127 đề hsg toán 8 kim thành 22 23

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1 (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Bài 2 (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm[.]

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm : 90 phút Bài (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x  x3 y  x  y b)ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a   x2   10  x  M     : x  2  x  x  3x x    x2   Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để M xác định rút gọn M b) Tìm tất giá trị x để M  Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x  x  x  0 x x b)  4.3  27.2 108 0 Bài (2,0 điểm) a) Xác định đa thức bậc ba f  x  khơng có hạng tử tự cho f  x   f  x  1  x 2 b) Chứng tỏ 12  22  32    n  1  n  n  n  1  2n  1 (với n  ) Bài (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB, AD Chứng minh : a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH CD CB.CK c) AB AH  AD AK  AC Bài (4,0 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức : P 4x  x2  b) Cho tam giác ABC , O điểm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC , CA, AB D, E , F OA OB OC   2 Chứng minh AD BE CF ĐÁP ÁN Bài (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x  x y  x  y x  x  y    x  y   x  y   x  1  x  x  1 b) ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  ab  a  c   b  c    bc  b  c   ca  c  a  bc  b  c   ab  b  c   ca  c  a   ab  c  a  b  b  c   c  a   a  c  a   b  c   b  a   b  c   c  a   x2   10  x  M    : x      x2   x  x  3x x    Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện x để M xác định rút gọn M ĐKXĐ: x 0, x 2  x2   10  x  M     : x  2  x2   x  x  3x x     x2  x   10  x    : x x  x   x x  x2         3x  x  x    3x  x    18 x x2 1  :   3x  x    x   x  3x  x    x   x d) Tìm tất giá trị x để M  M 0 1   x  2, x 0, x 2 x Bài (3,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x  x  x  0  x  x  x  x  x  0  x  0  x 1   x  1  x   0     x  0  x 2 Vậy S  1; 2 x x b)  4.3  27.2 108 0   x.3x  4.3x    27.2 x  108  0  3x  x    27  x   0   x    x  27  0  x 3    x 2 Vậy S  2;3 Bài (2,0 điểm) c) Xác định đa thức bậc ba f  x khơng có hạng tử tự cho f  x   f  x  1  x Theo cho đa thức f  x  có dạng f  x  ax  bx  cx *) x 1  a  b  c 0  1 *) x 0   a  b  c 0   *) x 2  8a  4b  2c  a  b  c 4   Từ (1), (2), (3) ta có hệ  a  b  c 1   a  b  c 0 7a  3b  c 4  1 a  ;b  ; c  Giải hệ phương trình ta 1 f  x   x3  x  x Vậy đa thức cần tìm d) Chứng tỏ 12  22  32    n  1  n  Chứng minh phương pháp quy nạp   1  2.1  1 12  1 Với n 1 ta có Giả sử đẳng thức với n k n  n  1  2n 1 (với n  ) 12  22  32   k  k  k  1  2k  1 Ta chứng minh đẳng thức với n k  Thật vậy, với n k 1, ta có: k  k  1  2k  1   k  1  k  1  k  2k  1   k  1   k  1  k     k  1  1  k  1  k   1   k 1 1    6 12  2  32   k   k  1  Bài (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB, AD Chứng minh : H C B F E A D K d) Tứ giác BEDF hình bình hành BAC DCA( g c.g )  BE DF , BE / / DF (cùng vng góc với AC) Xét tứ giác BEDF có BE DF , BE / / DF nên BEDF hình bình hành e) CH CD CB.CK BC DC   CH CD CB.CK CH CK f) AB AH  AD AK  AC HBC ∽ KDC  AEB ∽ AHC  AB AH  AE AC AD AK  AF AC  AB.AH  AD AK  AE  AF  AC Mà AF CE  AE  AF  AE  CE  AB.AH  AD.AK  AC Bài (4,0 điểm) c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức : Ta có : P 4x  x2    x  2 4x  P  1  1 0  P  0  x   P 1 x  3x x 3 Dấu xảy x 2 x  4 x  12 x   x  3 P4     0 x 3 x2  x 3 4  P  0  P  x  3 d) Cho tam giác ABC , O điểm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC , CA, AB D, E , F OA OB OC   2 Chứng minh AD BE CF A E F O B C D OA SOAB SOAC SOAB  SOAC    AD S DAB S DAC S ABC OB SOAB  SOBC OC SOBC  SOAC  ;  BE S CF S ABC ABC Tương tự : OA OB OC S ABC    2 AD BE CF S ABC Cộng vế theo vế ta