Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Tiêu đề
Chuyên Đề Phương Trình Nghiệm Nguyên
Thể loại
chuyên đề
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
0,93 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN a ( a + 1) = k DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: x2 + x − y = Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x ( x + 1) = y => x = x +1 = x + y + 3xy = x y Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x + y) = x y − xy = xy ( xy − 1) x2 − y − x + y = Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x − x = y − y + => ( y − 1) = x ( x − 1) x + xy + y = x y Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x + y) = x y + xy = xy ( xy + 1) DẠNG 2: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG x + y + xy + y − = Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( 2x + y ) + ( y + 1) = = + 32 x2 + y − x − y = Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Nhân với ta được: ( 4x − x + 1) + ( y − y + 1) = 34 x − xy + y = 169 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − 2y) + y = 169 x + y + y − xy − = Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − 2y) + ( y + 1) = x + 13 y − xy = 100 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: HD: ( x − 3y) + y = 100 x + y − x3 y = 64 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: t + ( t − y ) = 64 đặt x3 = t x+ 1 + y+ =4 x y (x + 1) ( x + y ) = x y Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 2 ÷ =4 x− ÷ + y − x y÷ Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x + x y + x + y = x y => ( x − y ) + x ( y − 1) = 2 x + y − xy + y − x + = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên:: HD : (x − xy + y ) − x + y + x + = ( x − y − 1) + ( x − 2) = ( x − y) − ( x − y ) − 4x + x2 + = => => x2 + y − 2x − y + = Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: (x − x + 1) + ( y − y + 1) = Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y + z − xy − xz + yz − y − 10 z + 34 = HD: ( 2x) − x ( y + z ) + ( y + yz + z ) + ( y − y ) + ( z − 10 z ) + 34 = ( 2x − x − y ) => + ( y − y + ) + ( z − 10 z + 25 ) = x2 + y − x − y = Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 1 17 2 => ( x − 1) + ( y − 1) = 34 x − x + ÷+ y − y + ÷ = 4 4 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Nhân ( 4m m + n = 9m + 13n − 20 − 36m + 81) + ( n − 52 n + 169 ) = 170 x − xy + 13 y = 100 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − y ) = 4(25 − y ) y ≤ 25, y , mà số phương nên =>y x − xy + y − 16 = Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: HD : x − xy + y − 16 = Ta có phương trình trở thành : x − xy + y + y = 16 => ( x − y ) + y = 16 => , Vì x,y số nguyên nên ( x − 2y) ∈ Z ( x − 2y) + y = 16 = + 16 = 16 + => x + y + x y + 60 = 37 xy Bài 16: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: HD: ( x − y) = − x y + 35 xy − 60 => ( x − y ) = ( xy − 3) ( − xy ) Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT Do x,y nguyên nên xy=3 xy=4 Nếu xy=3 ( x − y) ( x − y) ≥0 => ( xy − 3) ( − xy ) ≥ => ≤ xy ≤ = => x = y xy=3( vô lý) = => x = y = Nếu xy=4 Bài 17: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10 x + 20 y + 24 xy + x − 24 y + 51 < HD: ( 3x + y ) + ( x + 4) + ( y − 6) − < 2 Biến đổi: 3x + y = 0, x + = 0, y − = x + y − x + y = −18 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x5 + 29 x − 30 y = 10 Bài 19: CMR: phương trình sau khơng có nghiệm ngun: y ( x + 1) = 1567 + x Bài 20: Tìm số x,y nguyên dương thỏa mãn: x + xy − 3x − y + = Bài 21: Tìm số nguyên x, y biết: Bài 22: Chứng minh khơng có số nguyên x,y,z thỏa mãn : x2 + x = y3 − z + HD: z M4 => z M2 Ta có , Ta có : ( nên khơng tần x,y,z) Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn : x ( x + 1) − y + z M mà không chia hết cho x2 + 6y2 + 2xy + 2x + 32y + 46 = Bài 24: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: HD: x2 + y2 + z2 ≤ xy + 3y + 2z − Vì x, y,z số nguyên nên: 2 y y x + y + z ≤ xy + 3y + 2z − x − ÷ + 3 − 1÷ + ( z − 1) ≤ 2 2 2 DẠNG : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH x2 + x − y = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : (x + 4x + 4) − y2 = Bài :Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x − y + xy = x ( + y ) − y = x ( + y ) − y − Ta có: 11 = 2 x ( + y ) − ( y + 1) = 11 ( x − 1) ( y + 1) = 11 x + xy + y = 11 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 2 y y2 y2 2x + y y − x + x + ÷− − y ÷ = 11 => ÷ − ÷ =2 ( 2x + y ) − ( y − 3) = ( x + y + y − 3) ( x + y − y + 3) = x − 25 = y ( y + ) Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − ( y + y ) = 25 => x − ( y + y + ) = 16 x − y − + x + y + = 2x => ( x + y + 3)( x − y − 3) = 16 số chẵn nên số chẵn x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : (x + x ) ( x + x + ) = y => ( a + + y ) ( a + − y ) = x − y = 1999 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ( x − y ) ( x + y ) = 1999 với a = x + 3x mà x + y = xy Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: y y2 y2 y x − x + ÷− + .2 + ÷ = −4 Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy + x − y = x ( y + 1) − y − ( x − y − ) ( x + ) = −16 => x − y = − xy 11 = 2 x ( y + 1) − ( y + 1) = 11 ( x − 1) ( y + 1) = 11 x2 + y = 2x2 y Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x y − x − y = => x ( y − 1) − y + => 1 = 2 x ( y − 1) − ( y − 1) = => ( x − 1) ( y − 1) = xy = ( x + y ) Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy − x − y = x ( y − ) − y + 16 = 16 x ( y − ) − ( y − ) = 16 ( x − ) ( y − ) = 16 x ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = y Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: (x − x ) ( x − x + ) = y a ( a + ) = y x ( x − ) = y − 116 Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x − x + 16 − y = −110 => ( x − ) − y = −110 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: xy + x − y = −3 x ( y + 3) − y − 15 = −18 => x ( y + 3) − ( y + 3) = −18 x y + x − 10 y = Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: 3x ( y + 1) − 10 y − = => 3x ( y + 1) − ( y + 1) = 2 x + y + xy + x + y + = Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: 2 ( 3x + ) + x − ( 3x + ) + x + ÷ = y y + x + + ( ) ÷ 4 => x + x − x − 12 x − + 12 x + y + =0 ÷ + ( y + 3x + ) − x = −4 => + =1 x y Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: y + x = xy => x ( y − ) − x = 1 + = x y Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ⇔ ( x + y ) = xy ⇔ x ( y − 3) − y = Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: xy − x − y = x ( y − 1) − y + = x ( y − 1) − ( y − 1) = ( x − 1) ( y − 1) = Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x + xy + y = x ( y + 1) + y + = 10 ( x + 1) ( y + 1) = 10 Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − x − 11 = y ( x − x + 1) − y = 12 ( x − 1) − y = 12 ( x − − y ) ( x − + y ) = 12 Bài 21 : Giải phương trình nghiệm ngun : HD : Ta có : ( x − y) + 3xy ( x − y ) = xy + x − y = xy + Đặt : x − y = a a3 − => ft a + 3ab = b + a − = −b ( 3a − 1) => −b = 3a − xy = b 27 ( a − ) M 3a − => 27 a − − 215M 3a − => 3a − ∈ U ( 215 ) 1 1 + + = x y xy Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + y ) + = xy xy − x − y = x ( y − ) − y + 36 = 37 Ta có : x ( y − ) − ( y − ) = 37 ( x − ) ( y − ) = 37 Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − xy − x + y + 19 = x ( x − y ) − ( x − y ) − x + 19 = ( x − y ) ( x − 1) − x + = −17 Ta có : ( x − y ) ( x − 1) − ( x − 1) = −17 ( x − 1) ( x − y − ) = −17 Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + xy + y − = x + yx + y + y − = Ta có : Có ∆ ' = y2 − ( y2 + y − 2) = − y − y + , Để phương trình có nghiệm : 1 3 ∆ ' ≥ y + ÷ ≤ − ≤ y + ≤ −2 ≤ y ≤ 2 2 Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x2 + ( − y ) x + y2 − y + = ∆ ' = − y2 Có , để phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ y ≤ y = => x = −1, x = −2 Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 3x + y + x + y − = ( 3x + x ) + ( y + y ) = Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y − xy + y − = ( x − xy + y ) + ( y + y + 1) = ( x − y ) + ( y + 1) = Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + xy + x + y + = ∆ y = x − => ∆ y ≥ ( x − ) ( x + ) ≥ => x = ± Xét : x2 − ( y + 5) x + y + = Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Theo vi- ét ta có : x1 + x2 = y + => ( x1 − ) ( x2 − ) = = 1.2 = ( −1) ( −2 ) x1.x2 = y + Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) x − x − 11 = y − y = 12 ( x − + y ) ( x − − y ) = 12 Đưa phương trình dạng : x + y + xy − x − y + = Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Chuyển phương trình thành bậc hai với x x + ( y − 1) x + ( y − y + 3) = , có : ∆ = y − y − 11 , Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm ngun số phương y − y − 11 = k ( k ∈ Z ) => y = 5, y = −3 => Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy − x + y = 27 ( x + 3) ( y − ) = 21 Đưa phương trình dạng : x ( y + 3) − y = 38 Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) ( y + 3) = 35 Đưa phương trình dạng : Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : xy + x + y = 17 ( 3x + 1) ( y + 1) = 52 ∆ Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + x + = xy − y ( x − 1) ( y − x − ) = Đưa phương trình dạng : Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy + xy − 243 y + x = x ( y + 1) = 243 y => ( y + 1) ∈ U ( 243) 2 Đưa phương trình dạng : => ( x; y ) = ( 54; ) ; ( 24;8) Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − xy = x − y − 19 x − x + 19 = y ( x − 1) => y = Đưa phương trình : x − x + 19 2x −1 y ( x − 1) = x + Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y = x +1+ Đưa phương trình dạng : Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x −1 15 x − y = y M3 => y M3 => y = y1 => x − 21 y12 = => x M => x = x1 => 15 x12 − y12 = => y12 ≡ −1( mod ) => Vơ nghiệm Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 29 x − 28 y = 2000 x ≡ ( mod ) Đưa phương trình thành : , Vơ nghiệm Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : 1999 x − 2000 y = 2001 x ≡ −1( mod ) Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : , Vô nghiệm x y − x − y = xy 2 y ( x2 − ) = ( x + y ) y ( x + 1) = x + Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình ta có : y = x +1+ x −1 Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : y= x − y + xy = 39 x − 39 => x − 39 ≥ − x => −12 ≤ x ≤ − 5x => ( x − 39 ) ≥ ( − x ) 2 Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình dạng : y = 2+ x − y = xy − 11 x+5 2 => x + ≥ x + => ( x + ) ≥ ( x + ) 2x + y= Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình trở thành : x2 − x + x2 + x + ( y − 1) x + ( y + 1) x + y − = TH1 : y=1=>x=0 y ≠ => ∆ x ≥ TH2 : ≤ y ≤ => y ∈ { 0;1; 2;3} Bài 24 : Tìm cặp (x ; y) nguyên cho A có giá trị nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : yA = x + + x + y +1 => x + y + ≥ xy − => ( x − 1) ( y − 1) ≤ xy − Bài 25 : Tìm cặp số nguyên dương x,y,z biết : HD : Biến đổi phương trình thành : x= x2 + x + A= xy − ( y + z ) = x ( yz − 1) y + 2z => y + z ≥ yz − => yz − − y − z ≤ yz − A= Bài 26 : Tìm cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : a2 − ab + 2 ( a + b ) M( ab + ) => ( a + b ) = k ( ab + ) Chứng minh k=1=>a=4, b=3 Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: x − y = 2003 ( x − y ) ( x + y ) = 2003 Biến đổi phương trình thành: Bài 28 : Có tồn hay khơng hai số nguyên x, y thỏa mãn : HD: Biến đổi phương trinhg thành: x2 + y = 286 => x M7 x < 286 => ≤ x ≤ 16 x + y = 2002 x M7 => x = 7, x = 14 x = => y = 165 ( l ) Với x = 14 => y = 202 ( l ) Với Bài 29 : Có tồn hay khơng hai số nguyên x, y thỏa mãn : x + y + z = x + y + z + 2006 HD: Biến đổi phương trình thành: Tương tự ta có: x − x = x ( x − 1) = ( x − 1) x ( x + 1) M3 y − y M3, z − z M3 , Mà /3 2006 M Bài 30 : Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn : HD: Xét Xét y y = => x = 3026 − = 3025 => x = 55 y > => y M3 x +3 :3 => , Vậy không tồn x,y,z x + = 3026 x2 : dư y dư dư 1, Mà 3026 chia dư 2=> Vô lý Bài 31 : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun : HD: Với y Phương trình vơ nghiệm Nếu y=0,1,2,3=> Phương trình vơ nghiệm x − y = 2005 Nếu y > => y M => PT x − 2005 = y M x ≡ ( mod8 ) => ( Vơ lý) số phương chia dưa hoặc Bài 32: Tìm tất tam giác vng có cạnh số nguyên số đo diện tích số đo chu vi HD: Gọi x, y cạnh hình vng Ta có: x2 + y = z xy = ( x + y + z ) (2) z = ( x + y ) − xy = ( x + y ) − ( x + y + z ) 2 Khi ta có: (1≤ x ≤ y < z) => ( x + y ) − ( x + y ) + = z + z + => ( x + y − ) = ( z + ) => ( x + y − = z + ) Thay z = x+ y−4 vào (2) ta Bài 33 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: x − y = xy − 11 x + 11 x+5 = 2+ => ( x + ) M2 x + => 7M2 x + 2x + 2x + y= Đưa phương trình thành: Bài 34 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: (x y= Biến đơi phương trình thành: x − x − 11 = y − x + 1) − y = 12 ( x − − y ) ( x − + y ) = 12 Bài 35 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: y ( x − 1) = x + x2 + = x +1+ x −1 x −1 Bài 36 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x ( y + 1) = 243 y / ( y + 1) => 243M yM ( y + 1) 2 xy + xy − 243 y + x = Vì Bài 37 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x + y = xy ( x − 1) ( y − 1) = Bài 38 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: xy + = x + y ( x − 1) ( y − 1) = Biến dổi phương trình thành: Bài 39 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: y= x − xy = x − y − x2 − 6x + = ( x − 1) + x−5 x−5 Bài 40 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: ( x − y) + 3xy ( x − y ) = xy + , Đặt: Khi phương trình trở thành: a + 3ab = b + => −b = x − y = xy + x − y = a xy = b a3 − => a − 8M3a − => 27 ( a − ) M3a − 3a − 27 a − − 215M3a − => 3a − ∈ U ( 215 ) Bài 41 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: y= xy − x − y + = 2x −1 = 2+ x −3 x −3 Bài 42 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: y2 ( x2 − ) = ( x + y ) Phương trình cho có nghiệm: Xét: x, y ≠ 0, từ (1) => x2 − x y − x − y = xy x= y=0 (1) số phương x − = a => ( x − a ) ( x + a ) = 2 Đặt => Tìm đc x => (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2) Bài 43 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x + y = x + 13 HD: Biến đổi phương trình thành: 3x − x + = 16 − y => ( x − 1) = ( − y ) => − y ≥ => y ≤ => y ≤ => y = 1, y = Bài 44: Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 + xy − 2017x − 2018y − 6051 = DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Bài : Tìm tất x,y nguyên thỏa mãn : HD: Ta có: x4 + x2 + = y x + ≥ > => y = x + x + > x = ( x ) y = x + x + − x = ( x + 1) − x ≤ ( x + 1) Mặt khác (x ) 2 Từ (1) (2) ta có: (1) (2) < y ≤ ( x + 1) => y = ( x + 1) 2 y =1 => x + x + = x + x + x = => y = => y = −1 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x4 − y = y + x = y + y + = y + y + + y = ( y + 1) + y ≥ ( y + 1) Ta có : x = y + y + = y + y + − y − = ( y + ) − ( y + 3) < ( y + ) Mặt khác : Khi : (y + 1) ≤ x < ( y + ) => x = ( y + 1) 2 x = y + y + => y + y + = y + y + => y = 0, x = ±1 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x3 − y − y − y − = x = y + y + y + = ( y + y + y + 1) − y ≤ ( y + 1) x = y + y + y + = ( y − y + y − 1) + y + > ( y − 1) mặt khác : ( y − 1) Khi : 3 < x ≤ ( y + 1) 3 2 (1) y = −1 x = y => => x = −1 y = − (l ) TH1 : x = ( y + 1) => y = => x = TH2 : Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : + x + x + x3 = y Ta có : 1 3 + x + x = x + ÷ + ≥ > => y = ( + x + x ) + x > x 2 4 y = x + x + 12 x + − x − 11x − = ( x + ) − ( x + 11x + ) < ( x + ) Mặt khác : x = y =1 3 x < y < ( x + ) => y = ( x + 1) => => x = −1 y = Khi : Bài : Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x + x3 + x + x + HD : Đặt x + x3 + x + x + = y => ( x + x + x ) + ( x + x + ) = ( x + x ) + ( x + x + 3) = y 2 => y > ( x + x ) Vậy ta cần chứng minh (x (1) + x ) < y < ( x2 + x + 2) y − ( x + x ) = x + x + > => y > ( x + x ) Thật : 2 y = ( x + x + ) = 3x + 3x + > 2 x = y = ( x + x + 1) => x + x − = => x = −2 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + x = 19 x + y + x = 38 ( x ) + 2.2 x.2 + + y = 42 Ta có : ( 2x + 2) + y = 42 ≥ ( x + ) ≥ ( 2x + 2) M4 Mà => Tìm x => Tìm y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x2 + y2 = y M2 Ta có : mà :2 dư 1=> x2 chia dư 1=> x2 chia dư 1=>2y2 +x2 chia dư mà chia dư 5=> Vô lý khơng có giá trị x, y ngun thỏa mãn x + = y ( y + 1) Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: Nhân với ta có: 36 x + 20 = y + y 36 x + 21 = y + y + = ( y + 1) => 36 x + 21M3 => y + 1M3 => ( y + 1) M Do không tồn x, y nguyên , mà Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: /9 36 x + 21M => Vô lý x + x = 19 − y 2 x + x + = 21 − y => ( x + 1) = ( − y ) Ta có: => − y M2 => y số lẻ < 7=> Bài 10 : Tìm x, y nguyên cho : HD: Xét Xét x = y = ±1 => x = −4 2x + = y x = => y = ±2 x = => y = => Vô lý x ≥ => M4 => VT : Với dư 3=> y số lẻ=> y=2k+1=> y = 4k + 4k + 1: dư (vl) Vậy không tồn x, y nguyên Bài 11 : Tìm x, y nguyên cho : HD : TH1 : x số lẻ : x + 57 = y x = 2n + 1( n ∈ N ) => x = 2 n+1 = 2.4n = ( + 1) => dư VP số phương chia khơng dư TH2 : x số chẵn : n = ( B ( 3) + 1) = B ( 3) + n chia => x = 2n ( n ∈ N ) => y − 2n = 57 => ( y + 2n ) ( y − 2n ) = 3.19 Thấy y + 2n > => y − 2n > y + = 57 => n y − =1 n y + 2n > y − 2n y + = 19 n y −2 = n Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Ta có: (x x + x3 + x + x + = y + x3 + x ) + ( 3x + x + ) = y > ( x + x ) + ( x + x ) + + x + x + => y > ( x + x + 1) + ( x + x + ) Ta cần chứng minh: Khi đó: Vậy (x y ≤ ( x + x + 3) x + x3 + x + x + ≤ x + x + + x3 + 12 x + x + x + 1) < y ≤ ( x + x + 3) => y = ( x + x + ) y = ( x + x + 3) Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Giả sử: x + y + z + xyz = 20 ≤ x ≤ y ≤ z => VT = x + y + z + xyz ≥ x + x + x + x = x x =1 => 20 ≥ x => x ≤ => x = y + z + yz = 19 > y + y + y = y => y < TH1: Với x=1=> 19 y =1 y < => y = => Nếu y=1=> Z khơng có giá trị, Nếu y=2=> z=3 TH2 : Với x=2 làm tương tự 1 + + =1 x y z Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: ≤ x ≤ y ≤ z => ≤ Giả sử: Làm tương tự => x < => x ∈ { 2;3} x Bài 15 : Tìm số nguyên dương a, b, c đôi khác thỏa mãn : 1 1 1 + + + + + =A a b c ab bc ca Có giá trị nguyên HD: A.abc = ab + bc + ca + a + b + c => a, b, c Ta có: Giả sử : a A < 1( l ) => a = b ≥ 3, c ≥ => < A < => A = Nếu a=1=> ( b + c ) + = bc có tính chẵn lẻ: thay a=1 A=2 vào ta được: ( b − ) ( c − ) = => b = 3, c = hay Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) hốn vị Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: GT => Ta có: Giả sử: 1 + + + =1 yz xz xy xyz x ≥ y ≥ z ≥1 VT ≤ Khi đó: Với x + y + z + = xyz 1 12 + + + = => z ≤ 12 => z ∈ { 1; 2;3} z2 z2 z2 z2 z2 z = => x + y = xy − 10 => tự làm p4 Bài 17 : Tìm tất số nguyên tố p để tổng tất ước tự nhiên phương HD: Ta có: + p + p + p + p = m => ( p + p ) < 4m < ( p + p + ) 4m = ( p + p + 1) => p = => Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x2 + x = y + y3 + y + y số Biến đổi thành: ( 2y + y ) + y + y + = ( x + 1) = ( y + y + 1) + y − y 2 x − xy + y = Bài 19 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: ( 2x − y ) 2 = 20 − y ≥ => y ≤ Biến đổi thành: Xét TH=> x 20 => y = 0,1, Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương x, y phương trình : HD: y = x + 12 x + 1995 y = ( x + ) + 1959 ≥ 1959 => y ≥ 45 Biến đổi thành: −1959 = ( x + ) − y = ( x + y + ) ( x − y + ) Lại có: 1959=3.653 , Với x + y ≥ 52 yz xz xy + + =3 x y z Bài 21 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Phương trình cho y z + x z + x y = 3xyz VT ≥ 3 ( xyz ) => xyz ≥ 3 ( xyz ) => xyz ≤ 4 Cơ si ta có: x,y,z ngun nên ta có nghiệm là: (1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) hốn vị Bài 22: Tìm nghiệm ngun phương trình : HD : Với x=0=> y= y=-1 , Do y = + x + x + x3 + x 4 y = ( x2 + x + ) − 5x2 < ( x2 + x + 2) Với x # 0=> x, y , z > => ( x + x ) < y < ( x + x + ) => x = 3, x = −1 2 Bài 23: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Từ phương trình ta có : x < y < ( x + ) => y = ( x + 1) y = + x + x + x3 ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt Bài 24: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : Giả sử : x ≥ y ≥ z ≥ t => xyzt = ( x + y + z + t ) + 10 ≤ 20 x + 10 => yzt ≤ 15 => t ≤ 15 => t ≤ t = => xyz = ( x + y + z ) + 15 ≤ 15 x + 15 => yz ≤ 30 => z ≤ 30 => z ≤ Với z = => xy = ( x + y ) + 20 => xy = 10 ( x + y ) + 40 => ( x − ) ( y − ) = 65 TH1 : Giải TH với t=2 Bài 25: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : xyz = ( x + y + z ) x ≥ y ≥ z => xyz = ( x + y + z ) ≤ 12 x => yz ≤ 12 => z ≤ 12 => z ∈1; 2;3 Giả sử : Bài 26: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : Giả sử : xy + yz + zx = xyz + x ≥ y ≥ z ≥1 => xy + yz + zx ≤ xy + xy + xy = 3xy => 3xy ≥ xyz + => 3xy > xyz => z < => z = 1, 1 1 + = + x y xy Bài 27: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : x ≥ y => 1 1 2 x −1 2x = + − ≤ − = < = x y xy y xy xy xy y Giả sử : < => y < => y ∈ { 1; 2;3; 4;5} y => Bài 28: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng HD : Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z, Ta có : ≤ x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ => xy ∈ { 1; 2;3} x + y + z = xyz , Giả sử : Với Với Với xy = => x = 1, y = xy = => x = 1, y = xy = => x = 1, y = Bài 29: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn phương trình : HD : x + 3x = x x x 2 3 ÷ + ÷ =1 5 5 Ta có : Với x=0=> Vô lý Với x=1 x x 3 2 x ≥ => ÷ < , ÷ < => VT < VP 5 5 Với Bài 30: Chứng với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên x cho HD : x ( x + 1) = k ( k + ) x + x = k + 2k => x + x + = ( k + 1) Ta có : x > => x < x + x + = ( k + 1) Do x > => ( k + 1) = x + x + < x + x + = ( x + 1) x < ( k + 1) < ( x + 1) 2 => (1) (2) Vơ lý Bài 31: Tìm x ngun để biểu thức sau số phương : HD : x4 + 2x3 + x2 + x + x + x + x + x + = y => y = ( x + x ) + ( x + x + 3) Đặt a2 < y2 < ( a + 2) Ta cần chứng minh : với a = x2 + x x3 + y + z = ( x + y + z ) Bài 32: Tìm số nguyên dương đôi khác thỏa mãn : HD : x < y < z => Giả sử : đấu = => x + y + z ≤ x3 + y + z x + y + z ≥ ÷ => x + y + z ≤ 3 không xảy x + y + z ≥ + + = => x + y + z ∈ { 6;7;8} , mà ( x; y; z ) = ( 1; 2;3) Kết hợp với phương trình đầu=> Bài 33: Tìm tất số tự nhiên khơng nhỏ cho tích số cộng với chia hết cho số lại HD : a ≥ b ≥ c ≥ => Giả sử số đẫ cho : ab + bc + ca + , , ∈Z c a b ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) abc Nhân theo vế ta : => ab + bc + ca + = abc => ab + bc + ca + = k abc ab + bc + ca + ≤ 4abc => k ≤ Vì k=4=>a=b=c=1 (t/m) 3abc ≤ 4ab => c ≤ => a = 2, b = Nếu k=3 k=2, k=1 xét tương tự Bài 34 : Tìm số nguyên dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng HD : Gọi số nguyên dương cần tìm x,y,z, ta có : xyz = ( x + y + z ) x ≤ y ≤ z => xyz = ( x + y + z ) ≤ 2.3z = z => xy ≤ Giả sử : Xét TH xy Bài 35: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng HD : x, y, z, t => x + y + z + t = xyzt Gọi số nguyên dương cần tìm : t ≥ z ≥ y ≥ x ≥ => xyzt = x + y + z + t ≤ 4t => xyz ≤ => xyz ∈ { 1; 2;3; 4} Giả sử : Xét TH xyz Bài 36 :Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên dương: HD : Giả sử : x17 + y17 = 1917 19 ≥ ( y + 1) 17 17 x17 + y17 = 1917 ≤ x ≤ y ≤ 19 => 19 ≥ y17 + 17 y16 17 => x>17=> x=y=18 thử lại ta thấy x=y=18 khơng thỏa mãn => Phương trình khơng có nghiệm ngun dương Bài 37 :Có tồn hay khơng hai số nguyên dương x y cho số phương HD : x < x + y ≤ x + x < ( x + 1) x2 + y y2 + x Giả sử : y < x, Ta có : Vậy không tồn hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu Bài 38: Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: HD : Giả sử : x4 + x3 + x + x + = y x + x3 + x + x + => ( y ) = ( x + x ) + x + ( x + ) > ( x + x ) 2 ( 2y) 2 , Nên : > ( x + x + 1) => −1 ≤ x ≤ ( x + 2) − x4 = y3 Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên: HD : ta có : y = ( x3 + x + x + 1) Đặt , y = x => z = x + x + x + 3 x = −1 => y = ( t / m ) Thấy ngày : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm 1 1 + + = x y z 1991 Bài 40 : Chứng minh HD : Giả sử : => 0< x≤ y≤ z có số hữu hạn nghiệm nguyên dương 1 1 + + = ≤ x y z 1991 x , Ta có : 1991 < x ≤ 3.1991 => x có hữu hạn giá trị y< Với giá trị x => => Tương ứng với z 2.1991x ≤ 22.1991 x − 1991 giá trị x − 25 = y ( y + ) Bài 41: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: HD: x − 25 = y ( y + ) => x − ( y + 3) = 16 => ( x + y + 3) ( x − y − 3) = 16 Bài 42: Tìm nghiệm nguyên phương trình: HD: 3x + x = x x x 3 4 ÷ + ÷ =1 5 5 Phương trình cho viết lại thành: Ta thấy x=2 nghiệm phuong trình: x x 3 4 ÷ + ÷ >1 5 5 Nếu x>2 Nếu x 0) Nếu x ÷ + ÷ = => ÷ + ÷ = 5 5 5 5 3 4 , ≥ Phương trình vơ nghiệm vế phải lớn y Bài 43: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: HD: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy ( x − y) = − x2y2 + 35xy − 60 ( x − y) = 5( xy − 3) ( − xy) Phương trình Giả sử x, y nguyên thỏa mãn VT ≥ => 5( xy − 3) ( − xy) ≥ => ≤ xy ≤ Với: Với xy = x = y x = ( x − y) = , Do x, y nguyên nên ( vô nghiệm) xy = x = y x = y = x = y = −2 x = ( x − y) = xy = x.y∈ Z => xy = ... => Vô nghiệm Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 29 x − 28 y = 2000 x ≡ ( mod ) Đưa phương trình thành : , Vơ nghiệm Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình. .. đổi phương trình thành : Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : x3 + xy = x ( x2 + y ) = Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình. .. 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + xy + y = x + y x2 + ( y − 2) x + y2 − y = Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :