PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016-2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 04/04/2017 Câu (4 điểm) Cho biểu thức ( a − 1) − a + 4a a + a M = − : a − 4a 3a + ( a − 1) M a) Rút gọn a M >0 b) Tìm để a M c) Tìm giá trị để biểu thức đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: x+2 x+4 x+6 x+8 + = + 98 96 94 92 a) x − x3 − = b) m 2) Tìm để phương trình sau vơ nghiệm − x x − 2( x − m) − + = x−m x+m m2 − x a, b 3) Tìm cho g ( x) = x + x − f ( x) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức Câu (4 điểm) x + y + z =1 x3 + y + z = A = x 2015 + y 2015 + z 2015 1) Cho Tính 30km / h, 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc sau 15 người nghỉ hết phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để đến B định Tính quãng đường AB ? Câu (5 điểm) ABCD AC BD O, M Cho hình vng có cắt điểm thuộc cạnh B, C ) BC CD (M khác Tia AM cắt đường thẳng N Trên cạnh AB lấy điểm E BE = CM cho ∆OEM a) Chứng minh vuông cân ME / / BN b) Chứng minh : CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) O, M , H c) Từ C kẻ Chứng minh ba điểm thẳng hàng Câu (2 điểm) a , b, c a + b + c = 2016 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu 2a + 3b + 3c + 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − P= + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c thức: ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) a) Điều kiện: Ta có: a ≠ 0; a ≠ ( a − 1) − 2a + a a3 + 4a M = − + : a3 − a − 4a 3a + ( a − 1) ( a − 1) − 2a + a 4a = − + 2 a + a + ( a − 1) ( a + a + 1) a − a ( a + ) ( a − 1) = − + 2a − 4a + a + a + ( a − 1) ( a + a + 1) 4a a +4 a − 3a + 3a − − + 2a − 4a + a + a + 4a = a +4 ( a − 1) ( a + a + 1) a − 4a 4a = = a −1 a + a + b) M > ⇔ 4a > ⇔ a > Kết hợp với điều kiện suy M >0 a>0 a ≠1 a + ) − ( a − 4a + ) ( a − 2) 4a ( M= = =1− a +4 a2 + a +4 c) Ta có: ( a − 2) ≥ a2 + a2 + ≤1 a với nên với ( a − 2) = ⇔ a = a2 + "=" Dấu xảy MaxM = a = Vậy Câu 1) a) Ta có: x+2 x+ x+6 x+8 + = + 98 96 94 92 x + x + x +6 x +8 ⇔ + 1÷+ + 1÷ = + 1÷ + + 1÷ 98 96 94 92 1 ⇔ ( x + 100 ) + − − ÷= 98 96 94 92 Vì Vì a ( a − 2) 1− 1 1 + − − ≠0 98 96 94 92 Do đó: x + 100 = ⇔ x = −100 Vậy phương trình có nghiệm : x = −100 b) Ta có: x − x3 − = ⇔ ( x3 + 1) ( x3 − ) = ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − ) ( x + x + ) = ( *) 1 x − x +1 = x − ÷ + > 2 Do Nên x + x + = ( x + 1) + > ( *) ⇔ ( x + 1) ( x − ) = ⇔ x ∈ { −1;2} với x − x x − 2( x − m) − + = x−m x+m m2 − x 2) (1) x+m≠0 x − m ≠ ⇔ x ≠ ±m ĐKXĐ: ⇒ ( − x ) ( x + m) + ( x − 2) ( x − m ) = − ( x − m ) ⇔ ( 2m − 1) x = m − ( *) 2m − = ⇔ m = +Nếu m≠ +Nếu ta có x=m ( *) ⇔ x = ta có: m−2 ( *) ⇔ x = 2m − −3 (vô nghiệm) - Xét m−2 ⇔ = m ⇔ m − = 2m − m 2m − 1 ⇔ m − 2m + = ⇔ m − m + = ⇔ m − ÷ + = 2 2 (Không xảy vế trái ln dương) x = −m Xét m−2 ⇔ = − m ⇔ m − = − 2m + m 2m − ⇔ m = ⇔ m = ±1 m= m = ±1 Vậy phương trình vơ nghiệm 3) g ( x ) = x + x − = ( x − 1) ( x + ) Ta có: g ( x ) = x2 + x − f ( x) = ax3 + bx + 10 x − Vì chia hết cho đa thức q( x) f ( x ) = g ( x).q( x) Nên tồn đa thức cho ⇒ ax + bx + 10 x − = ( x + ) ( x − 1) q( x) Với x = ⇒ a + b + = ⇒ b = − a − ( 1) Với x = −2 ⇒ 2a − b + = ( ) ( 1) ( 2) a = −4 b = −2 Thay vào ta có: Câu 1) x + y + z =1 ⇔ ( x + y + z) =1 Từ x3 + y + z = Mà ⇒ ( x + y + z ) − x3 − y − z = ⇔ ( x + y + z ) − z3 − ( x3 + y3 ) = ⇔ ( x + y + z − z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) z + z − ( x + y ) ( x − xy + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x + y + z + xy + yz + xz + xz + yz + z + z − x + xy − y ) = ⇔ ( x + y ) ( 3z + 3xy + yz + 3xz ) = ⇔ ( x + y ) 3( y + z ) ( x + z ) = x + y = x = −y ⇔ y + z = ⇔ y = − z x + z = x = − z * * * Nếu Nếu x = − y ⇒ z = ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = y = − z ⇒ x = ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = x = − z ⇒ y = ⇒ A = x 2015 + y 2015 + z 2015 = Nếu 2) x ( km ) x>0 Gọi độ dài quãng đường AB ĐK: x 30 Thời gian dự kiến hết quãng đường AB: (giờ) 30(km) Quãng đường sau giờ: x − 30 ( km ) Quãng đường lại : x − 30 40 Thời gian quãng đường lại: (giờ) x x − 30 =1+ + 30 40 Theo ta có phương trình: ⇔ x = 30.5 + ( x − 30 ) ⇔ x = 60 (thỏa mãn) 60km Vậy quãng đường AB Câu a) ∆OEB ∆OMC Xét ABCD OB = OC Vì hình vng nên ta có : µ =C µ = 450 B 1 Và BE = CM ( gt ) Suy ∆OEM = ∆OMC (c.g.c) ⇒ OE = OM µ =O ¶ O ¶ +O ¶ = BOC · O = 900 Lại có: ¶ +O µ = EOM · ⇒O = 900 tứ giác ABCD hình vng OE = OM ⇒ ∆OEM kết hợp với vuông cân O ABCD ⇒ AB = CD AB / /CD b) Từ giả thiết hình vng AM BM + AB / / CD ⇒ AB / / CN ⇒ = ( *) MN MC (định lý Ta-let) BE = CM ( gt ) ( *) AB = CD ⇒ AE = BM Mà thay vào AM AE = ⇒ ME / / BN MN EB Ta có: (theo Định lý Talet đảo) OM BN H' c) Gọi giao điểm · · ME / / BN ⇒ OME = MH ' B Từ · ' B = 450 = C µ · ⇒ MH OME = 450 ∆OEM Mà vng cân O ⇒ ∆OMC : ∆BMH ' ( g.g ) ⇒ OM MC = , BM MH · · OMB = CMH ' kết hợp (hai góc đối đỉnh) · · ' C = 450 ⇒ ∆OMB : ∆CMH '(c.g c) ⇒ OBM = MH Vậy · ' C = BH · ' M + MH · ' C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN BH CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) ⇒ H ≡ H ' O, M , H Mà hay điểm Câu Ta có: 2a + 3b + 3c + 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − P= + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c thẳng hàng (đpcm) Đặt 2015 + a = x 2016 + b = y 2017 + c = z b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c y+z z+x x+ y y x x z y z = + + = + + + + + x y z x y z x z y P= ≥2 Dấu y x z x y z +2 +2 =6 x y x z z y "=" xảy x= y=z (Co − si ) a = 673, b = 672, c = 671 suy a = 673, b = 672, c = 671 P Vậy giá trị nhỏ biểu thức ... 3b + 2c − P= + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c b + c + 4033 c + a + 4032 a + b + 4031 = + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c thẳng hàng (đpcm) Đặt 2015 + a = x 2016 + b = y 2017 + c = z b + c + 4033 c... Ta có: x+2 x+ x+6 x +8 + = + 98 96 94 92 x + x + x +6 x +8 ⇔ + 1÷+ + 1÷ = + 1÷ + + 1÷ 98 96 94 92 1 ⇔ ( x + 100 ) + − − ÷= 98 96 94 92 Vì Vì a... Câu (2 điểm) a , b, c a + b + c = 2016 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu 2a + 3b + 3c + 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − P= + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c thức: ĐÁP ÁN Câu (2 điểm)