TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút Bài (2 điểm) a) x Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x 1 b) Đa thức f x x ax b chia hết cho đa thức x 2; x Tính 2a 3b Bài (2 điểm) a) Cho an n Chứng minh an an1 số phương 10n 9n b) Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số 20n 20n tối giản Bài (3 điểm) xyz P 3 x y y z z x a) Cho x y z xyz Hãy rút gọn phân thức : 14 54 94 17 M 4 11 19 b) Tìm tích: Bài (4 điểm) a) Cho x by cz; y ax cz; z ax by x y z 0; xyz 1 2 a b c CMR: 1 yz xz xy 0, P x y z b) Cho x y z tính giá trị biểu thức x 1 x2 x x2 P : x 2x x x x2 x Bài (3 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) Tìm giá trị nhỏ P x Bài (3 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi E , F thứ tự trung điểm AB, BC a) Chứng minh rằng: CE DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh rằng: AM AD Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC Vẽ ngồi tam giác hình vng ABDE , ACFH a) Chứng minh EC BH ; EC BH b) Gọi M , N thứ tự tâm hình vng ABDE , ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MNI tam giác ? Vì ? ĐÁP ÁN Bài a) x 1 x 3 x x b) Đa thức f ( x) x ax b chia hết cho đa thức x 2; x nên: f 32 2a b 0(1) f (1) 4 a b (2) Từ 1 ta tìm a 12; b 8 Vậy 2a 3b Bài a) Ta có: an1 n n n n 1 an an1 n n n n 2n 2 n 1 số phương 2 b) Gọi d ƯCLN 10n 9n 20n 20n 10n 9n 4Md 20n 18n 8Md 2n 1Md 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md d số tự nhiên lẻ 2 d , mà d lẻ nên d Mặt khác : 2n 1Md 4n 4n 1Md 20n 20n 5Md 4M Vậy phân số tối giản Bài 3 3 a) Từ x y z 3xyz x y z x y z TH 1: x y z x y z; x z y; y z x P 1 TH : x y z P 2 n n 1 1 n 1 1 Do đó: b) Nhận xét được: 1. 22 1 4 M 1 1 2 2 1 62 1 16 1 1 18 2 1 182 1 1 202 1 20 401 Bài a) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z c x yz x yz 2z c 1 2z 2z c 1 x y z 2x 2y 1 ; 2 a x y z b x y z a b c Tương tự: Khi đó: 1 1 0 x b) Từ x y z Khi đó: yz xz xy xyz xyz P x y z x y 1 y z xyz 1 xyz 1 xyz xyz 3 3 z3 x y z xyz Bài a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x2 P x 1 P Rút gọn ta có: 1 x 2 x x x x 1 2 P 1 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 b) x 1 x Vậy với x x 0; x 1 P x2 x2 1 P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 c) Ta có: Khi x 1; x Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x Vậy GTNN P x x 1 2 x 1 Dấu " " xảy Bài µ µ a) Chứng minh CBE DFC c.g.c C1 D1 0 ả ả Li có: C1 C2 90 D1 C2 90 CE DF b) Gọi K trung điểm CD Chứng mnh tứ giác AECK hình bình hành suy AK / / CE Gọi N giao điểm AK DF DCM có DK KC KN / / CM nên N trung điểm DM Vì CM DM ( câu a), KN / / CM KN DM Tam giác ADM có AN đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác cân A AM AD Bài · · a) Chứng minh được: EAC BAH c.g c EC BH , AEC ABH Gọi K O thứ tự giao điểm EC với BA BH · · · · · · Xét AEK OBK có: AEK OBK ; AKE OKB EAK BOK · BOK 900 Vậy EC BH 1 MI / / EC ; MI EC ; IN / / BH ; IN BH 2 b) Ta có: Mà EC BH EC BH nên MI IN MI IN Vậy tam giác MIN vuông cân I ... 2n 2 n 1 số phương 2 b) Gọi d ƯCLN 10n 9n 20n 20n 10n 9n 4Md 20n 18n 8Md 2n 1Md 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md d số tự nhiên lẻ 2 d , mà d lẻ nên... Nhận xét được: 1. 22 1 4 M 1 1 2 2 1 62 1 16 1 1 18 2 1 182 1 1 202 1 20 401 Bài a) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y ... nên: f 32 2a b 0(1) f (1) 4 a b (2) Từ 1 ta tìm a 12; b ? ?8 Vậy 2a 3b Bài a) Ta có: an1 n n n n 1 an an1 n n