CHUYEN DE HSG TOAN 8 SO CHINH PHUONG

CHUN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG I Số phương: A Một số kiến thức: Số phương: số bình phương số khác Ví dụ: = 22; = 32 A = 4n2 + 4n + = (2n + 1)2 = B2 + Số phương khơng tận chữ số: 2, 3, 7, + Số phương chia hết cho chia hết cho 4, chia hết cho chia hết cho 9, chia hết cho chia hết cho 25, chia hết cho 23 chia hết cho 24,… { = a 99 { { + Số 11 = 9a ⇒ 9a + = 99 + = 10n n n n B Một số toán: Bài 1: Chứng minh rằng: Một số phương chia cho 3, cho dư Giải Gọi A = n2 (n ∈ N) a) xét n = 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 nên chia hết cho n = 3k ± (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 ± 6k + 1, chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư b) n = 2k (k ∈ N) A = 4k2 chia hết cho n = 2k +1 (k ∈ N) A = 4k2 + 4k + chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư Chú ý: + Số phương chẵn chia hết cho + Số phương lẻ chia cho dư 1( Chia củng dư 1) Bài 2: Số số sau số phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải Trang a) số 19932, 19942 chia cho dư 1, 19922 chia hết cho ⇒ M chia cho dư M khơng số phương b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số phương chẵn chia hết cho 4, hai số phương lẻ nên chia dư suy N không số phương c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 chia dư nên không số phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 Số Q gồm 50 số phương chẵn chia hết cho 4, 50 số phương lẻ, số chia dư nên tổng 50 số lẻ chia dư Q chia dư nên Q khơng số phương e) R = 13 + 23 + + 1003 Gọi Ak = + + + k = k(k + 1) k(k - 1) , Ak – = + + + k = 2 Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 đó: 13 = A12 23 = A22 – A12 n3 = An2 = An - 12 Cộng vế theo vế đẳng thức ta có: 2  n(n + 1)  100(100 + 1)  13 + 23 + +n3 = An2 =  = = ( 50.101) số phương       Bài 3: CMR: Với n Ỵ N số sau số phương a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + n +1 )(10 n+1 + 5) + = 10 − (10 n +1 + 5) + A = ( 11 n 10 − Đặt a = 10 n+1 a-1 a + 4a - + a + 4a +  a +  A = (a + 5) + = = = ÷ 9   14 43 555 14 43 ( cĩ n số n-1 số 5) b) B = 111 n n-1   14 43 555 14 43 + = 111 14 43 10n + 555 14 43 + = 111 14 43 10n +  111 B = 111 ÷+1 4 n n n n n  n  = a 10n = 9a + nên Đặt 11 n { B = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 = 33 34 n-1 Trang 2 + 44 14 43 + c) C = 11 2n n Thì C = 11 1 11 1 + 11 1 + = a 10n + a + a + Đặt a = 11 n n n n = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 123 00 123 d) D = 99 n n 123 = a ⇒ 10n = a + Đặt 99 n 123 10n + + 10n + + = a 100 10n + 80 10n + D = 99 n 123 )2 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = ( 99 n+1 22 2 = 11 1 22 2 00 + 25 = 11 1 10n + + 11 1 00 + 25 e) E = 11 n n+1 n n+1 n n 5)2 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = ( 33 n = 11 1 số phương 11 1 số phương f) F = 44 100 100 100 số lẻ nên số phương chia cho phải dư Số 11 100 Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + chia dư 11 1 có hai chữ số tận 11 nên chia cho dư 100 khơng số phương nên F = 44 khơng số phương 11 100 100 Bài 4: 43 ; B = 11 .11 14 43 ; C = 66 66 14 43 a) Cho số A = 11 11 2m m+1 m CMR: A + B + C + số phương Ta có: A 102 m − 10m+1 − 10m − ;B= ; C = Nên: 9 A+B+C+8 = 102 m − 10m+1 − 10m − 102 m − + 10m +1 − + 6(10m − 1) + 72 + + +8= 9 9 ( 10m ) + 16.10m + 64 =  10m +  102 m − + 10.10m − + 6.10 m − + 72 = =  ÷ 9   2 b) CMR: Với x,y Ỵ Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 Trang = (x2 + 5xy + 5y2)2 Bài 5: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương a) n2 – n + b) n5 – n + Giải a) Với n = n2 – n + = khơng số phương Với n = n2 – n + = số phương Với n > n2 – n + khơng số phương Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta có n5 – n chia hết cho Vì n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Với n = 5k n chia hết cho Với n = 5k ± n2 – chia hết cho Với n = 5k ± n2 + chia hết cho Nên n5 – n + chia cho dư nên n5 – n + có chữ số tận nên n5 – n + khơng số phương Vậy : Khơng có giá trị n thỗ mãn toán Bài : a)Chứng minh : Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Giải Mọi số lẻ có dạng a = 4k + a = 4k + Với a = 4k + a = 4k2 + 4k + – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Với a = 4k + a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A số phương có chữ số tận nên A = (10k ± 3)2 =100k2 ± 60k + = 10.(10k2 ± 6) + Số chục A 10k2 ± số chẵn (đpcm) Bài 7: Một số phương có chữ số hàng chục chữ số lẻ Tìm chữ số hàng đơn vị Giải Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm chữ số tận b2 Theo đề , chữ số hàng chục n2 chữ số lẻ nên chữ số hàng chục b2 phải lẻ Xét giá trị b từ đến có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục chữ số lẻ, chúng tận Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị Trang Bài tập nhà: Bài 1: Các số sau đây, số số phương 123 a) A = 22 { 14 43 88 d) D = 44 n 00 123 25 c) C = 99 b) B = 11115556 50 n-1 n 14 43 – 22 123 e) M = 11 2n n n f) N = 12 + 22 + + 562 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số phương a) n3 – n + b) n4 – n + Bài 3: Chứng minh a)Tổng hai số phương lẻ khơng số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Bài 4: Một số phương có chữ số hàng chục Tìm chữ số hàng đơn vị Xin giới thiệu q thày website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ môn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ Trang ... a ⇒ 10n = a + Đặt 99 n 123 10n + + 10n + + = a 100 10n + 80 10n + D = 99 n 123 )2 = 100a(a + 1) + 80 (a + 1) + = 100a2 + 180 a + 81 = (10a + 9)2 = ( 99 n+1 22 2 = 11 1 22 2 00 + 25 = 11 1 10n... phương Ta có: A 102 m − 10m+1 − 10m − ;B= ; C = Nên: 9 A+B+C +8 = 102 m − 10m+1 − 10m − 102 m − + 10m +1 − + 6(10m − 1) + 72 + + +8= 9 9 ( 10m ) + 16.10m + 64 =  10m +  102 m − + 10.10m − +... chữ số hàng đơn vị Trang Bài tập nhà: Bài 1: Các số sau đây, số số phương 123 a) A = 22 { 14 43 88 d) D = 44 n 00 123 25 c) C = 99 b) B = 11115556 50 n-1 n 14 43 – 22 123 e) M = 11 2n n n f) N