021 đề hsg toán 8 nga sơn 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016-2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 04/04/2017 Câu (4 điểm)   a  1  a  4a  a  4a M   : a  4a a  a        Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm a để M  c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: x  x  x 6 x 8    98 96 94 92 a) b) x  x  0 2) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm  x x  2 x  m    x m xm m2  x 3) Tìm a, b cho f ( x) ax  bx  10 x  chia hết cho đa thức g ( x ) x  x  Câu (4 điểm) 3 2015 2015 2015 1) Cho x  y  z 1 x  y  z 1 Tính A x  y  z 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để đến B định Tính quãng đường AB ? Câu (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / / BN c) Từ C kẻ CH  BN  H  BN  Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 2016 Tìm giá trị nhỏ biểu 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c  P   2015  a 2016  b 2017  c thức: ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) a) Điều kiện: a 0; a 1   a  1  2a  4a  a  4a M    : a  a  a a  a        Ta có:   a  1  2a  4a  4a     2  a  a   a  1  a  a  1 a   a  a    a  1    2a  4a  a  a   a  1  a  a  1 4a a 4 a3  3a  3a    2a  4a  a  a  4a  a 4  a  1  a  a  1 a  4a 4a  a  a 4 a 4 b) M   4a   a  Kết hợp với điều kiện suy M  a  a 1 a     a  4a    a  2 4a  M  1  a 4 a2  a 4 c) Ta có: 2 a  2  a   0  1 1 a 4 Vì a  với a nên với a   a  2 2 Dấu " " xảy a  Vậy MaxM 1 a 2 Câu 1) a) Ta có: 0  a 2 x  x  x 6 x 8    98 96 94 92  x    x    x 6   x 8    1    1   1    1  98   96   94   92  1     x  100       0  98 96 94 92  1 1    0 98 96 94 92 Vì Do đó: x  100 0  x  100 Vậy phương trình có nghiệm : x  100 b) Ta có: x  x  0   x3  1  x3   0   x  1  x  x  1  x    x  x   0  * 1  x  x   x     2 2  Do x  x   x  1   với x Nên  *   x  1  x   0  x    1;2  x x  2 x  m    (1) 2 x  m x  m m  x 2) ĐKXĐ: x  m 0 x  m 0  x m    x   x  m    x    x  m  2   x  m    2m  1 x m   * 3  *  x  ta có: (vơ nghiệm) +Nếu m m  *  x  2m  ta có +Nếu - Xét x m m  m  m  2m  m 2m  2m  0  m  1   2m  2m  0  m  m  0   m    0 2  (Không xảy vế trái ln dương) Xét x  m 2 m  m  m   2m  m 2m   m 1  m 1  m m 1 Vậy phương trình vơ nghiệm 3) Ta có: g ( x) x  x   x  1  x   Vì f ( x) ax  bx  10 x  chia hết cho đa thức g  x  x  x  Nên tồn đa thức q ( x) cho f ( x) g ( x).q( x)  ax  bx  10 x   x    x  1 q ( x) Với x 1  a  b  0  b  a   1 Với x   2a  b  0   Thay  1 vào   ta có: a  b  Câu 1) x  y  z   x  y  z 1   Từ 3 Mà x  y  z 1   x  y  z   x  y  z 0   x  y  z   z   x  y  0   x  y  z  z    x  y  z    x  y  z  z  z    x  y   x  xy  y  0     x  y   x  y  z  xy  yz  xz  xz  yz  z  z  x  xy  y  0   x  y   3z  3xy  yz  3xz  0   x  y   y  z   x  z  0  x  y 0  x  y   y  z 0   y  z    x  z 0  x  z 2015 2015 2015 * Nếu x  y  z 1  A x  y  z 1 2015 2015 2015 * Nếu y  z  x 1  A x  y  z 1 2015 2015 2015 * Nếu x  z  y 1  A x  y  z 1 2) Gọi x  km  độ dài quãng đường AB ĐK: x  x Thời gian dự kiến hết quãng đường AB: 30 (giờ) Quãng đường sau giờ: 30(km) Quãng đường lại : x  30  km  x  30 Thời gian quãng đường lại: 40 (giờ) x x  30 1   40 Theo ta có phương trình: 30  x 30.5  3. x  30   x 60 (thỏa mãn) Vậy quãng đường AB 60km Câu E A B M O D C a) Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB OC   Và B1 C1 45 BE CM  gt  H' H N Suy OEM OMC (c.g.c)    OE OM O1 O3    Lại có: O2  O3 BOC 90 tứ giác ABCD hình vng  O  EOM  O 900 kết hợp với OE OM  OEM vuông cân O b) Từ giả thiết ABCD hình vng  AB CD AB / / CD AM BM  AB / / CD  AB / / CN   MN MC (định lý Ta-let)  * Mà BE CM  gt  AB CD  AE BM thay vào  * AM AE   ME / / BN MN EB Ta có: (theo Định lý Talet đảo) OM c) Gọi H ' giao điểm BN   Từ ME / / BN  OME MH ' B    Mà OME 45 OEM vng cân O  MH ' B 45 C1  OMC BMH '  g.g  OM MC   ,   CMH ' (hai góc đối đỉnh) BM MH kết hợp OMB   ' C 450  OMB CMH '(c.g.c)  OBM MH    Vậy BH ' C BH ' M  MH 'C 90  CH '  BN Mà CH  BN  H  BN   H H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu Ta có: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c  P   2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031    2015  a 2016  b 2017  c Đặt 2015  a  x 2016  b  y 2017  c  z b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   2015  a 2016  b 2017  c yz zx x y y x x z y z          x y z x y z x z y P y x z x y z   6 (Co  si ) x y x z z y Dấu " " xảy x  y z suy a 673, b 672, c 671 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P a 673, b 672, c 671 2