CHUYÊN đề số CHÍNH PHƯƠNG, NGUYÊN tố, CHIA hết

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ VÀ CHIA HẾT 3n  1, n�N  Bài 1: Chứng minh nếu: 2n , Đều số phương n chia hết cho 40 HD: Do 2n số chỉnh phương lẻ nên 2n chia cho dư 1, suy n số chẵn Do 3n số phương lẻ nên 3n chia cho dư 1, suy 3nM8  nM8 (1) Do 3n 2n số phương lẻ nên có tận 1; 5; 9, chia cho có dư 1; 0;  2n  1   3n 1  5n  , Do 3n 2n chia cho dư Mà => 2nM5 3nM5  nM5 (2) nMBCNN  5;8  nM40 Từ (1) (2) => b  2.aa a a �0 bb 3 A  p12.p22.p32.p42 p,p ,p ,p đồng thời A viết dạng với bốn số ngun tố Bài 2: Tìm số tự nhiên có chữ số: A  a1a2a3bb b aa a 3 HD: Ta có: A  aa a bb b a a a  aa a 106  bb b 103  aa a 3 3 3    a1a2a3.106  2.103.a1a2a3  a1a2a3  a1a2a3 10  2.10   a1a2a3.1002001  a1a2a3.72.112.132 a1a2a3 phải bình phương số nguyên tố p khác 7, 11, 13 bb b  1000, a1 �0  100  a1a2a3  500 Do � �a a a  289 10  p  23  p� 17,19  �1 �a1a2a3  361 => Vậy A  289578289 A  361722361 Bài 3: Cho số A  11 11122 2225 ( 2005 chữ số 2006 chữ số 2), Chứng minh A số phương HD: Như Ta có: 9A  100 00100 0025  100 00 123 123  100 00  25 2004 2005 4012  2007  2 2006 9A  100 00 14 43  2.5.100 00   10  , số phương Bài 4: Chứng minh số C  44 4488 89 có n số n-1 số 8, viết dạng bình phương số tự nhiên HD: n 111 11 14 43  a  10  9a  n Đặt 444 4488 89  444 44888 14 43 { 14 43  n1  4a.10n  8a  n n n Ta có: 2006 2006 � �  666 67 � 123 �  4a 9a  1  8a   36a2  12a  1  6a  1 � n1 � Bài 5: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho 3, tổng lập phương chúng chia hết cho HD : Gọi hai số phải tìm a b, ta có : a  bM3 a  b  3ab�  a3  b3   a  b a2  ab  b2   a  b �a2  2ab  b2  3ab�  a  b � � � � � Ta có : 2 M9  a  b � �a  b  3ab� a  bM3   a  b  3abM3 � Vì , Do Bài 6: Chứng minh tổng lũy thừa bậc ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho HD: a  1, a, a  1, a�N, a  0 Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:      a  1  a3   a  1  3a3  6a  3a a  1  a  1  9a Ta có:  Bài 7: Chứng minh rằng: A  n  2n  2n  2n  , số phương HD:       A  n2 n2  2n   n2  2n   n2   n  1 Ta có: Vì n  khơng phải số phương nên A khơng thể số phương 10 Bài 8: Chứng minh rằng: 11  chia hết cho 100 HD: 1110    11 1 119  118   11  10 119  118   11 Ta có: Vì 11  11   11 , có chữ số tận nên chia hết cho 10     10 Vậy 11  chia hết cho 100 Bài 9: Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab  bc  ca  A  1 a2 1 b2 1 c2 Chứng minh rằng: số phương HD: Ta có: ab  bc  ca       1 a2  ab  bc  ca  a2  a a  b  c a  b   a  b  a  c Tương tự : 1 b2   a  b  b  c 1 c2   a  c  b  c  a  b  b  c  c  a �  1 a   1 b   1 c   � � �, Khi : 2 2 Vì a, b, c số nguyên nên số phương n n 2n1 Bài 10: Chứng minh rằng:  26.5  M59 HD: 5n2  26.5n  82n1  51.5n  8.64n   59  8 5n  8.64n  59.5n  64n  5n Ta có: 64n  5n M 64  5  59 Vì (đpcm) Bài 11 : Chứng minh rằng: n  2n  n  2n chia hết cho 24 với số nguyên n HD: n4  2n3  n2  2n  n n3  2n2  n   n� n2  n  2   n  2 � � � n n  1  n  1  n  2        n  2  n  1 n n 1 tích số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Vì 2, số chia hết cho 4, số chia hết cho 1 M 2 2 a b c Bài 12: Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn: a  b  c  , Chứng minh bình phương số hữu tỉ HD: Ta có:  a  b  c  �1   1� 1 �1 1 � �1 1 � �1 1 �             � � � �� � �a b c � abc a2 b2 c2 �a b c � �ab bc ac � �a b c � � � 2 Bài 13: Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, Chứng minh ab  a  b  1M48 HD: ab  a  b  1  a  1  b  1 Ta có: , Vì a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : a   2n  1 ,b   2n  3 , n�Z 2 2 � ab  a  b    a  1  b  1  �  2n  1  1�  2n 3  1� � � � � Khi đó:   Vì 16n n  1   4n2  4n 4n2  12n   16n n  1  n  2 M16 16n n  1  n  2 n n  1  n  2 M3  16n n  1  n  2 M3  3;16  , mà 2  n  2 M48  ab  a  b  1M48 Nên Bài 14: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương HD: N,0 a,b,c, d 9, a Gọi abcd số phải tìm, a, b, c, d Σ�� Với k, m�N,31 k  m 100 , ta có : 2 � �abcd  k2 �abcd  k �  � � �a  1  b  3  c  5  d  3  m2 �abcd  1353  m2 � m2  k2  1353   m k  m k  123.11 41.33,(k m  200) Do : �m k  123 � � � m k  41 m 67 m 37  � � � � m k  11 m k  33 k  56 k � Nên � : � � Vậy abcd  3136  n  8 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để HD:  36 số nguyên tố  n  8  36  n  16n  64  36  n  100  16n Ta có:   n  10  36n   n  10  6n  n  10  6n  n  8  36 số nguyên tố n  10  6n  1  n 3 Để n    n  8  36  37 Thử lại với số nguyên tố 2 2 2 2 2 2   n  ... tiếp nên phải có số chia hết cho Vì 2, số chia hết cho 4, số chia hết cho 1 M 2 2 a b c Bài 12: Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn: a  b  c  , Chứng minh bình phương số hữu tỉ HD: Ta có:...  11 , có chữ số tận nên chia hết cho 10     10 Vậy 11  chia hết cho 100 Bài 9: Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab  bc  ca  A  1 a2 1 b2 1 c2 Chứng minh rằng: số phương HD: Ta... 14: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương HD: