PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2014-2015 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 16/03/2015 Bài (4,5 điểm) 6x Q : x 2 x x x x Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q Q b) Tìm x c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (4,5 điểm) 2x 2x 6x2 9x 1 2x 1 2x x 1 x a) Giải phương trình : b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x x 2 c) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho : x y y 13 Bài (4,0 điểm) ab bc ca c a Chứng minh a b c a) Cho abc 1 b n b) Cho số tự nhiên n Chứng minh 10a b a, b ,0 b 10 tích ab chia hết cho Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC DH DA HD HE HF 1 b) Chứng minh rằng: AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M , N , P, Q, I , K trung điểm đoạn thẳng BC , CA, AB , EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Bài (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có AB AC b; BC a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b b a a b Bài (1,0 điểm) a b c 2 2 Cho a, b, c 0; a b c 3 Chứng minh rằng: b c a ĐÁP ÁN Câu a) ĐK: x 1; x x2 x 6x 2x x x 1 Q x 1 x x 1 x x x 1 x x b) 1 x x 3 x 1 x 0 x x 1 So sánh với điều kiện suy x 2 Q x x 2 1 3 Q ; 0; x x x 2 4 x x Vì c) Q GTLN x x x tm Q đạt GTLN x x đạt Lúc Q x Vậy GTLN Q 1 7 x ;x 2 Câu a) ĐK: x 3 x x x 1 x x 1 x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x 20 x 21 x 12 x x 16 x x x x x 1 x x 1 x 16 x x 16 x x 1 2x 7 x 16 x x 16 x x 0 x x 1 0 x 0 (tm) 1 x (ktm) Vậy phương trình có nghiệm x 0 b) Ta có x3 x x x x x x x x x x 1 x 1 c) Ta có: x y y 13 x y 1 12 x y 1 x y 1 12 Do x y x y 1 2 y số chẵn x, y * nên x y x y Do x y x y hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp : x y 6 x y 2 x 4 y 1 Vậy x; y 4;1 Câu ab bc ca 1 1 a b c c a b c a a) Từ b Do đó: 1 b c 1 c a 1 a b a b ;b c ;c a c b bc a c ac b a ab a b b c c a a b b c c a a 2b c Suy : a b b c c a a 2b 2c 1 0 a b b c c a 0 (do abc 1 ) Suy a b c n (1) b) Ta có: 10a b b2 ab2 Ta chứng minh ab3 (2) n n Thật , từ đẳng thức 10a b có chữ số tận b n k r Đặt n 4k r k , r ,0 r 3 ta có: 16 2n 2r 2r. 16k 1 10 2n r r Nếu tận b 2r 10a 2n 2r 2r. 16k 1 3 a 3 ab3 Suy Từ 1 suy ab6 Câu A E Q P F N H K I B D a) Chỉ C M BDH ADC ( g g ) BD DH BD.DC DH DA AD DC S HBC HD.BC HD S ABC AD.BC AD b) Ta có: HE S HAC HF S HAB ; BE S CF S ABC ABC Tương tự HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AD BE CF S S ABC ABC Do đó: c) Chứng minh AEF ABC c.g.c AEF ABC Tương tự: DEC ABC Do đó: AEF DEC HED Mà AEF HEF DEC HED 90 nên HEF EH phân giác ngồi góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF EM BC d) Do BEC vuông E, M trung điểm BC nên (trung tuyến ứng với FM BC cạnh huyền), Tương tự: Do đó: EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ EF MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Câu A H D B C Vẽ BH đường cao tam giác ABC Tam giác BAD cân B BA BD có BH đường cao nên đường trung tuyến AD Tam giác ABC có BD đường phân giác, ta có: AH DA AB b DA DC DA DC AC b b2 DA DC BC a b a a b a b a b a b Tam giác HAB vuông H, theo định lý Pytago ta có: AD AB BH AH BH b (1) Tam giác HBC vng H, theo định lý Pytago, ta có: 2 2 2 2 2 BC BH HC BH BC AC AH BH a b b AD AD a b 2 AD (2) Từ (1) (2) ta có: AD AD 2 2 b a b b AD b a b AD b 4 ab a b b 1 b b a b a a b ab b a a b a b Vậy toán dược chứng minh Câu Do a, b b 2b với b nên: a ab ab ab a a a b2 b2 2b b bc c ca b ; c 2 a2 Tương tự ta có: c a b c ab bc ca 3 2 2 Mà a b c 3 nên b c a (1) Cũng từ a b c 3 a b c 9 a b c ab bc ca 9 2 2 2 2 Mà a b 2ab; b c 2bc; c a 2ac nên a b c ab bc ca Suy ab bc ca 9 ab bc ca 3 a b c 3 2 2 Từ 1 , suy b c a Đẳng thức xảy a b c 1 dfcm