PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 2 (4,5 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a )4 x 12 xy y b) x xy x 3xz y 3z c ) x x x x 12 24 2x P : 2 x 1 x x x 1 Bài (4,5 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P x 3 b) Tính giá trị biểu thức P, biết c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Bài (4,0 điểm) a b c ab bc ca 2019 a) Cho số a, b, c thỏa mãn abc 2019 Tính giá trị biểu thức : P b 2c 2019 c a 2019 a 2b 2019 2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x xy y x 40 0 c) Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a b c chia hết cho Chứng minh A a b b c c a abc chia hết cho Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB AC Đường cao AH Từ H kẻ HD AB D AB , HE AC E AC a) Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ABC b) Gọi M điểm đối xứng B qua H Từ M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt cạnh AC điểm N Chứng minh DE / / BN AB BD c) Chứng minh AC CE Bài (1,5 điểm) Cho số dương x, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 504 x y xy ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a )4 x 12 xy y 4 x 10 xy xy y 2 x x y y x y x y x y b) x xy x xz y z x x xy y 3xz 3z x x 1 y x 1 3z ( x 1) x 1 x y z c ) x 3x x x 12 24 x 1 x x x 24 x 1 x x x 3 24 x x x x 24 x x 1 x x 1 24 x x 24 2 x x 25 x x 52 x x x x 10 x x 5 x x 5 2x P : 2 x 1 x x x Bài (4,5 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P 1 2x 1 P : x 1; x 2 x 1 x x x x 1 x x 1 ( x 1) x 1 2x 1 2x x 1 ( x 1) x 3 e) Tính giá trị biểu thức P, biết 2.4 12 x 4(tm) P 2.4 x 1(ktm) f) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x 3 x 3 x Với x 1; x x x 1 5 P , ta có : 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 P Z 1 1 2x 1 Nên để Vậy x 0; 2;3 x 1 x x 5 x x 0 x 1(ktm) x x 3 P Z Bài (4,0 điểm) a b c ab bc ca 2019 d) Cho số a, b, c thỏa mãn abc 2019 Tính giá trị biểu thức : P b 2c 2019 c a 2019 a 2b 2019 a b c ab bc ca 2019 abc 2019 a b c ab bc ca abc a b c ab bc a b c ac abc 0 b a b c a c a c ac abc abc 0 a c ab b bc ac 0 a b b a b c a b 0 a b b c c a 0 Ta có : Mặt khác : P b c 2019 c a 2019 a 2b 2019 b 2c abc c a abc a 2b abc bc b a ac c b ab a c a 2b 2c a b b c c a a b b c c a 0 P 0 Vì Vậy P 0 2 e) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x xy y x 40 0 x xy y x 40 0 2 x xy y x x 1 41 0 x y x 1 41 x y ; x 1 số phương mà 41 viết thành tổng Vì x, y nên hai số phương 16 25 nên ta có hai trường hợp x y 16 x 1 25 x y 25 x 1 16 x y 16 x 1 25 Với Từ x 1 x 5 25 x 1 52 x x 3 x y 4 y 1 2 x 3 y 16 y 42 y y y 4 y 6 2 x y 16 y 4 y y x y 25 x 1 16 Với x 1 16 Từ 2 x 1 (loại số phương lẻ) Vậy f) Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a b c chia hết cho Chứng minh x; y 3;1 ; 3; ; 2;6 ; 2; A a b b c c a abc Vì a b c 4 số chia hết cho a, b, c chia hết cho abc 2 2abc 4 Ta có : A a b b c c a abc a b bc ab c ac abc 2abc a b c a b ab bc ca abc 2abc c ac bc ab a b ab bc ca 2abc ab bc ca a b c 2abc Vì a b c 4 2abc 4 A4 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB AC Đường cao AH Từ H kẻ HD AB D AB , HE AC E AC B H D I O A M N E C d) Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ABC A D E 90 gt nên hình chữ nhật , gọi O giao điểm Tứ giác ADHE có hai đường chéo AH DE nên OA OE OH OD (tính chất hình chữ nhật) OAE cân O OEA OAE mà OAE ABC (cùng phụ với OAB) OEA ABC Xét AED ABC có : A chung, OEA ABC (chứng minh trên) nên AED ∽ ABC ( g.g ) e) Gọi M điểm đối xứng B qua H Từ M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt cạnh AC điểm N Chứng minh DE / / BN Gọi I giao điểm BN AH IH / / MN (cùng vuông góc với BC) mà H trung điểm BM nên I trung điểm BN ABN vuông A có AI đường trung BN AI BI IN IAN cân I INA IAN mà IAN OEA ( OAE tuyến nên cân O) INA OEA OAE mà hai góc vị trí đồng vị nên DE / / BN AB BD f) Chứng minh AC CE Ta có DH / / AC (cùng vng góc với AB) nên theo định lý Ta-let , ta có : BD DH DH BD AB 1 AB AC AC Ta có EH / / EB (cùng vng góc với AC ) nên theo định lý Ta-let ta có : CE HE HE CE AC AC AB AB Ta có AED ∽ ABC (cm câu a) AE AB AD AC DH AB 3 Mà AE DH , AD HE ( ADHE hình chữ nhật) nên HE AC DH AB BD AC AB AB DH AB AB AB AB CE HE AC AC AC HE AC AC AC AC AB Từ (1), (2), (3) ta có BD AB Vậy AC CE Bài (1,5 điểm) Cho số dương x, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 504 x y xy 1 Trước hết ta chứng minh với hai số dương a, b a b a b , , ta có : a b 2 0 a 2ab b 0 a 2ab b 4ab a b 4ab a b 1 ab a b a b a b Dấu xảy a b Với hai số dương x, y ta có : Vậy P 1 4 4 2 x y xy x y xy x y 2 504 1 1007 1007 4 2018 2 x y xy x y xy xy 2 x y Min P 2018 x y x y 1 Vậy giá trị nhỏ P 2018 đạt x y (vì x y 1 )