PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học : 2010-2011 MƠN THI: TỐN Ngày thi : 18/4/2011 Thời gian: 120 phút Bài (3 điểm) Cho biểu thức: 2 x +1 x − A= − − x − 1÷ : x 3x x + 3x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên Bài (4 điểm) x để a + b2 ≥ A có giá trị nguyên a + b ≥1 a) Chứng minh rằng: với [ a] a a b) Ký hiệu (phần nguyên ) số nguyên lớn không vượt 34 x + 19 11 = x + x Tìm biết rằng: Bài (3 điểm) 36km, Lúc giờ, ca nô xuôi dòng từ A đến B cách quay trở A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ xi dịng, biết vận tốc 6km / h dòng nước chảy Bài (5 điểm) a) Hãy tính số bị chia, số chia thương số phép chia sau đây: abcd : dcba = q biết ba số bình phương số nguyên (những chữ khác chữ số khác nhau) a , b, c b) Cho ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Bài (5 điểm) AB = a A Gọi M điểm nằm B Vẽ AMNP, BMLK phía AB hình vng có tâm theo thứ tự C, D Gọi I CD trung điểm I AB a) Tính khoảng cách từ đến M AB I b) Khi điểm di chuyển đoạn thẳng điểm di chuyển đường ? Cho đoạn thẳng ĐÁP ÁN Bài x ≠ ±1; x ≠ a) ĐKXĐ: 2 x +1 x − A= − − x − 1÷ : x 3x x + 3x 2 = − 3x 2 = − 3x A= b) 2 x + − 3x2 − 3x x − x − 3x2 x = − ÷ 3x x + x −1 x +1 3x x − x ( x + 1) ( − x ) x − + 6x x 2x = = x +1 3x 3x x −1 x −1 x −1 x ( x − 1) + 2 = =2+ x −1 x −1 x −1 ⇔ A x −1 Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên ⇒ x ∈ { −1;0;2;3} x ≠ −1; x ≠ ⇒ { x} = { 2;3} ⇒ x ∈U (2) = { ±1; ±2} Bài a + b ≥ ⇔ a + 2ab + b ≥ (1) a) Theo ta có: ( a − b ) ≥ ⇔ a − 2ab + b ≥ (2) Mặt khác : ( a + b2 ) ≥ ⇔ a + b2 ≥ b) Từ (1) (2) suy ra: 34 x + 19 34 x + 19 = x + ⇔ ≤ − ( x + 1) < 11 11 x + 1∈ ¢ vả −4 −1 ⇔ ≤ 12 x + < 11 ⇔ −8 ≤ 12 x < ⇔ ≤ 2x < ⇔ ≤ 2x + < 3 Do 2 x + = x = − x + 1∈ ¢ ⇒ ⇔ 2 x + = x = Bài x(km / h) Gọi ( x > 12 ) vận tốc ca nơ xi dịng x − 6( km / h) Vận tốc ca nô nước lặng: x − 12(km / h) Vận tốc ca nơ ngược dịng: 4,5 Thời gian ca nô nên ta có phương trình: x = 4(ktm) 36 36 + = ⇔ ( x − 4)( x − 24) = ⇔ x x − 12 x = 24(tm) 24km / h Vậy vận tốc ca nơ xi dịng Bài abcd : dcba = q a) q = q ≠ 1⇒ ⇒ a, d q = { 1;4;5;6;9} , a, d ≠ Vì phải số thuộc abcd = dcba × q d < ⇒ d =1 Do nên q=4 q=9 1cba.4 = abc1 1cba.4 Giả sử (vơ lý) phải số chẵn nên a = 9, c < 1cba × = abc1 1cba × Với q=9 ta có: suy tích số có chữ số c≠d c ≠ 1⇒ c = nên ta lại có tức abcd = 9b01 = 10b9 × 9b01 b=8 Ta thấy số chia hết 9801:1089 = Tóm lại ta có: x = b + c − a; y = a + c − b ; z = a + b − c ⇒ x , y , z > b) Đặt ⇒ x+ y+ z =a+b+c 2a = a + b + c − ( b + c − a ) = x + y + z − x = y + z ⇒ a = b= Tương tự: y+z x+z x+ y ;c = 2 BĐT chứng minh tương đương với: y x z x y z ⇒ + ÷+ + ÷ + + ÷ ≥ x y x z z y Vậy bất đẳng thức chứng minh y+z x+z x+ y + + ≥6 x y z a b + ≥2 b a Bài CE , IH , DF a) Kẻ vng vng góc với CE = AB suy tứ giác CDFE hình thang AM BM AB a a , DF = ⇒ CE + DF = = ⇒ IH = 2 2 Chứng minh được: b) Khi M di chuyển AB I di chuyển đoạn RS song song với AB a AQ ) cách AB khoảng (R trung điểm Q AN ) BL S trung điểm BQ, giao điểm