SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN LỚP Ngày thi: 30/3/2013 Câu (4,5 điểm) 2 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a 7a b 7ab 2b 2 2) Cho x x 1 Tính giá trị biểu thức Q x x x x x x Câu (4,5 điểm) x 1 4026 x R : x x x x x x x Tìm x để biểu thức xác 1) Cho biểu thức định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x 4 Câu (4,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Câu (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD 2 AB 2 AD BC a a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I trung điểm BC , H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Chứng minh HDI 45 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) 2 Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a b a b Tính giá trị lớn biểu thức: S a b a 1 b 1 ĐÁP ÁN Câu 1) Ta có: P 2 a b3 7ab(a b) 2 a b a ab b ab a b a b 2a 2b 5ab a b 2a 4ab 2b ab a b 2a a 2b b a 2b a b 2a b a 2b Kết luận P a b 2a b a 2b 2) Ta có: Q x x x x x x x x x x 2 x x x x x x x x 4 Vậy Q 4 Câu 1) x x x 1 R x x x x x x 4026 Ta có: x 0 x x 0 x 2 ĐK: Khi đó: R x x 1 4026 x x x x 1 x x 1 x 4026 x2 2 x 4 4026 x 2013 x 0 R x 2 2013 Vậy R xác định 2) +Nếu x 2, phương trình cho trở thành : x x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 x x 0 x x 0 x 0(ktm) x 5(tm) x 5( ktm) +)Nếu x 2, phương trình cho trở thành: x x 1 x 1 x 4 x x 1 x 1 x x 1 x x x 0 5 x 0 2 vơ nghiệm Phương trình có nghiệm x Câu 3 1) Ta có: n n n n 1 n 1 Vì n 1; n; n ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho Do n n 8 (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với 1 ; suy n n 24 dpcm 2 2) Giả sử n 4n 2013 m m Suy n 2 2009 m m n 2009 m n m n 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau: m n 2009 m 1005 TH 1: m n n 1002 m n 287 m 147 TH : m n n 138 m n 49 TH 3: m n 41 m 45 n 2 Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu A B H I D E C 1) a) Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân Từ suy AB AD a, BC 2a Diện tích hình thang ABCD AB CD AD a 2a a 3a S 2 b) ADH ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có: AD IB , DC BC hai tam giác ADC IBD đồng dạng Suy ACD BDI (2) Từ 1 , ADH BDI 0 Mà ADH BDH 45 BDI BDH 45 hay HDI 45 2) M A B D C Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M Ta có: BAD AMC (hai góc vị trí đồng vị) DAC ACM (hai góc vị trí so le trong) Mà BAD DAC nên AMC ACM hay ACM cân A, suy AM AC b AD BA c Do AD / / CM nên CM BM b c CM AM AC 2b Mà c AD 1 1 b c 2b la b c 1 1 1 1 (2); (3) lc a b Tương tự ta có: lb c a Cộng 1 ; ; 3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu 2 2 Ta có: a 2a; b 2b a b 2a 2b a b 2 1 Chứng minh với hai số dương x, y x y x y S 2 1 2 a b a b Do đó: Vậy GTLN S 1, dạt a b 1 (1)