UBND HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Câu (2,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x x xy A x x 2022 ax 2021 a x 2020 2) Cho đa thức đa thức A(x) chia cho đa thức B(x) dư Câu (2,0 điểm) B x x Tìm hệ số a để 2 x 1 x A x 1 : x (với x 0; x 1) 3x x 1 3x 1) Cho biểu thức Rút gọn A tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 3 3 2) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a b 5c 11d Chứng minh tổng a b c d chia hết cho Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau : x x x 6 999 499 332 1 1 2) x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ) Vẽ đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua K kẻ đường thẳng 1) (d) song song với AH, (d) cắt đường thẳng AC P Gọi Q trung điểm BP, tia AQ cắt đường thẳng BC I Chứng minh : 1) AB HB AC HC 2) Tam giác ABP vuông cân BHQ ∽ BPC 3) AH BC 1 HB IB Câu (1,0 điểm) x3 y3 xy x y với x, y số dương 1) Chứng minh 2) Cho a, b, c số dương thỏa abc 1 Chứng minh : 1 3 1 a b 1 b c 1 c a3 1 ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 2 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x x xy x x x xy x x x y x x y x y A x x 2022 ax 2021 a x 2020 4) Cho đa thức để đa thức A(x) chia cho đa thức B(x) dư Gọi thương phép chia x 2022 ax 2021 A x cho B x Q x a x 2020 x 1 Q x B x x Tìm hệ số a Theo ta có : (với x) (1) Thay x 1 vào (1) ta a 3a 2020 0 2a 2020 a 1010 Vậy a 1010 Câu (2,0 điểm) 2 x 1 x A x 1 : x (với x 0; x 1) 3x x 1 3x 3) Cho biểu thức Rút gọn A tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên 2 x 1 x 1 x x 1 x x A x 1 : : 3x x 3x x 1 3x 3x x 1 x 2 3x x x 2x 2 3x x x x 3x 2x A 2 x x A Z x 1 U (2) 1; 2 x 2;3 (tm) 3 3 4) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a b 5c 11d Chứng minh a bc d chia hết cho tổng 3 3 Với a, b, c số nguyên , ta có : a b 5c 11d a b3 c3 d 6c 12d 6 c3 2d a b3 c3 d 6 1 a Xét hiệu b3 c d a b c d a a b3 b c c d d a a 1 a 1 b b 1 b 1 c c 1 c 1 d d 1 d 1 Do a a 1 a 1 6, cmtt b b 1 b 1 , c c 1 c 1 , d d 1 d 1 Vậy a 3 b c d a b c d chia hết cho (2) a b c d 6 Từ (1) (2) suy Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau : chia hết cho x x x x x x 6 1 2 0 999 499 332 999 499 332 x 1000 x 1000 x 1000 0 999 499 332 1 1 x 1000 0 0 x 1000 999 499 332 999 499 332 1) S 1000 1 1 2) x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 1 1 x 4; 5; 6; x x x 5 x x x 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 18( x x 4) x x x x 18 18 x 126 18 x 72 x 11x 28 x 11x 26 0 x 13(tm) x 13 x 0 x 2(tm) S 13; 2 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ) Vẽ đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua K kẻ đường thẳng (d) song song với AH, (d) cắt đường thẳng AC P Gọi Q trung điểm BP, tia AQ cắt đường thẳng BC I Chứng minh : I K B H Q P 1) A C AB HB AC HC 2 Chứng minh AB BH BC , chứng minh AC CH BC AB BH BC BH AC CH BC CH 2) Tam giác ABP vuông cân BHQ ∽ BPC CK CA PK / / AH CKP ∽ CAB AKC ∽ BPC c.g c 1 CP CB AKH vuông cân H nên AKC 45 Từ (1) K1 BPC 45 BAP vuông cân A Chứng minh Xét BQ.BP BH BC AB BHQ & BPC : BH BQ BP BC BH BQ ; PBC chung BHQ ∽ BPC (c.g c ) BP BC AH BC 1 HB IB BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác IC AC ABC 2 AI phân giác tam giác IB AB AC AH ABC ∽ HBA 3 AB HB 3) Từ (2) (3) ta có : IC AH IB BC AH BC AH AH BC 1 1 IB HB IB HB IB HB HB IB Câu (1,0 điểm) 3) Chứng minh x3 y xy x y với x, y số dương x y xy x y x y x y 0 Giả sử (luôn với x, y 0) Dấu xảy x y 4) Cho a, b, c số dương thỏa abc 1 Chứng minh : 1 3 1 a b 1 b c 1 c a3 1 Với a, b, c số dương a.b.c 1 Áp dụng phần a, ta có : a b3 ab a b a b abc ab a b c a b ab a b c 1 1 a b ab a b c 1 1 2 , 3 3 b c bc a b c a c ac a b c Tương tự, ta có : Từ (1), (2), (3) ta có : 1 1 1 3 3 a b b c c a ab a b c bc a b c ac a b c a b c 1 abc 1 abc a b c abc 1 3 1 a b b c c a Dấu xảy a b c 1