052 đề hsg toán 8 bà rịa 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHÓ BÀ RỊA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kỳ thì đều chia hết[.]

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHĨ BÀ RỊA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLYMPIC NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TOÁN Bài (4,0 điểm) a) Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử Bài (4,0 điểm) M  x  x    x    x  10   128 2x2  4x  x    2 x  2x  x  x  a) Cho biểu thức với x 1; x  Rút gọn A tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A 2  1  1 D         a   b  biết a  b 1 a  0, b  b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (4,0 điểm) 214  x 265  x 216  x 167  x    10 71 31 11 a) Tìm giá trị x biết 91 y  z 1 z  x  x  y     x y z xyz b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn 2021 2021 Tính giá trị biểu thức A 2020 x  y  z Bài (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo Vẽ hình chữ nhật AOBE Đường thẳng OE cắt AB, CD G F Đường thẳng DE cắt AB, OA H I Gọi M , N trung điểm AD OF Chứng minh a) Tứ giác ADOE hình bình hành b) Ba điểm G, I , M thẳng hàng c) Ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy 2 d) 12 EH ED 4 BD  AC Bài 5.(3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bở AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường thẳng vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh a) AC  BD CD b) CO tia phân giác ACD ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) c) Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho y  1 x, y   Gọi hai số nguyên lẻ x  Ta có :  x  1 2   y  1 4 x  x  y  y 4 x  x  1  y  y  1 d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử chia hết cho M  x  x    x    x  10   128 M x  x    x    x  10   128  x  10 x   x  10 x  24   128  x  10 x  12  12   x  10 x  12  12   128  x  10 x  12   144  128  x  10 x  12   16  x  10 x  16   x  10 x    x    x    x  10 x   Bài (4,0 điểm) 2x2  4x  x  A   2 x  2x  x  x  c) Cho biểu thức với x 1; x  Rút gọn A tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên x  x    x    x  3   x  1   x  x   2x2  x  x  A    2 x  2x  x  x   x  1  x  3   x  1  x  3  x  x  x   x  x   3x   x  x  x2  x     x  1  x  3  x  1  x  3  x  1  x  3 x  Ta có A nhận giá trị nguyên  x 1  Z  1  Z  x  1   2;  1;1; 2  x    1; 0; 2;3 x x (tmđk) 2  1  1 D         a   b  biết a  b 1 d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  0, b   1  1 D         a  b Ta có 2 2 2 b  a  a b   a b   a b a b                          a   b   a  b a2    b a b Áp dụng BĐT Cô si  D 8  4.2  18 Min D 18  a b  Vậy Bài (4,0 điểm) 214  x 265  x 216  x 167  x    10 71 31 11 c) Tìm giá trị x biết 91 214  x 265  x 216  x 167  x    10 91 71 31 11  214  x   265  x   216  x   167  x    1    2   3     0  91   71   31   11  123  x 123  x 123  x 123  x     0 91 71 31 11  1 1   123  x       0  123  x 0  x 123  91 71 31 11  Vậy x 123 y  z 1 z  x  x  y     x y z xyz d) Cho x, y, z số thực thỏa mãn 2021 2021 Tính giá trị biểu thức A 2020 x  y  z y  z 1 z  x  x  y  y  z 1  z  x   x  y   x  y  z      2 x y z x yz x yz 1  2  x  y  z  x yz y  z 1 1 2  y  z  2 x  x  y  z  3x   3 x  x  x 2 Ta có : z x2 2  z  x  2 y   3 y  y  y x y 2  x  y  2 z   3z  z  z 2021 2021  5  5 A 2020 x  y 2021  z 2021 2020        1010  6  6 Bài (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCD có O giao điểm hai đường chéo Vẽ hình chữ nhật AOBE Đường thẳng OE cắt AB, CD G F Đường thẳng DE cắt AB, OA H I Gọi M , N trung điểm AD OF Chứng minh A E H M I D G B O N F C e) Tứ giác ADOE hình bình hành Ta có AE / /OB AE OB (vì AOBE hình chữ nhật) Nên AE / / OD AE OD (vì OB OD) Do tứ giác ADOE hình bình hành f) Ba điểm G, I , M thẳng hàng Ta có G trung điểm AB (vì AOBE hình chữ nhật) I trung điểm AO (vì ADOE hình bình hành) M trung điểm AD Nên IM , IG đường trung bình tam giác AOB, AOD  IG / /OB IM / / OD  G, I , M thẳng hàng g) Ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy Ta có O, M , F trung điểm AC , AD, CD nên OM , MF đường trung bình tam giác ACD  OM / / CD MF / / AC hay OM / / CF MF / /OC Do tứ giác OCFM hình bình hành mà N trung điểm OF nên N trung điểm MC Vậy ba đường thẳng AC , CD, MN đồng quy 2 h) 12 EH ED 4 BD  AC AOE có AG, EI hai đường trung tuyến cắt H nên H trọng tâm AOE 2 1  EH  EI  EH ED  ED.ED  ED 3 1   EH ED   BD  EB   EH EB   BD  AC  3   12.EH ED 4 BD  AC Bài 5.(3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng bở AB vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường thẳng vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh D I C A O B c) AC  BD CD Gọi I trung điểm CD Tứ giác ACDB hình thang (do AC / / BD)  OI đường trung bình hình thang ACDB  OI  AC  BD  AC  BD 2OI  1 OI  Ta lại có OCD vng O có OI đường trung tuyến nên Từ (1) (2) suy AC  BD CD d) CO tia phân giác ACD Ta có OCD vng O có OI đường trung tuyến nên OI IC  IOC cân I nên IOC ICO CD  2OI CD   Mà IOC ACO (so le trong) nên ACO ICO Vậy CO tia phân giác ACD ...  91   71   31   11  123  x 123  x 123  x 123  x     0 91 71 31 11  1 1   123  x       0  123  x 0  x  123  91 71 31 11  Vậy x  123 y  z 1 z  x  x  y  ...  x  10   1 28 M x  x    x    x  10   1 28  x  10 x   x  10 x  24   1 28  x  10 x  12  12   x  10 x  12  12   1 28  x  10 x  12   144  1 28  x  10 x ...          a   b   a  b a2    b a b Áp dụng BĐT Cô si  D ? ?8  4.2   18 Min D  18  a b  Vậy Bài (4,0 điểm) 214  x 265  x 216  x 167  x    10 71 31 11 c) Tìm giá