PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm : 90 phút Bài (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x x3 y x y b)ab a b bc b c ca c a x2 10 x M : x 2 x x 3x x x2 Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để M xác định rút gọn M b) Tìm tất giá trị x để M Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x x x 0 x x b) 4.3 27.2 108 0 Bài (2,0 điểm) a) Xác định đa thức bậc ba f x khơng có hạng tử tự cho f x f x 1 x 2 b) Chứng tỏ 12 22 32 n 1 n n n 1 2n 1 (với n ) Bài (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB, AD Chứng minh : a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH CD CB.CK c) AB AH AD AK AC Bài (4,0 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức : P 4x x2 b) Cho tam giác ABC , O điểm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC , CA, AB D, E , F OA OB OC 2 Chứng minh AD BE CF ĐÁP ÁN Bài (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x x y x y x x y x y x y x 1 x x 1 b) ab a b bc b c ca c a ab a c b c bc b c ca c a bc b c ab b c ca c a ab c a b b c c a a c a b c b a b c c a x2 10 x M : x x2 x x 3x x Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện x để M xác định rút gọn M ĐKXĐ: x 0, x 2 x2 10 x M : x 2 x2 x x 3x x x2 x 10 x : x x x x x x2 3x x x 3x x 18 x x2 1 : 3x x x x 3x x x x d) Tìm tất giá trị x để M M 0 1 x 2, x 0, x 2 x Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x x x 0 x x x x x 0 x 0 x 1 x 1 x 0 x 0 x 2 Vậy S 1; 2 x x b) 4.3 27.2 108 0 x.3x 4.3x 27.2 x 108 0 3x x 27 x 0 x x 27 0 x 3 x 2 Vậy S 2;3 Bài (2,0 điểm) c) Xác định đa thức bậc ba f x khơng có hạng tử tự cho f x f x 1 x Theo cho đa thức f x có dạng f x ax bx cx *) x 1 a b c 0 1 *) x 0 a b c 0 *) x 2 8a 4b 2c a b c 4 Từ (1), (2), (3) ta có hệ a b c 1 a b c 0 7a 3b c 4 1 a ;b ; c Giải hệ phương trình ta 1 f x x3 x x Vậy đa thức cần tìm d) Chứng tỏ 12 22 32 n 1 n Chứng minh phương pháp quy nạp 1 2.1 1 12 1 Với n 1 ta có Giả sử đẳng thức với n k n n 1 2n 1 (với n ) 12 22 32 k k k 1 2k 1 Ta chứng minh đẳng thức với n k Thật vậy, với n k 1, ta có: k k 1 2k 1 k 1 k 1 k 2k 1 k 1 k 1 k k 1 1 k 1 k 1 k 1 1 6 12 2 32 k k 1 Bài (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB, AD Chứng minh : H C B F E A D K d) Tứ giác BEDF hình bình hành BAC DCA( g c.g ) BE DF , BE / / DF (cùng vng góc với AC) Xét tứ giác BEDF có BE DF , BE / / DF nên BEDF hình bình hành e) CH CD CB.CK BC DC CH CD CB.CK CH CK f) AB AH AD AK AC HBC ∽ KDC AEB ∽ AHC AB AH AE AC AD AK AF AC AB.AH AD AK AE AF AC Mà AF CE AE AF AE CE AB.AH AD.AK AC Bài (4,0 điểm) c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức : Ta có : P 4x x2 x 2 4x P 1 1 0 P 0 x P 1 x 3x x 3 Dấu xảy x 2 x 4 x 12 x x 3 P4 0 x 3 x2 x 3 4 P 0 P x 3 d) Cho tam giác ABC , O điểm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC , CA, AB D, E , F OA OB OC 2 Chứng minh AD BE CF A E F O B C D OA SOAB SOAC SOAB SOAC AD S DAB S DAC S ABC OB SOAB SOBC OC SOBC SOAC ; BE S CF S ABC ABC Tương tự : OA OB OC S ABC 2 AD BE CF S ABC Cộng vế theo vế ta