Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức với 2) Cho các số thực thỏa mãn và[.]
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC : 2022-2023 Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm) x2 2x x2 x 0 A 1 x 8 x x x x x với x 2 1) Rút gọn biểu thức 2 2) Cho số thực a, b thỏa mãn 4a 5ab b 0 2a b Tính giá trị biểu thức E ab 4a b 2 Bài (3,0 điểm) 2 1) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn m n 4n 157 2) Giải phương trình 3x 3 x 3 x 1 0 Bài (6,0 điểm) 1) Đa thức f x chia cho x dư 4, chia cho x dư 3x Tìm đa thức dư chia f x x 1 x 1 cho số nguyên tố 2) Tìm tất số tự nhiên n để 3) Tìm tất số x nguyên dương để x 14 x x số phương P n 2n n 2n Bài (6,0 điểm) 1) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM , CD K giao điểm OM , BN a) Chứng minh BIO CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Chứng minh MKN OIM 180 2) Cho ABC , đường trung tuyến BM , CN cắt G Gọi K điểm cạnh BC K B, C Đường thẳng qua K song song CN cắt AB, BM D, H Đường thẳng qua K song song BM cắt AC, CN E , O Gọi I giao điểm KG , DE Chứng minh I trung điểm DE 2 Bài (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x y xy 4 Tìm giá trị nhỏ 2 giá trị lớn biểu thức A x y ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) x2 2x 2x2 x 0 A 1 x 8 x x x x x với x 2 3) Rút gọn biểu thức x2 x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x x2 x x2 x x2 x x x2 x2 x 2 x2 2 x x x2 4 x x x x x x x3 x x x x x x3 x x2 x x x x2 4 x x2 4 x x x2 4 x2 4 x x x x x x x 1 x x 2x x 2 2x x 2 2x 2 4) Cho số thực a, b thỏa mãn 4a 5ab b 0 2a b Tính giá trị biểu thức E ab 4a b 2 2 Ta có : 4a 5ab b 0 4a 4ab b ab 0 4a a b b a b 0 a b a b 4a b 0 b 4a (ktm 2a b) ab a2 E 2 4a b 4a a Bài (3,0 điểm) 2 3) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn m n 4n 157 Ta có : m n 4n 157 m n 4n 153 m n 153 m n m n 32.17 Vì m, n nên m n 2 Khi m n 3;9;17;51;153 Do m n 3 * m n 51 m n 17 * m n 9 m 27 (ktm) n 26 m 13 (tm) n 2 m n 153 * m n 1 m n 9 m 13 * (ktm) m n 17 n m n 51 m 27 *) (tm) m n 3 n 22 m 77 (tm) n 74 3 4) Giải phương trình 3x x 3 x 1 0 3 3 3 3x x 3 x 1 0 3x x 3 x 1 0 3 x x 3 x 1 0 3 x x 3 x x x 1 x 1 0 3 x 1 x x 3 x 1 x 1 0 x x 0 x x 3 x 1 0 x 0 x 3 x 0 x 1 2 S ;3; 2 3 Vậy phương trình có tập nghiệm Bài (6,0 điểm) 4) Đa thức f x chia cho x dư 4, chia cho x dư 3x Tìm đa x 1 x 1 thức dư chia f x cho x 1 x 1 Ta có chia cho đa thức có bậc x 1 x 1 f x chia cho đa thức có thương Q x đa thức dư f x ax bx c f x x 1 x 1 Q x ax bx c x 1 x 1 Q x a x 1 bx c a x 1 Q x a x 1 bx c a f x : x 1 du f 1 4 a b c 4(1) b 3 f x : x 1 du 3x 2 c a 5 Từ (1) (2) suy a 2, b 3, c 3 P n 2n 1 n 2n 5) Tìm tất số tự nhiên n để số nguyên tố Ta có P n 2n 1 n 2n 2 P n 1 n 1 1 n 1 n 1 2 2 2 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n 1 2 P n 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1 n n 1 n Để biểu thức P số nguyên tố n 0 P 3(tm) n 1 n 1 n 1 n 0 n 1 P 1(ktm) n 1 P 1( ktm) n 1 n 1 n 1 n 0 n 2 P 3(tm) Vậy n 0; 2 6) Tìm tất số x nguyên dương để x 14 x x số phương Để B số phương : x 14 x x k x x x x 12 x k x x x 3 k Đặt UCLN x 2; x x d d * x x d x 2d 4 x x 4d 1d 4 x x 3d 4 x x 3d 4 x x 3d Khi x 2; x x hai số nguyên tố d 1 d d 1(d *) Suy x x x số phương x a x x x x 12 x (do x 1) 4 x x b x b x 3 2 Mà x 2, x 2,3 không chia hết b lẻ , b x 1 2 x x x 1 x 4 x 2 tm x a x 14 x x x3 12 x x x 12 x x 12 x 15 0( ktm x 3) Vậy x 2 B 4 x 14 x x số phương Bài (6,0 điểm) 3) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM , CD K giao điểm OM , BN I A O D B M K C N c) Chứng minh BIO CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a Xét BIO CMO có : IBO MCO 45 , BO CO (tính chất hình vng); IOB MOC (cùng phụ MOB ) BIO CMO( g c.g ) S BIOM S BIO S BOM Mặt khác , mà S BIO SCOM BIO CMO 1 a2 S S a dvdt S (dvdt ) BIOM S BIOM SCMO S BOM S BCO , mà BOC ABCD 4 d) Chứng minh MKN OIM 180 AM BM AI BM AM AI IM / / BN AB / / CD MN MC mà IB MC MN IB Ta có : OMI MKB (đồng vị) (1) IMO có : O 90 , OI OM BIO CMO IMO vuông cân O OIM OMI Từ (1), (2) MKB OIM Ta có MKB MKN 180 OIM MKN 180 dfcm 4) Cho ABC , đường trung tuyến BM , CN cắt G Gọi K điểm BC K B, C AB, BM cạnh Đường thẳng qua K song song CN cắt D , H Đường thẳng qua K song song BM cắt AC, CN E , O Gọi I giao điểm KG, DE Chứng minh I trung điểm DE A N G I D P K H B Ta có : KD / /CN Ta lại có M E O C KH CG KD CN (định lý Ta-let) KE / / BM KO BG KH KO (Ta let ) HO / / DE KE BM KD KE Gọi P giao điểm HO, GK Ta có KH / /GO, KO / / GH Do tứ giác HKOG hình bình hành Suy P trung điểm HO, ta có HP / / DI Ta có PO / / IE Từ (1), (2) HP KP DI KI (hệ Talet ) (1) PO KP IE KI (hệ Talet) (2) HP PO DI IE mà HP PO DI IE I trung điểm DE 2 Bài (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x y xy 4 Tìm giá trị nhỏ 2 giá trị lớn biểu thức A x y 2 *Ta có : x y xy 4 A x y 4 xy 2 x y x y 8 xy x y 2 A x y 8 x y 8 x y x y 2 Max A 8 x y x y xy 4 2 *Ta có : x y xy 4 A x y 4 xy A 2 x y x y 8 xy x y A x y 8 A x y x2 2 Dấu xảy x y xy 4 3 x ; y 3 Min A 3 ;y x 3 Vậy