UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GD&ĐT BẮC NINH ĐỀ THI HSG8 SỐ 63 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 2023 TOÁN 8Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (2,0 điểm) Cho ba số ,, khác nhau đôi một và khác , đồ[.]
UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM HỌC: 2022-2023 ĐỀ THI HSG8 SỐ 63 Bài 1: (2,0 điểm) TOÁN 8Thời gian làm bài:90 phút Cho ba số a , b , c khác đôi khác , đồng thời thỏa mãn điều kiện a b c a b b c c a A b c a c a b Tính giá trị biểu thức: Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: 2 x x x 1 Q x 2 x x P ( x ) x x x 1, Cho hai đa thức Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm P x Tính giá trị Q x1 Q x2 Q x3 Q x4 Q x5 Bài 3:(4,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n ước số n 206 a b2 a 2 c Chứng minh Cho a , b , c số nguyên khác , a c cho b c a b c số nguyên tố Bài 4:(7,0 điểm) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM ND b)Tứ giác EMFN hình gì? c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC Cho tam giác ABC có BAC 90 , ABC 20 Các điểm E F nằm 0 cạnh AC , AB cho ABE 10 ACF 30 Tính CFE Bài 5:(3,0 điểm) Cho số thực a, b, c 1 Chứng minh 1 4 3 2a 2b 2c a b b c c a Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN SỞ GD&ĐT BẮC NINH Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) Cho ba số a , b , c khác đôi khác , đồng thời thỏa mãn điều kiện a b c a b b c c a A b c a c a b Tính giá trị biểu thức: Lời giải Nếu a b c 0 a b c, b c a, c a b a b b c c a a b b c c a A a b c a b Do đó, c a b b c c a a b b c c a 2 a b c a b Nếu a b c 0 c Do đó, a b 2c, b c 2a, c a 2b a b c , trái giả thiết Vậy A Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: 2 x x x 1 Q x 2 x x Cho hai đa thức P ( x) x x x 1, Gọi x1 , x2 , x3 , x4 , x5 nghiệm P x Tính giá trị Q x1 Q x2 Q x3 Q x4 Q x5 Lời giải 2.1 Điều kiện x 0; x 1 3 2 0 2 x x x 1 x x x 1 2 x x 1 x 1 0 x2 x 1 x 1 x 1 x x 1 0 x x x 0 2 2 x2 x 1 x 1 x x 1 3 x 1 x 1 x 0 (tm) x 1 S 1; Vậy tập nghiệm phương trình 2.2 Ta có : P x x x x x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 1 Q x 2 2 Do đó: x 1 x Q x1 Q x2 Q x3 Q x4 Q x5 25 x1 x2 x3 x4 x x1 x2 x3 x4 x5 1 32.P P 1 32 1 1 77 2 32 Bài 3:(4,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n ước số n 206 a b2 a 2 c Chứng minh Cho a , b , c số nguyên khác , a c cho b c a b c số nguyên tố Lời giải 3.1 n ước số n 2n n 206 n6 206 n 198 n2 n2 198 n2 2 Điều nảy xảy n ước nguyên dương 198 2.3 11 gồm: 2;3; 6;9;11;18; 22;33;66;99;198 Từ ta tìm 3.2 n 1; 2;3; 4;8;14 a2 b2 a a c b ac 0 b ac 2 c Ta có: b c Mà a b c a ac c a 2ac c b a c b a c b a c b 2 2 2 Ta thấy a b c a b c số nguyên tố xảy trường hợp sau: 1) a c b 1; a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 ( ktm) 2) a c b 1, a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) 3) a c b 1, a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) 4) a c b 1, a c b a b c a b c 2a 2c 2 a 1 c 1 b 1 a c 1, b 1 (ktm) Bài 4: (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM ND b)Tứ giác EMFN hình gì? c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC Cho tam giác ABC có BAC 90 , ABC 20 Các điểm E F nằm 0 cạnh AC , AB cho ABE 10 ACF 30 Tính CFE Lời giải 4.1 A B E d M O N D C F H a) Do ABCD hình vng A1 MAD 90 (1) (2) mà AMHN hình vng A2 MAD 90 1 ; suy A1 A Từ D 900 AND AMB c.g c B Do đó, BM ND b) Do ABCD hình vng D2 90 D 900 900 1800 N , D, C NDC D thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vng AMHN O tâm đối xứng hình vng AMHN AH đường trung trực đoạn MN, mà E , F AH EN EM FM FN (3) M EOM FON OM ON ; N O1 O2 EM FN Từ 3 ; EM NE NF FM MEMF (4) hình thoi (5) c) Từ (5) suy FM FN FD DN Mà DN MB MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có: P MC CF MF MC CF BM DF (vì MF DF MB ) MC MB CF FD BC CD a a 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi M thay đổi BC 4.2 A F G B D E C 0 Xét ABC có BAC 90 , ABC 20 ACB 70 ACF có CAF 90 , ACF 30 FC 2 AF Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD BC BD BA ABC ” DBG BG BC Khi đó, GCB GBC 200 GCF 200 Do CG BE tia phân giác BCF ABC nên: FC BC BA AE ; FG BG BC EC 1 FC BC AF BD BA AE AF AE 2 FG BG BG BC EC FG EC Do đó, FG Từ suy CG / / EF (Định lý Talet đảo) CFE GCF 200 Bài 5: (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c 1 Chứng minh 1 4 3 2a 2b 2c a b b c c a Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm Lời giải 1 2 a a 2a a 2a 2a a Ta có 1 3 a2 b2 c2 1 8 1 2 ; 2 2 2 a b ab a b a b a b a b a b Ta lại có: 1 1 2 2 2 bc ; a c a c Tương tự ta có: b c VT 1 4 3 a b c a b b c a c Suy ra: 1 4 3 a b b c a c Do vậy: 2a 2b 2c Dấu xảy a b c 1 5.2 Các đường thẳng cho cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác (chứ khơng phải chia hình vng thành hai tứ giác) Do đó, đường thẳng (trong số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối BC AD điểm M N N A D E F J B S ABMN S MCND Ta có: M C AB BM AN 2 EJ 2 JF CD.( MC ND) (ở E F trung điểm AB CD tương ứng) Gọi E , F , P, Q tương ứng trung điểm AB , CD , BC , AD Gọi J1 , J , J , J điểm cho J1 , J nằm EF , J , J nằm PQ thỏa mãn: EJ1 FJ PJ QJ J F J F J 3Q J P P A D J4 E J1 J2 F J3 B Q C Khi từ lập luận ta suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn u cầu đề phải qua điểm J1 , J , J , J nói Vì có đường thẳng, nên theo ngun lý Dirichle phải tồn điểm J1 , J , J , J cho có ba đường thẳng cho qua Vậy có đường thẳng đường thẳng cho qua điểm = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... 206 n6 206 n 1 98 n2 n2 1 98 n2 2 Điều nảy xảy n ước nguyên dương 1 98 2.3 11 gồm: 2;3; 6;9;11; 18; 22; 33;66;99;1 98 Từ ta tìm 3.2 n 1; 2;3; 4 ;8; 14 a2 b2 a ...= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN SỞ GD&ĐT BẮC NINH Năm học: 20 18- 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) Cho ba số... AND AMB c.g c B Do đó, BM ND b) Do ABCD hình vng D2 90 D 900 900 180 0 N , D, C NDC D thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vng AMHN O tâm