UBND TỈNH BĂC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị của để đ[.]
UBND TỈNH BĂC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Mơn: Tốn Thời gian làm : 150 phút a 1 2a 4a a 4a M : a a 4a a a Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn M 2) Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn Bài (3,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình sau : x x 3x x3 2) Tìm phần dư phép chia đa thức P x cho x 1 x Biết đa thức P x chia cho x 1 dư 7, chia cho x dư Bài (7,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C khác A Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt By D a) Chứng minh : AB 4 AC.BD b) Kẻ OM vng góc với CD M Gọi K trung điểm CD Chứng minh KOD cân K, từ suy DB DM c) Tìm vị trí C tia Ax, để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Cho tam giác ABC vuông A Hai tia phân giác BD CE cắt BD CE 2 O Chứng minh BO CO Bài (3,0 điểm) 2 1) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Chứng minh a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 2) Hình vng có 3 chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số lại hàng, cột, đường chéo ĐÁP ÁN a 1 a 4a a 4a M : a a 4a a a Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức 3) Rút gọn M Điều kiện : a 0, a 1 a 1 a 4a a 4a M : a3 a 4a 3a a 1 a 1 a 4a 4a M 2 a a a 1 a a 1 a a a a 1 M M 2a 4a a a a 1 a a 1 4a a a2 4 a 3a 3a 2a 4a a a 4a a 4a 4a 2 a a 4 a a a a 1 a a 1 4) Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn a a 4a a 2 4a M 1 a 4 a2 a 4 Ta có a 2 2 Vì a 0 với a nên a 2 1 a 2 a2 1 với a 2 Dấu " " xảy a 0 a 2 với a Vậy giá trị lớn M a 2 Bài (3,0 điểm) 3) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n n chia hết cho 24 Ta có : n n n n 1 n 1 Vì n, n 1 , n 1 ba số tự nhiên liên tiếp nên có số ba số chia hết cho Vì n số tự nhiên lẻ nên n n hai số tự nhiên chẵn liên tiếp n3 n 3 Do n 1 n 1 8 Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với 1 suy n n24 4) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương 2 Giả sử n 4n 2013 m m 2 2 Suy n 2009 m m n 2009 m n m n 2009 Mặt khác : 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau xảy : m n 2009 m 1005 Th1: m n 1 n 1002 m n 287 m 147 Th : m n 7 n 138 m n 49 Th3 : m n 41 m 45 n 2 Vậy số cần tìm 1002,138, Bài (4,0 điểm) 3) Giải phương trình sau : x x 3x x3 x x 3x x Ta có : Th1: Nếu x 1 , phương trình cho trở thành x 1 x 3x x3 x 1 x 3x x x 1 0 x 0 x 1(tm) x 1 x 0 x 0 x 4(tm) Th2:Nếu x , phương trình cho trở thành : x 1 x x x x 1 x x 0 x 0 x 1( ktm) x 1 x 1 x 3 0 x 0 x 3(tm) Vậy phương trình có ba nghiệm x 1; x 3; x 4 4) Tìm phần dư phép chia đa thức P x cho x 1 x Biết đa thức P x chia cho x 1 dư 7, chia cho x dư x 1 x 1 x x Do đa thức bậc hai nên phần dư phép chia P x cho x 1 x đa thức có bậc nhỏ Giả sử ax b a, b phần dư cần tìm Từ giả thiết tốn: Tồn đa thức Q1 x , Q2 x , Q3 x thỏa mãn : P x Q1 x x 1 x ax b P x Q2 x x 1 P x Q3 x x Xét P 1 7 a b; P 1 2a b từ ta có hệ phương trình : a b 7 2a b 1 a 2 b 5 Vậy phần dư cần tìm x Bài (7,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C khác A Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt By D y D x K M C A H O B d) Chứng minh : AB 4 AC.BD Xét tam giác ACO tam giác BDO có : OAC OBD 90 ACO ∽ BOD( g g ) AOC ODB (cung phu BOD ) OA AC OA.OB AC.BD BD OB 2OA.2OB 4 AC.BD AB AB 4 AC.BD AB 4 AC.BD e) Kẻ OM vng góc với CD M Gọi K trung điểm CD Chứng minh KOD cân K, từ suy DB DM Dựng HK OD nên HK / / OC H trung điểm OD Ta có KHO KHD(c.g.c) KO KD Do KHD cân K Từ KOD KDO mà KOD BDO (so le trong) Nên KOD BDO ODM ODB Vậy DB DM f) Tìm vị trí C tia Ax, để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Theo chứng minh ta có ODM ODB OM OB OA nên COM COA SCOM SCOA ; SOBD SOMD SCOD S ABDC S ABDC 2SCOD 1 AB SCOD OM CD OA.CD CD 2 2 Ta có : S ABCD SCOD SCOD Do nhỏ Lại có CD AB nhỏ nhỏ CD nhỏ AB S Nên ABDC nhỏ CD / / AB cách AB khoảng Cho tam giác ABC vuông A Hai tia phân giác BD CE cắt BD CE 2 O Chứng minh BO CO B E A O D C Đặt BC a, CA b, AB c Theo tính chất phân giác ta có : DC BC a DC DA a c bc DA DA BA c DA c a c Xét ABD có OA phân giác Ta có : DO DA DO b DB a b c 1 BO BA BO a c BO a c CE a b c 2 a b Chứng minh tương tự: OC Từ (1) (2) suy a b c DO CE BO CO a c a b 2 Mà ABC vuông A nên theo Pytago có : c b a Như a b c a c a b a b c 2ab 2ac 2bc a ab ac bc 2(dfcm) a ab ac bc a ab ac bc Bài (3,0 điểm) 2 3) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Chứng minh a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 2 Sử dụng bất đẳng thức x y 2 xy Ta có : a2 b2 c2 a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab b c c a a b a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c c a a b2 a 2 b2 c 1 2 2 a 2 b 2 c 1 9 2 2 2 Lại có a b c a b c a2 b2 c2 5 Kết hợp lại ta : 2bc 2ac 2ab a b c Dấu xảy 4) Hình vng có 3 ô chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột, đường chéo Giả sử hình vng kỳ diệu điền số a,b,c,d,e,f,g,h,i hình vẽ a b c d e f g h i Đặt S a b c d e f g h i Suy d e f b e h a e i c e g S 1 4S 4S S S 3e e 2 3 2S d f b h a i c g 2e(dfcm) Từ (1) (2) d e f b e h a e i c e g ... cho x 1 x đa thức có bậc nhỏ Giả sử ax b a, b phần dư cần tìm Từ giả thiết toán: Tồn đa thức Q1 x , Q2 x , Q3 x thỏa mãn : P x Q1 x x 1 x