046 đề hsg toán 8 bắc giang 22 23

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức với 2) Cho các số thực thỏa mãn và[.]

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC : 2022-2023 Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm)  x2  2x   x2 x 0 A   1     x  8  x  x  x   x x  với x 2 1) Rút gọn biểu thức 2 2) Cho số thực a, b thỏa mãn 4a  5ab  b 0 2a  b  Tính giá trị biểu thức E ab 4a  b 2 Bài (3,0 điểm) 2 1) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn m n  4n  157 2) Giải phương trình  3x   3    x  3   x  1 0 Bài (6,0 điểm) 1) Đa thức f  x  chia cho x  dư 4, chia cho x  dư 3x  Tìm đa thức dư chia f  x x  1  x  1  cho    số nguyên tố 2) Tìm tất số tự nhiên n để 3) Tìm tất số x nguyên dương để x  14 x  x  số phương P  n  2n  n  2n   Bài (6,0 điểm) 1) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM , CD K giao điểm OM , BN a) Chứng minh BIO CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Chứng minh MKN  OIM 180 2) Cho ABC , đường trung tuyến BM , CN cắt G Gọi K điểm cạnh BC  K B, C  Đường thẳng qua K song song CN cắt AB, BM D, H Đường thẳng qua K song song BM cắt AC, CN E , O Gọi I giao điểm KG , DE Chứng minh I trung điểm DE 2 Bài (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y  xy 4 Tìm giá trị nhỏ 2 giá trị lớn biểu thức A  x  y ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm)  x2  2x   2x2 x 0 A   1     x  8  x  x  x   x x  với x 2 3) Rút gọn biểu thức  x2  x   2x2 A   1     2x  8  4x  2x  x   x x   x2  x  x2  x   x2  x    x   x2 x2  x  2 x2     2 x x  x2  4   x    x     x   x   x   x  x3  x  x  x x  x   x3  x x2  x    x x  x2  4   x   x2  4   x    x  x2  4  x2  4   x  x  x  x  x   x    x  1 x     x 2x  x  2 2x  x  2 2x 2 4) Cho số thực a, b thỏa mãn 4a  5ab  b 0 2a  b  Tính giá trị biểu thức E ab 4a  b 2 2 Ta có : 4a  5ab  b 0  4a  4ab  b  ab 0  4a  a  b   b  a  b  0  a b   a  b   4a  b  0    b 4a (ktm 2a  b) ab a2  E 2   4a  b 4a  a Bài (3,0 điểm) 2 3) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn m n  4n  157 Ta có : m n  4n  157  m n  4n   153  m   n   153   m  n    m  n   32.17 Vì m, n   nên m  n  2 Khi m  n    3;9;17;51;153 Do  m  n  3 *   m  n  51  m  n  17 *   m  n  9 m 27 (ktm)  n  26 m 13 (tm)  n 2  m  n  153 *   m  n  1 m  n  9 m 13 *  (ktm) m  n  17 n  m  n  51 m 27 *)   (tm) m  n  3 n 22 m 77 (tm)  n 74 3 4) Giải phương trình  3x      x  3   x  1 0 3 3 3  3x      x  3   x  1 0   3x     x  3   x  1 0 3    x     x  3    x  1 0   3   x   x  3   x    x    x  1   x  1 0 3   x  1   x    x  3  x  1   x  1 0  x   x  0     x    x  3  x  1 0   x  0   x 3   x  0  x   1 2 S  ;3;   2 3 Vậy phương trình có tập nghiệm Bài (6,0 điểm) 4) Đa thức f  x  chia cho x  dư 4, chia cho x  dư 3x  Tìm đa x  1  x  1 thức dư chia f  x  cho  x  1  x 1  Ta có chia cho đa thức có bậc x  1  x  1  f  x chia cho đa thức  có thương Q  x  đa thức dư f  x ax  bx  c f  x   x  1  x  1 Q  x   ax  bx  c  x  1  x  1 Q  x   a  x  1  bx  c  a   x  1 Q  x   a   x  1  bx  c  a f  x  :  x  1 du  f  1 4  a  b  c 4(1) b 3 f  x  :  x  1 du 3x     2 c  a 5 Từ (1) (2) suy a  2, b 3, c 3 P  n  2n  1  n  2n    5) Tìm tất số tự nhiên n để số nguyên tố Ta có P  n  2n  1  n  2n    2 P  n  1   n  1  1   n  1   n  1    2 2 2   n  1    n  1    n  1   n  1  1   n  1     2 P   n  1   n  1   n  1   n  1     2   n  1  n     n  1  n      Để biểu thức P số nguyên tố   n 0  P 3(tm)   n  1  n 1   n  1 n 0    n 1  P 1(ktm)    n 1  P 1( ktm)   n  1  n  1   n  1  n   0    n 2  P 3(tm)  Vậy n   0; 2 6) Tìm tất số x nguyên dương để x  14 x  x  số phương Để B số phương : x  14 x  x  k  x  x  x  x  12 x  k   x    x  x  3 k Đặt UCLN  x  2; x  x   d  d   *  x    x   d  x  2d 4 x  x  4d       1d  4 x  x  3d 4 x  x  3d 4 x  x  3d Khi x  2; x  x  hai số nguyên tố  d 1  d   d 1(d  *)  Suy x  x  x  số phương  x  a    x  x  x   x  12 x  (do x  1) 4 x  x  b   x   b   x  3 2 Mà x 2, x 2,3 không chia hết b lẻ , b  x  1 2  x  x   x  1  x 4  x 2  tm x  a   x  14 x  x   x3  12 x  x  x  12 x   x  12 x  15  0( ktm x  3) Vậy x 2 B 4 x  14 x  x  số phương Bài (6,0 điểm) 3) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM , CD K giao điểm OM , BN I A O D B M K C N c) Chứng minh BIO CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a Xét BIO CMO có : IBO MCO 45 , BO CO (tính chất hình vng); IOB MOC (cùng phụ MOB )  BIO CMO( g c.g ) S BIOM S BIO  S BOM Mặt khác , mà S BIO SCOM BIO CMO 1 a2 S  S  a dvdt  S  (dvdt )   BIOM  S BIOM SCMO  S BOM S BCO , mà BOC ABCD 4 d) Chứng minh MKN  OIM 180 AM BM AI BM AM AI     IM / / BN AB / / CD   MN MC mà IB MC MN IB Ta có :  OMI MKB (đồng vị) (1) IMO có : O 90 , OI OM  BIO CMO   IMO vuông cân O  OIM OMI   Từ (1), (2)  MKB OIM Ta có MKB  MKN 180  OIM  MKN 180  dfcm  4) Cho ABC , đường trung tuyến BM , CN cắt G Gọi K điểm BC  K B, C  AB, BM cạnh Đường thẳng qua K song song CN cắt D , H Đường thẳng qua K song song BM cắt AC, CN E , O Gọi I giao điểm KG, DE Chứng minh I trung điểm DE A N G I D P K H B Ta có : KD / /CN  Ta lại có M E O C KH CG   KD CN (định lý Ta-let) KE / / BM  KO BG KH KO   (Ta  let )    HO / / DE KE BM KD KE Gọi P giao điểm HO, GK Ta có KH / /GO, KO / / GH Do tứ giác HKOG hình bình hành Suy P trung điểm HO, ta có HP / / DI Ta có PO / / IE  Từ (1), (2)   HP KP  DI KI (hệ Talet ) (1) PO KP  IE KI (hệ Talet) (2) HP PO  DI IE mà HP PO  DI IE  I trung điểm DE 2 Bài (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x  y  xy 4 Tìm giá trị nhỏ 2 giá trị lớn biểu thức A  x  y 2 *Ta có : x  y  xy 4 A  x  y 4  xy 2 x  y  x  y 8  xy  x  y 2  A x  y 8   x  y  8 x y  x  y 2  Max A 8     x  y   x  y  xy 4 2 *Ta có : x  y  xy 4 A  x  y 4  xy A 2 x  y  x  y 8  xy  x  y  A  x  y   8  A   x  y  x2   2 Dấu xảy  x  y  xy 4  3 x ; y   3 Min A     3 ;y  x  3  Vậy