Đang tải... (xem toàn văn)
UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4 0 điểm) a) Chứng minh rằng Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và là như nhau b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn[.]
UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP Bài (4.0 điểm): a) Chứng minh rằng: Chữ số tận hai số tự nhiên n n b) Tìm tất số nguyên x thỏa mãn x x p 0 ; với p số nguyên số Bài 2: (3.0 điểm): a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn a b c 0 Tính giá trị biểu thức: P 1 2 2 2 a b c b c a c a2 b2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x x x x 2015; B x x 2016 x2 Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1 x x x x x x x x 12 x x 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P c) Tìm giá trị P x thỏa mãn x x 0 Bài (4.0 điểm): a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab bc ca a b c 2(ab bc ca ) b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 10 x 50 y 42 xy 14 x y 57 Bài (4.0 điểm) Cho M điểm nằm hình vng ABCD có cạnh 2 2 a) Chứng minh rằng: MA MB MC MD 2 b) Xét điểm M nằm đường chéo AC, kẻ MN AB N, gọi O trung điểm 2 AM Chứng minh rằng: CN 2.OB Bài (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có A B Trên cạnh BC lấy điểm Hsao cho HAC ABC Đường phân giác BAH cắt BH E Từ trung điểm M AB kẻ ME cắt đường thẳng AH F Chứng minh rằng: CF//AE ĐÁP ÁN Bài (4.0 điểm): a) Chứng minh rằng: Chữ số tận hai số tự nhiên n n b) Tìm tất số nguyên x thỏa mãn x x p 0 ; với p số nguyên số Giải a ) n5 n n(n 1)(n 1) (n 1)n(n 1)(n 1) (n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) 5n(n 1)(n 1) Ta có (n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) 25 5n(n 1)(n 1)25 n5 n 10 Chữ số tận hai số tự nhiên n n2 b) P x x x( x 1) Vì x( x 1)2 p 2 p 2 x( x 1) 2 x x 0 x x x 0 x( x 2) ( x 2) 0 ( x 1)( x 2) 0 x 1 x Bài 2: (3.0 điểm): a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn a b c 0 Tính giá trị biểu thức: P 1 2 2 2 a b c b c a c a2 b2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x x x x 2015; x x 2016 B x2 Giải a ) a b c 0 a b c (a b) c a b c 2ab TT c b a 2cb a c b 2ac P 1 1 a b c 0 2ab 2bc 2ac abc A x x x x 2015 A x x x x x 2013 A x ( x x 1) 2( x x 1) 2013 ( x 1) ( x 2) 2013 GTNN A 2013 x 1 B x x 2016 ( x 1) 2015 x 1) 2015 2015 x2 x2 x x x x 1) 0 2015 x B 2015 GTNN B x 1 Vậy GTNN Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P 1 1 x x x x x x x x 12 x x 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P c) Tìm giá trị P x thỏa mãn x x 0 Giải: 1 1 x x x 3x x x x x 12 x x 20 1 1 x( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) ( x 4)( x 5) P x 0;1; 2;3; 4;5 a) ĐKXĐ 1 1 1 1 1 P x x x x x x x x x x 1 x x b) x x 0 x x x 0 x ( x 1) 2( x 1)( x 1) 0 ( x 1)( x x 2) 0 x 0 x c) Thay x vào P ta P 5 Bài (4.0 điểm): a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab bc ca a b c 2(ab bc ca ) b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn 10 x 50 y 42 xy 14 x y 57 Giải a) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c a b c 2ab TT : a c b 2ac; c b a 2cb (1) (a b) 0 a b 2ab TT c b 2cb; a c 2ac a b c ab bc ac (2) 2 Từ (1) (2) ab bc ac a b c 2(ab bc ac ) 10 x 50 y 42 xy 14 x y 57 x 49 y 42 xy x 14 x 49 y y b) x 0 y 0 3x y 0 H B (3x y ) ( x 7) ( y 3) x y 3 A M Bài (4.0 điểm) Cho M điểm nằm hình vng ABCD có cạnh C D K 2 2 a) Chứng minh rằng: MA MB MC MD 2 b) Xét điểm M nằm đường chéo AC, kẻ MN AB N, gọi O trung điểm 2 AM Chứng minh rằng: CN 2.OB Giải a) Kẻ HK vng góc với AB, DC HK qua điểm M MA2 HA2 HM MB HB HM MC KC KM O MD KD KM M MA2 MB MC MD HA2 HB KC KD 2( HM KM ) ( HA HB) ( KC KD) ( HM KM ) 2 1 2 2 MA2 MB MC MD 2 N B A H C D Dấu “=” xả HA = HB; KC = KD; HM = KM b) MH BC Kẻ MH NB H AMN vuông cân có O trung điểm AM ON MN 2.ON (1) MN 2 2 MC 2MH MHC MH NB (2) MC 2 MC 2 vuông cân H ON NB (3) MN MC Từ (1) (2) suy ONB ∽ NMC (c g c) OB ON OB ON (4) NC MN NC MN OB NC 2.OB 2 NC Từ (1) (4) Bài (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có A B Trên cạnh BC lấy điểm Hsao cho HAC ABC Đường phân giác BAH cắt BH E Từ trung điểm M AB kẻ ME cắt đường thẳng AH F Chứng minh rằng: CF//AE Giải x F Gọi Cx tia đối tia CA CAH Xét C CBA có H A E M B ACH chung A B ( gt ) CAH ∽ CBA ( g g ) CH AH (1) CA BA AH HE (2) AB EB Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác HBA ta có Áp dụng Menelaus vào tam giác HAB điểm M, E, F MB FA EH EH FH 1 (3) MA FH EB EB FA CH FH CA FA Từ (1) (2) (3) AHC CH FH CA FA có theo tính chất phân giác ngồi ta có ACH CF phân giác ngoaig 1 xCF BCF BCx BCx A B Áp dụng tính chất góc ngồi cuat tam giác ABC có ) A1 A1 A1 A A CAF xCF ( A B 2 Ta xCF CAE ( vị trí đồng vị ) Suy CF//AE