PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (6,0 điểm) 1 Cho biểu thức a Rút gọn Tìm để nhận giá trị nguyên b Tìm giá trị lớn nhất củ[.]
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (6,0 điểm) A Cho biểu thức 3x x3 x x 1 a Rút gọn A Tìm x để A nhận giá trị nguyên b Tìm giá trị lớn A Cho f x ax bx c Chứng tỏ rằng: với a, b, c số thỏa mãn: 13a b 2c 0 f f 3 0 Bài 2: (6,0 điểm) Cho M (n n 5) ( n 1) 2018 Chứng minh M chia hết cho với số tự nhiên n 2 Tìm giá trị trị nhỏ biểu thức: N a 2a 3a 4a 2 Cho a b số tự nhiên thoả mãn a a 3b b Chứng minh rằng: a b 2a 2b số phương Bài 3: (6,0 điểm) Cho ABC vng A lấy điểm H cạnh BC Gọi E , F điểm đối xứng H qua AB AC Chứng minh tứ giác BEFC hình thang Tìm vị trí H để BEFC trở thành hình bình hành, hình chữ nhật khơng ? Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất? Bài 4: (2,0 điểm) Có hay khơng hai số nguyên dương a b có tổng 2022 tích chúng chia hết cho 2022 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH NĂM HỌC: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) A Cho biểu thức 3x x3 x x 1 a Rút gọn A Tìm x để A nhận giá trị nguyên b Tìm giá trị lớn A Cho f x ax bx c Chứng tỏ rằng: với a, b, c số thỏa mãn: 13a b 2c 0 f f 0 Lời giải a Điều kiện xác định: x x x 0 ( x 1)( x 1) 0 x 0 x A 3x 3( x 1) 2 x x x ( x 1)( x 1) x Vì x 1 nên *) *) *) 0 A 3 A Z A 1; 2;3 x 1 Do A 1 1 x 2 x 2(tm) x 1 A 2 1 2 x x (tm) x 1 2 A 3 3 x 0 x 0(tm) x 1 2 1 x ;0; 2 Vậy giá trị cần tìm A 3 x 0 tm b.Với nhận xét A 3 Do Amax 3 x 0 Ta có f 4a 2b c f 3 9a 3b c f f 3 13a b 2c 0 Do đó: f ( 2) f (3) f ( 2) f (3) 0 (đpcm) Bài 2: (6,0 điểm) Cho M (n n 5) ( n 1) 2018 Chứng minh M chia hết cho với số tự nhiên n 2 Tìm giá trị trị nhỏ biểu thức: N a 2a 3a 4a 2 Cho a b số tự nhiên thoả mãn a a 3b b Chứng minh rằng: a b 2a 2b số phương Lời giải Ta có x x 6 ( x N ) Khi : M n 2n n 2n n 2n (n 1) 2018 n 2n n 2n 2022 n 2n n 2n 6 mà 20226 nên M 6 Áp dụng kết ta có : N a 2a 3a 4a a 2a a a 2a 1 2 a a a 1 3 a a 0 a 1 a Đẳng thức xảy Vậy N 3 a=1 2a a 3b b 2a 2b a b b a b 2a 2b 1 b (1) Gọi a b; 2a 2b 1 d Khi : Mà b a b 2a 2b 1 d bd a b d a d 2a 2b d 2a 2b 1 2a 2b d 1d d 1 Như vậy: (a b; 2a 2b 1) 1 Từ đó, theo (1) suy ra: a b 2a 2b số phương Bài 3: (6,0 điểm) Cho ABC vng A lấy điểm H cạnh BC Gọi E , F điểm đối xứng H qua AB AC Chứng minh tứ giác BEFC hình thang Tìm vị trí H để BEFC trở thành hình bình hành, hình chữ nhật khơng Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất? Lời giải Theo giả thiết suy ra: EBH 2 ABC 2 ACB FCH EBH FCH 2 ABC ACB 180o B E H A C F Mà hai góc vị trí phía nên BE //CF EBCF hình thang 2.Vì EBCF hình thang có hai đáy BE , CF nên: + Để EBCF hình bình hành cần thêm EB CF Mà EB BH ; CF HC EB CE BH HC H trung điểm BC Vậy BECF hình bình hành H trung điểm BC + Để BECF hình chữ nhật điều kiện trước hết EBCF hình bình hành, H trung o o điểm BC EBH 90 hay ABH 45 tức ABC vuông cân A Vậy để BECF hình chữ nhật cần ABC vng cân A H trung điểmcủa BC Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm EH AB , FH AC Dễ thấy EHF vng H nên Theo địnhlý Ta-let ta có: S EHF EH FH 2 PH QH PH BH AC BC QH CH AB BC PH QH BH CH AC AB BC AC AB PH QH BH CH BC Cách 1) Mặt khác ta có: ( BH CH ) ( BH CH ) BH CH AB AC BC AB AC BH CH BC 4 Đẳng thức xảy BH CH hay H trung điểm BC Vậy EFH có diện tích lớn H làtrung điểmcủa BC Cách 2) Do BH + CH = BC không đổi, nên áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy ta có BH CH đạt giá trị lớn BH CH hay H trung điểm BC Vậy EFH có diện tích lớn H làtrung điểmcủa BC Cách 3) Áp dụng bất đẳng thức a b 4ab ta có: BC AB AC BH CH PH QH 4 Bài 4: (2,0 điểm) Có hay khơng hai số ngun dương a b có tổng 2022 tích chúng chia hết cho 2022 Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu toán Tức là: a b 2022 (1) * ab 2022c, c N (2) a 2 a.b 2.2.337.c b2 Từ suy ra: a 2 Từ suy a b chia hết cho số cịn lại chia hết cho Do đó: b2 a 3 a 337 b Lập luận tương tự : b337 a 2.3.337 Vì 2,3,337 số nguyên tố nên b 2.3.337 a 2022 a 2022 a b 2022 b 2022 b 2022 hay Điều mâu thuẫn với , điều giả sử Sai Vậy không tồn số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... nên b 2.3.337 a 2 022 a 2 022 a b 2 022 b 2 022 b 2 022 hay Điều mâu thuẫn với , điều giả sử Sai Vậy khơng tồn số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = =... hai số ngun dương a b có tổng 2 022 tích chúng chia hết cho 2 022 Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu toán Tức là: a b 2 022 (1) * ab 2022c, c N (2) a 2 a.b 2.2.337.c...ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH NĂM HỌC: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) A Cho