PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016-2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 04/04/2017 Câu (4 điểm) a 1 a 4a a 4a M : a 4a a a Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm a để M c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: x x x 6 x 8 98 96 94 92 a) b) x x 0 2) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm x x 2 x m x m xm m2 x 3) Tìm a, b cho f ( x) ax bx 10 x chia hết cho đa thức g ( x ) x x Câu (4 điểm) 3 2015 2015 2015 1) Cho x y z 1 x y z 1 Tính A x y z 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để đến B định Tính quãng đường AB ? Câu (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / / BN c) Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016 Tìm giá trị nhỏ biểu 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c P 2015 a 2016 b 2017 c thức: ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) a) Điều kiện: a 0; a 1 a 1 2a 4a a 4a M : a a a a a Ta có: a 1 2a 4a 4a 2 a a a 1 a a 1 a a a a 1 2a 4a a a a 1 a a 1 4a a 4 a3 3a 3a 2a 4a a a 4a a 4 a 1 a a 1 a 4a 4a a a 4 a 4 b) M 4a a Kết hợp với điều kiện suy M a a 1 a a 4a a 2 4a M 1 a 4 a2 a 4 c) Ta có: 2 a 2 a 0 1 1 a 4 Vì a với a nên với a a 2 2 Dấu " " xảy a Vậy MaxM 1 a 2 Câu 1) a) Ta có: 0 a 2 x x x 6 x 8 98 96 94 92 x x x 6 x 8 1 1 1 1 98 96 94 92 1 x 100 0 98 96 94 92 1 1 0 98 96 94 92 Vì Do đó: x 100 0 x 100 Vậy phương trình có nghiệm : x 100 b) Ta có: x x 0 x3 1 x3 0 x 1 x x 1 x x x 0 * 1 x x x 2 2 Do x x x 1 với x Nên * x 1 x 0 x 1;2 x x 2 x m (1) 2 x m x m m x 2) ĐKXĐ: x m 0 x m 0 x m x x m x x m 2 x m 2m 1 x m * 3 * x ta có: (vơ nghiệm) +Nếu m m * x 2m ta có +Nếu - Xét x m m m m 2m m 2m 2m 0 m 1 2m 2m 0 m m 0 m 0 2 (Không xảy vế trái ln dương) Xét x m 2 m m m 2m m 2m m 1 m 1 m m 1 Vậy phương trình vơ nghiệm 3) Ta có: g ( x) x x x 1 x Vì f ( x) ax bx 10 x chia hết cho đa thức g x x x Nên tồn đa thức q ( x) cho f ( x) g ( x).q( x) ax bx 10 x x x 1 q ( x) Với x 1 a b 0 b a 1 Với x 2a b 0 Thay 1 vào ta có: a b Câu 1) x y z x y z 1 Từ 3 Mà x y z 1 x y z x y z 0 x y z z x y 0 x y z z x y z x y z z z x y x xy y 0 x y x y z xy yz xz xz yz z z x xy y 0 x y 3z 3xy yz 3xz 0 x y y z x z 0 x y 0 x y y z 0 y z x z 0 x z 2015 2015 2015 * Nếu x y z 1 A x y z 1 2015 2015 2015 * Nếu y z x 1 A x y z 1 2015 2015 2015 * Nếu x z y 1 A x y z 1 2) Gọi x km độ dài quãng đường AB ĐK: x x Thời gian dự kiến hết quãng đường AB: 30 (giờ) Quãng đường sau giờ: 30(km) Quãng đường lại : x 30 km x 30 Thời gian quãng đường lại: 40 (giờ) x x 30 1 40 Theo ta có phương trình: 30 x 30.5 3. x 30 x 60 (thỏa mãn) Vậy quãng đường AB 60km Câu E A B M O D C a) Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB OC Và B1 C1 45 BE CM gt H' H N Suy OEM OMC (c.g.c) OE OM O1 O3 Lại có: O2 O3 BOC 90 tứ giác ABCD hình vng O EOM O 900 kết hợp với OE OM OEM vuông cân O b) Từ giả thiết ABCD hình vng AB CD AB / / CD AM BM AB / / CD AB / / CN MN MC (định lý Ta-let) * Mà BE CM gt AB CD AE BM thay vào * AM AE ME / / BN MN EB Ta có: (theo Định lý Talet đảo) OM c) Gọi H ' giao điểm BN Từ ME / / BN OME MH ' B Mà OME 45 OEM vng cân O MH ' B 45 C1 OMC BMH ' g.g OM MC , CMH ' (hai góc đối đỉnh) BM MH kết hợp OMB ' C 450 OMB CMH '(c.g.c) OBM MH Vậy BH ' C BH ' M MH 'C 90 CH ' BN Mà CH BN H BN H H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu Ta có: 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c P 2015 a 2016 b 2017 c b c 4033 c a 4032 a b 4031 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 a x 2016 b y 2017 c z b c 4033 c a 4032 a b 4031 2015 a 2016 b 2017 c yz zx x y y x x z y z x y z x y z x z y P y x z x y z 6 (Co si ) x y x z z y Dấu " " xảy x y z suy a 673, b 672, c 671 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P a 673, b 672, c 671 2