chuyên đề: Số chính phương

SINH HO T CHUYÊN ĐẠ Ề SINH HO T CHUYÊN ĐẠ Ề MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHÍNH PHƯƠNG TRƯỜNG THCS HUỲNH THỊ ĐÀO TRƯỜNG THCS HUỲNH THỊ ĐÀO Chào mừng quý thầy cô về tham dự Chào mừng quý thầy cô về tham dự Vĩnh Thạnh, ngày 16/12/2010 Vĩnh Thạnh, ngày 16/12/2010 Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Giới thiệu 1. Giới thiệu Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Chính vì vậy việc dạy học sinh giải bài tập là điều vô cùng quan trọng và trong đó đặc biệt chú trọng đến thực hành.Thực hành giải toán không chỉ là thực hiện các bài tập thực hành mà quan trọng là luyện tập rèn kỹ năng,vận dụng vào thực tế qua đó hình thành và phát triển cho học sinh tư duy lô gíc và phương pháp luận khoa học . Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ ĐẶT VẤN ĐỀ Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, người giáo viên cần phải hình thành và cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để giúp học sinh có khả năng thích ứng với những thay đổi nội dung hay nói một cách đúng hơn là tạo dựng cho học sinh phương pháp học và khả năng phát triển một bài toán từ bài toán thông thường nhằm mở rộng khả năng tư duy, từ đó tạo cho các em năng lực nghiên cứu và hứng thú tìm tòi trong việc học toán . Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy hầu hết học sinh còn hạn chế trong việc khai thác, phát triển khả năng tư duy, khi đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng trong việc tìm lời giải, chưa có kinh nghiệm đúc kết các phương pháp và thường bị bó hẹp mang tính chất khuôn mẫu, năng lực phát triển mở rộng khai thác kiến thức thường rất hạn chế do đó khi gặp các bài toán đòi hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn thì chưa có khả năng đáp ứng được nhất là đối với các bài toán có liên quan đến số chính phương. Sinh hoạt chuyên đề Sinh hoạt chuyên đề Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào ĐẶT VẤN ĐỀ Sinh hoạt chuyên đề Sinh hoạt chuyên đề Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào ĐẶT VẤN ĐỀ Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Giải quyết được vấn đề này không phải dễ dàng khi trong phân phối chương trình của môn toán THCS không có một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho HS những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ. Điều này khiến chúng tôi luôn để tâm trong quá trình giảng dạy của mình và muốn trao đổi cùng đồng nghiệp . 2. Thực tế Sinh hoạt chuyên đề Sinh hoạt chuyên đề Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào ĐẶT VẤN ĐỀ + Với học sinh Trong chương trình Toán THCS, các em đã được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của số tự nhiên và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương, đó là số bằng bình phương của một số tự nhiên. (VD: 0 ; 1 ; 4; 9 ; 16 ; 25 ; 100 ; 144 ; .). Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán chứng minh về số chính phương. Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các em đã được học. Những bài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em. + Với giáo viên Qua trao đổi với các giáo viên nhóm Toán, chúng tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến số chính phương rất hay và quan trọng đối với các em học sinh trung học cơ sở. Đặc biệt là các em chưa thành thạo lắm với loại toán chứng minh số chính phương cho nên phương pháp để giải còn nhiều hạn chế. Do vậy chúng tôi muốn cùng các bạn đồng nghiệp “tháo gỡ” vấn đề này. Sinh Sinh Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào ĐẶT VẤN ĐỀ 3. Phạm vi của chuyên đề Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi muốn hướng dẫn các em học sinh giỏi toán một số phương pháp và bài tập về “Số chính phương”. Rất mong các đồng nghiệp cùng tham gia trao đổi nhằm rút ra một hướng đi chung nhất cho nội dung này, qua đó phần nào giúp cho HS huyện nhà có điểm tương đồng về trình độ cũng như nhận thức trên cùng một vấn đề. Sinh hoạt chuyên đề Sinh hoạt chuyên đề Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào ĐẶT VẤN ĐỀ I. Chuẩn bị Trong quá trình giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, cần luôn bám sát kiến thức cơ bản, trọng tâm và lưu ý học sinh: - Nắm vững định nghĩa số chính phương. - Nắm vững kiến thức về phép chia hết và chia có dư trong N. - Có kĩ năng tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa, biểu thức số. - Có kĩ năng tách ( thêm, bớt ) số. - Quan sát biểu thức một cách linh hoạt. Sinh hoạt chuyên đề Sinh hoạt chuyên đề Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào NỘI DUNG II. Hướng thực hiện Theo định nghĩa, số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9. Ta xét bài toán sau: Bài toán 1: Chứng minh rằng số: A = 1234567891011121314151617181920212223. Không phải là số chính phương. Chứng minh một số không phải là số chính phương. Sinh hoạt chuyên đề Sinh hoạt chuyên đề Trường THCS Huỳnh Thị Đào Trường THCS Huỳnh Thị Đào C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1. Xét chữ số tận cùng [...]... ta có thêm phương pháp nữa để giải loại toán này Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 3 Xét số dư của số chính phương khi chia cho một số Bài toán 6: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2011 không phải là số chính phương Giải: Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 (ta dễ dàng chứng minh được) Do tổng các chữ số của số đó là 2011... MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Giải: Ta thấy số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1; 4; 5; 6; 9 Mà A =1234567891011121314151617181920212223 có chữ số tận cùng là 3 nên A không phải là số chính phương Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài toán 2: Chứng minh rằng số: B = 20072 + 20084 + 20096 – 2009 Không phải là số chính. .. giữa 2 số 20062 và 20072 không còn số chính phương nào.Chứng tỏ 4025025 không phải là số chính phương Bài toán 11: Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp (khác 0) không là số chính phương Giải: Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n ; n+1 (n ∈ N*) Ta có : n2 < n(n+1) < (n+1)2 => n(n+1) không là số chính phương Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1 Xét chữ số tận... Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài toán 4: Chứng minh rằng số có tổng các chữ số là 2010 thì số đó không phải là số chính phương Giải: Ta thấy tổng các chữ số của số 2010 là 3 nên số 2010 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2010 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương Trường THCS Huỳnh... có thể xét số dư của M khi chia cho 4 , số dư đó là 3 Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ có số dư như thế nào? Chúng ta có thể chứng minh được ngay là dư 0 hoặc dư 1 Như vậy việc giải bài toán này không có gì khó C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 4 Sử dụng phương pháp kẹp: Để chứng minh một số không là số chính phương, ta còn có thể chứng minh cho số đó nằm giữa hai số chính phương liên... chữ số tận cùng tạo thành số 10 không chia hết cho 25) Do đó số 12345678910 không phải là số chính phương Chú ý: Có thể lí luận số 12345678910 chia hết cho 2 ( vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 4 (vì 2 chữ số tận cùng tạo thành số 10 không chia hết cho 4) Do đó số 12345678910 không phải là số chính phương Như vậy, ta có thể khẳng định: "Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số. .. 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương Khi đó chúng ta phải lưu ý: Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2 Ta có bài toán 3 Bài toán 3 Chứng minh rằng số 12345678910 không phải là số chính phương Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Giải: Ta thấy ngay số 12345678910 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không... THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ngoài ra, nếu ta để ý một chút thì khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Chính vì thế, nếu khai thác nhận xét trên, ta có phát biểu tổng quát sau: Nếu số chính phương chia hết cho pn (với p là số nguyên tố, n lẻ) thì phải... cùng là bình phương của số nguyên nên số đã cho là số chính phương Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề 2 C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 3 Dựa vào tính chất đặc biệt Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt: “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương Bài toán 4 C/m rằng: Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 3m2... là số chính phương Giải: Ta dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20072 ; 20084 ; 20096 lần lượt là 9 ; 6 ; 1 Do đó số B có chữ số tận cùng là 7 (khác 0; 1; 4; 5; 6; 9) nên số B không phải là số chính phương Trường THCS Huỳnh Thị Đào Sinh hoạt chuyên đề C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 2 Sử dụng phép chia hết Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; . SINH HO T CHUYÊN ĐẠ Ề SINH HO T CHUYÊN ĐẠ Ề MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHÍNH PHƯƠNG TRƯỜNG. Theo định nghĩa, số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6;