079 đề hsg toán 8 thuận thành 22 23

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (6,0 điểm) 1 Cho biểu thức a Rút gọn Tìm để nhận giá trị nguyên b Tìm giá trị lớn nhất củ[.]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THUẬN THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (6,0 điểm) A Cho biểu thức 3x  x3  x  x 1 a Rút gọn A Tìm x để A nhận giá trị nguyên b Tìm giá trị lớn A Cho f  x  ax  bx  c Chứng tỏ rằng: với a, b, c số thỏa mãn: 13a  b  2c 0 f    f  3 0 Bài 2: (6,0 điểm) Cho M (n  n  5)  ( n  1)  2018 Chứng minh M chia hết cho với số tự nhiên n 2 Tìm giá trị trị nhỏ biểu thức: N a  2a  3a  4a  2 Cho a b số tự nhiên thoả mãn a  a 3b  b Chứng minh rằng: a  b 2a  2b  số phương Bài 3: (6,0 điểm) Cho ABC vng A lấy điểm H cạnh BC Gọi E , F điểm đối xứng H qua AB AC Chứng minh tứ giác BEFC hình thang Tìm vị trí H để BEFC trở thành hình bình hành, hình chữ nhật khơng ? Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất? Bài 4: (2,0 điểm) Có hay khơng hai số nguyên dương a b có tổng 2022 tích chúng chia hết cho 2022 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH NĂM HỌC: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) A Cho biểu thức 3x  x3  x  x 1 a Rút gọn A Tìm x để A nhận giá trị nguyên b Tìm giá trị lớn A Cho f  x  ax  bx  c Chứng tỏ rằng: với a, b, c số thỏa mãn: 13a  b  2c 0 f    f   0 Lời giải a Điều kiện xác định: x  x  x  0  ( x  1)( x  1) 0  x  0  x  A 3x  3( x  1)   2 x  x  x  ( x  1)( x  1) x  Vì x  1 nên *) *) *) 0 A 3 A  Z  A   1; 2;3 x 1 Do A 1  1  x 2  x  2(tm) x 1 A 2  1 2  x   x  (tm) x 1 2 A 3  3  x 0  x 0(tm) x 1 2   1  x   ;0;   2    Vậy giá trị cần tìm A 3  x 0  tm  b.Với nhận xét A 3 Do Amax 3 x 0 Ta có f    4a  2b  c f  3 9a  3b  c  f     f  3 13a  b  2c 0 Do đó: f ( 2)  f (3)  f ( 2) f (3) 0 (đpcm) Bài 2: (6,0 điểm) Cho M (n  n  5)  ( n  1)  2018 Chứng minh M chia hết cho với số tự nhiên n 2 Tìm giá trị trị nhỏ biểu thức: N a  2a  3a  4a  2 Cho a b số tự nhiên thoả mãn a  a 3b  b Chứng minh rằng: a  b 2a  2b  số phương Lời giải Ta có x  x 6 ( x  N ) Khi : M   n  2n     n  2n     n  2n   (n  1)  2018     n  2n     n  2n     2022     n  2n     n  2n    6  mà 20226 nên M 6 Áp dụng kết ta có :  N a  2a  3a  4a   a  2a  a    a  2a  1  2  a  a    a  1  3 a  a 0  a 1  a   Đẳng thức xảy  Vậy N 3 a=1 2a  a 3b  b   2a  2b    a  b  b   a  b   2a  2b  1 b (1) Gọi  a  b; 2a  2b  1 d Khi : Mà b  a  b   2a  2b  1 d  bd a  b d  a d  2a  2b d   2a  2b  1   2a  2b  d  1d  d 1 Như vậy: (a  b; 2a  2b  1) 1 Từ đó, theo (1) suy ra: a  b 2a  2b  số phương Bài 3: (6,0 điểm) Cho ABC vng A lấy điểm H cạnh BC Gọi E , F điểm đối xứng H qua AB AC Chứng minh tứ giác BEFC hình thang Tìm vị trí H để BEFC trở thành hình bình hành, hình chữ nhật khơng Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất? Lời giải Theo giả thiết suy ra:   EBH 2 ABC   2 ACB  FCH     EBH  FCH 2 ABC  ACB 180o B E H A C F Mà hai góc vị trí phía nên BE //CF  EBCF hình thang 2.Vì EBCF hình thang có hai đáy BE , CF nên: + Để EBCF hình bình hành cần thêm EB CF Mà EB BH ; CF HC  EB CE  BH HC  H trung điểm BC Vậy BECF hình bình hành H trung điểm BC + Để BECF hình chữ nhật điều kiện trước hết EBCF hình bình hành, H trung o o   điểm BC EBH 90 hay ABH 45 tức ABC vuông cân A Vậy để BECF hình chữ nhật cần ABC vng cân A H trung điểmcủa BC Gọi P, Q theo thứ tự giao điểm EH AB , FH AC Dễ thấy EHF vng H nên Theo địnhlý Ta-let ta có: S EHF  EH FH 2 PH QH PH BH  AC BC QH CH  AB BC PH QH BH CH   AC AB BC AC AB  PH QH  BH CH BC Cách 1) Mặt khác ta có: ( BH  CH ) ( BH  CH )  BH CH AB AC BC AB AC  BH CH   BC 4 Đẳng thức xảy BH CH hay H trung điểm BC Vậy EFH có diện tích lớn H làtrung điểmcủa BC Cách 2) Do BH + CH = BC không đổi, nên áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy ta có BH CH đạt giá trị lớn BH CH hay H trung điểm BC Vậy EFH có diện tích lớn H làtrung điểmcủa BC Cách 3) Áp dụng bất đẳng thức  a  b 4ab ta có: BC AB AC BH CH   PH QH  4 Bài 4: (2,0 điểm) Có hay khơng hai số ngun dương a b có tổng 2022 tích chúng chia hết cho 2022 Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu toán Tức là:  a  b 2022 (1)  *  ab 2022c, c  N (2)  a 2 a.b 2.2.337.c    b2 Từ   suy ra:  a 2  Từ   suy a b chia hết cho số cịn lại chia hết cho Do đó: b2  a 3 a 337   b   Lập luận tương tự : b337 a 2.3.337  Vì 2,3,337 số nguyên tố nên b 2.3.337 a 2022  a 2022    a  b 2022  b  2022 b  2022   hay Điều mâu thuẫn với   , điều giả sử Sai Vậy không tồn số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... nên b 2.3.337 a 2 022  a 2 022    a  b 2 022  b  2 022 b  2 022   hay Điều mâu thuẫn với   , điều giả sử Sai Vậy khơng tồn số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = =... hai số ngun dương a b có tổng 2 022 tích chúng chia hết cho 2 022 Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu toán Tức là:  a  b 2 022 (1)  *  ab 2022c, c  N (2)  a 2 a.b 2.2.337.c...ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH NĂM HỌC: 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) A Cho