cho b[.]
PHÒNG GD&ĐT BẮC CẠN TRƯỜNG THCS ABC ĐỀ THI THỬ SỐ 00 Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ĐỀ THI HSG MƠN TỐN NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 90 phút a) A = x + x + x + 3 2 2 b) B = x + y + x y + xy - x - xy - y æ æ x +1 x- ö x3 - x ỗ ữ ỗ P =ỗ x ữ ç ÷ç çx + x +1 x - x +1ứ ỗ x +1 ố ố Bi 2: (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x nghiệm phương trình 1÷ ÷ ÷ ÷ ø 3x - x - = Bài 3: (4,0 điểm) ( x - 2) ( x - 4) ( x - 5) ( x - 7) = 72 a) Giải phương trình: a +b + c = Tính giá trị biểu thức b) Cho M= a - b2 a b - ab Bài 4: (4,0 điểm) ( ) a + b2 - c + c2 - b2 c b - cb ( ) c + b2 - a + a2 - c2 a c - ac ( a + c - b2 ) · · Cho tam giác ABC vng A có ABC = 60°, BD phân giác góc ABC Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD Tính cạnh tứ giác AMNI biết AB = cm Gấp tờ giấy hình chữ nhật lại dọc theo đường chéo nó, biết diện tích phần giấy chồng lên 25 64 diện tích tờ giấy hình chữ nhật Khi tờ giấy hình chữ nhật ban đầu có kích thước tỉ lệ nào? ABC ( AB < AC ) Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn , có AD phân giác góc BAC trung tuyến AM Đường thẳng qua M song song AC cắt AD E Đường thẳng qua D song song AB cắt AM K Chứng minh KE vng góc với AD Bài 6: (1,0 điểm) Một người nơng dân có mảnh lưới dài 120 m Người nông dân muốn quây mảnh lưới đỏ thành hình chữ nhật khu vườn để chăn nuôi gà Hỏi người nông dân quây để diện tích phần quây lớn nhất? = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP SỞ GD&ĐT BẮC CẠN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A = x + x + x + 3 2 2 b) B = x + y + x y + xy - x - xy - y Lời giải Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( ) ( x + + x ) = ( x + 2) ( x - ) ( ) A = x3 + x + x + = x3 + + x + x = ( x + 2) x - x + + x ( x + 2) ( = ( x + 2) x - x +4 ) 3 2 2 b) B = x + y + x y + xy - x - xy - y ( ) = ( x + y ) ( x - xy + y + xy - x - y ) = ( x + y) ( x2 + y - x - y) = ( x + y ) x - xy + y + xy ( x + y ) - ( x + y ) æ æ x +1 x- x3 - x ỗ ữ ỗ P =ỗ x ữ.ỗ ỗ ữỗ ỗ x +1 èx + x +1 x - x +1ø è Bài 2: (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P biết x nghiệm phương trình 3x - x - = Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định x ¹ - ỉ ỉ x +1 x- x3 - x ỗ ữ ç P =ç x ÷.ç ç ÷ç ç x +1 èx + x +1 x - x +1ø è = 1÷ ÷ ÷ ÷ ø ( x +1) ( x - x +1) - ( x - 1) ( x + x +1) x ( x +1) - ( x3 - x - 1) ( )( ) x + x +1 x - x +1 x + x3 - x3 + x +1 = x +1 x + x +1 x - x +1 ( = = ( x3 +1- x3 +1 )( ) x + x +1 x +1 x + x +1 x - x +1 )( ( x2 + x +1)( x2 - ) ) x +1 ( x2 +1) - x2 x +1 x +1 1÷ ÷ ÷ ÷ ø = ( x2 + x +1)( x2 - = ) x +1 ( x2 + x +1)( x2 - ) x +1 x +1 x +1 Vậy với x ¹ - b) Xét phương trình: P= x +1 3x - x - = Û x - x + x - = Û x ( x - 1) + ( x - 1) = éx - = Û ( x - 1) ( 3x + 2) = Û ê Û ê ë3 x + = éx = ê ê - êx = ê ë Với x = không thỏa mãn ĐKXĐ nên loại - x= thỏa mãn ĐKXĐ Với Þ P= 2 = = =6 x +1 - +1 3 Vậy với x nghiệm phương trình 3x - x - = P = Bài 3: (4,0 điểm) ( x - 2) ( x - 4) ( x - 5) ( x - 7) = 72 a) Giải phương trình: a +b + c = Tính giá trị biểu thức b) Cho M= a - b2 a b - ab (a 2 ) +b - c + a) Giải phương trình: Ta có: (1) c2 - b2 c b - cb (c 2 ) +b - a + Lời giải ( x - 2) ( x - 4) ( x - 5) ( x - 7) = 72 Û ( x - x +14) ( x - x + 20) = 72 2 a2 - c2 a c - ac ( a + c - b2 ) (1) 2 Đặt t = x - x +17 Þ x - x +14 = t - 3; x - x + 20 = t + nên ta có: Û ( t - 3) ( t + 3) = 72 Û t - = 72 Û t = 81 Û t = ±9 (1) éx = t = Þ x - x +17 = Û x - x + = Û ( x - 1) ( x - 8) = Û ê ê ëx = Với 2 Với t =- Þ x - x +17 =- Û x - x + 26 = ổ 9ữ ử2 ổử ữ ỗ x - ữ- ỗ ữ ỗ ỗ ữ + 26 = ỗ 2ữ ỗ2 ứ ố ứ ố ổ 9ử - 23 ữ ỗ x- ữ = ỗ ữ ỗ 2ứ ố (Vụ lý, loi) S = {1;8} Vậy phương trình có tập nghiệm a +b + c = , a, b, c đơi khác khác , ta có: b) Với M= = = = a2 - b2 a b - ab ( ) a + b2 - c + c2 - b2 c b - cb ( ) c2 +b2 - a + a2 - c2 a c - ac ( a + c2 - b2 ) ( a + b) ( a - b) 2 ( c + b ) ( c - b ) 2 ( a + c ) ( a - c ) 2 ( a + b - c ) + cb ( c - b) ( c + b - a ) + ac ( a - c) ( a + c - b ) ab ( a - b) ( a + b) ( a + b - c ) ab + ( ac + bc) ( a + b2 - c ) abc ( c + b) ( c + b - a ) cb + + ( a + c) ( a + c2 - b2 ) ( ac + ab ) ( c + b - a ) cba ac + ( ab + bc ) ( a + c - b ) acb = a 3c + ab 2c - ac3 + a 2bc + b3c - bc3 + ac3 + ab 2c - a 3c + abc + ab3 - a 3b abc + a 3b + abc - ab3 + a 2bc + bc3 - b3c abc = ab 2c + a 2bc + ab 2c + abc + abc + a 2bc 2abc ( a + b + c) = = 2( a + b + c) abc abc Thay a +b + c = 1 M = = , ta có Vậy M = Bài 4: (4,0 điểm) · · Cho tam giác ABC vuông A có ABC = 60°, BD phân giác góc ABC Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD Tính cạnh tứ giác AMNI biết AB = cm Gấp tờ giấy hình chữ nhật lại dọc theo đường chéo nó, biết diện tích phần giấy chồng lên 25 64 diện tích tờ giấy hình chữ nhật Khi tờ giấy hình chữ nhật ban đầu có kích thước tỉ lệ nào? Lời giải · · Cho tam giác ABC vng A có ABC = 60°, BD phân giác góc ABC Gọi M , N , I theo thứ tự trung điểm BD, BC , CD Tính cạnh tứ giác AMNI biết AB = cm C I N D M A B cm · · · Ta có BD phân giác ABC = 60°Þ ABD = CBD = 30° · = 90°- 30°= 60° D ABD vng A Þ ·ADB = 90°- ABD Þ AM = MD = MB = D ABD vuông A có AM trung tuyến · có ADB = 60° nên D AMD Þ AM = MD = AD Mặt khác MN , IN đường trung bình D BDC BD Þ D AM D cân M Þ MN //CD; MN = CD; IN //DM ; IN = MD Þ Tứ giác INMD hình bình hành · · = ACB = 30° (hai góc so D ABD vng A Þ ·ACB = 90°- ·ADB = 90°- 60°= 30°Þ MNB · · le ) Þ MNB = MBN = 30°Þ D MNB cân M Þ MN = MB Þ MN = MD = MB Hình bình hành INMD có hai cạnh kề nên hình thoi Þ MD = MN = NI = ID Vậy ta có AM = MN = NI = ID = AD Trong D ABD vuông A theo định lý Pi-ta-go, ta có: BD = AD + AB Û ( AD ) - AD = AB Û AD = AB Û Û AD = AD = AB AB Û AD = 3 (cm) Vậy tứ giác AMNI có: AM = MN = NI = AD = AI = AD = (cm), (cm) Gấp tờ giấy hình chữ nhật lại dọc theo đường chéo nó, biết diện tích phần giấy chồng 25 lên 64 diện tích tờ giấy hình chữ nhật Khi tờ giấy hình chữ nhật ban đầu có kích thước tỉ lệ nào? D M A B C Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo phần tờ giấy xếp chồng lên phần tô đậm (tam giác MAC ) Gọi diện tích hình chữ nhật S = AD.AB = a.b 25 25 S MAC = S = ab 64 64 Diện tích phần tơ đậm là: Diện tích tam giác ABC là: S ABC = ab ab 25ab 7ab = MBC 64 64 Diện tích tam giác là: Hai tam giác MBC tam giác MAC có chung chiều cao BC nên tỉ số diện tích tam giác MAC diện tích tam giác MBC tỉ số độ dài hai đáy AM BM S MBC = S ABC - S MAC = 7ab MB S MBC = = 64 = 25ab 25 MA S MAC 64 Mà · D ADC = D CBA( c.g.c ) Þ ·ACD = BAC Þ D MAC cân M Þ MA = MC Trong MBC vng B ta có: MB MB 1 cos BMC BMC 74 BAC BMC 37 MC MA 25 Trong ABC vng B ta có tan BAC BC tan 37 AB Vậy tỉ số hai cạnh hình chữ nhật ban đầu ABC ( AB < AC ) Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn , có AD phân giác góc BAC trung tuyến AM Đường thẳng qua M song song AC cắt AD E Đường thẳng qua D song song AB cắt AM K Chứng minh KE vng góc với AD Lời giải A N H K' K G E B D C M O Kẻ BE cắt AC H , gọi K ' giao điểm BE AM ; N giao điểm ME AB Vì ME //AC ; MB MC EB EH ; NB NA Tam giác ABH có AE vừa trung tuyến, vừa phân giác nên cân A AE đường cao AE BH hay EK ' DE (1), AB AH Qua M kẻ đường thẳng song song AB cắt AD; BH O G Vì NA NB; OG //AB nên MO MG MD MO MG MK ' DK '/ / AB AB BK ' Theo hệ định lý Ta-let, ta có: DB AB (định lý Ta-lét đảo) DK / / AB GT K K ' Lại có (2) Từ (1) (2) AD EK Bài 6: (1,0 điểm) Một người nông dân có mảnh lưới dài 120 m Người nơng dân muốn quây mảnh lưới đỏ thành hình chữ nhật khu vườn để chăn nuôi gà Hỏi người nông dân quây để diện tích phần quây lớn nhất? Lời giải x Gọi (m) độ dài cạnh hình chữ nhật, chu vi hình chữ nhật 120 m nên cạnh cịn lại hình chữ nhật ( 60 - x) m Khi diện tích hình chữ nhật S = x ( 60 - x ) ( m ) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương x ( 60 - x) ta có: ỉx + 60 - x ÷ S = x ( 60 - x ) Ê ỗ ữ ç ÷ = 900 ç è ø Þ diện tích lớn khu vườn hình chữ nhật 900 m , hình chữ nhật trở thành hình vng hai cạnh x = 60 - x Û x = 30 m Vậy người nơng dân qy lưới thành hình vng có cạnh 60 m diện tích khu vườn lớn 900 m = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP SỞ GD&ĐT BẮC CẠN Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa... 20 = t + nên ta có: Û ( t - 3) ( t + 3) = 72 Û t - = 72 Û t = 81 Û t = ±9 (1) éx = t = Þ x - x +17 = Û x - x + = Û ( x - 1) ( x - 8) = Û ê ê ëx = Với 2 Với t =- Þ x - x +17 =- Û x - x + 26 =... x + 26 = ổ 9ữ ử2 ổử ữ ỗ x - ữ- ỗ ữ ỗ ỗ ữ + 26 = ỗ 2ữ ỗ2 ứ ố ứ ố ổ 9ử - 23 ữ ỗ x- ữ = ỗ ữ ç 2ø è (Vô lý, loại) S = {1 ;8} Vậy phương trình có tập nghiệm a +b + c = , a, b, c đôi khác khác , ta