CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN a ( a + 1) = k DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: x2 + x − y = Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x ( x + 1) = y => x = x +1 =  x + y + 3xy = x y Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x + y) = x y − xy = xy ( xy − 1) x2 − y − x + y = Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x − x = y − y + => ( y − 1) = x ( x − 1) x + xy + y = x y Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x + y) = x y + xy = xy ( xy + 1) DẠNG 2: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG x + y + xy + y − = Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( 2x + y ) + ( y + 1) = = + 32 x2 + y − x − y = Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Nhân với ta được: ( 4x − x + 1) + ( y − y + 1) = 34 x − xy + y = 169 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − 2y) + y = 169 x + y + y − xy − = Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − 2y) + ( y + 1) = x + 13 y − xy = 100 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: HD: ( x − 3y) + y = 100 x + y − x3 y = 64 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: t + ( t − y ) = 64 đặt x3 = t x+ 1 + y+ =4 x y (x + 1) ( x + y ) = x y Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 2     ÷ =4  x− ÷ +  y − x  y÷   Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x + x y + x + y = x y => ( x − y ) + x ( y − 1) = 2 x + y − xy + y − x + = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên:: HD : (x − xy + y ) − x + y + x + = ( x − y − 1) + ( x − 2) = ( x − y) − ( x − y ) − 4x + x2 + = => => x2 + y − 2x − y + = Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: (x − x + 1) + ( y − y + 1) = Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y + z − xy − xz + yz − y − 10 z + 34 = HD: ( 2x) − x ( y + z ) + ( y + yz + z ) + ( y − y ) + ( z − 10 z ) + 34 = ( 2x − x − y ) => + ( y − y + ) + ( z − 10 z + 25 ) = x2 + y − x − y = Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 1   17 2  => ( x − 1) + ( y − 1) = 34  x − x + ÷+  y − y + ÷ = 4  4  Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Nhân ( 4m m + n = 9m + 13n − 20 − 36m + 81) + ( n − 52 n + 169 ) = 170 x − xy + 13 y = 100 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − y ) = 4(25 − y ) y ≤ 25, y , mà số phương nên =>y x − xy + y − 16 = Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: HD : x − xy + y − 16 = Ta có phương trình trở thành : x − xy + y + y = 16 => ( x − y ) + y = 16 => , Vì x,y số nguyên nên ( x − 2y) ∈ Z ( x − 2y) + y = 16 = + 16 = 16 + => x + y + x y + 60 = 37 xy Bài 16: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: HD: ( x − y) = − x y + 35 xy − 60 => ( x − y ) = ( xy − 3) ( − xy ) Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT Do x,y nguyên nên xy=3 xy=4 Nếu xy=3 ( x − y) ( x − y) ≥0 => ( xy − 3) ( − xy ) ≥ => ≤ xy ≤ = => x = y xy=3( vô lý) = => x = y = Nếu xy=4 Bài 17: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 10 x + 20 y + 24 xy + x − 24 y + 51 < HD: ( 3x + y ) + ( x + 4) + ( y − 6) − < 2 Biến đổi: 3x + y = 0, x + = 0, y − = x + y − x + y = −18 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình : x5 + 29 x − 30 y = 10 Bài 19: CMR: phương trình sau khơng có nghiệm ngun: y ( x + 1) = 1567 + x Bài 20: Tìm số x,y nguyên dương thỏa mãn: x + xy − 3x − y + = Bài 21: Tìm số nguyên x, y biết: Bài 22: Chứng minh khơng có số nguyên x,y,z thỏa mãn : x2 + x = y3 − z + HD: z M4 => z M2 Ta có , Ta có : ( nên khơng tần x,y,z) Bài 23 : Tìm x, y thỏa mãn :  x ( x + 1) − y + z  M mà không chia hết cho x2 + 6y2 + 2xy + 2x + 32y + 46 = Bài 24: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: HD: x2 + y2 + z2 ≤ xy + 3y + 2z − Vì x, y,z số nguyên nên: 2  y  y x + y + z ≤ xy + 3y + 2z −  x − ÷ + 3 − 1÷ + ( z − 1) ≤ 2  2  2 DẠNG : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH x2 + x − y = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : (x + 4x + 4) − y2 = Bài :Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x − y + xy = x ( + y ) − y = x ( + y ) − y − Ta có: 11 = 2 x ( + y ) − ( y + 1) = 11 ( x − 1) ( y + 1) = 11 x + xy + y = 11 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 2   y y2   y2  2x + y   y −  x + x + ÷−  − y ÷ = 11 =>   ÷ − ÷ =2         ( 2x + y ) − ( y − 3) = ( x + y + y − 3) ( x + y − y + 3) = x − 25 = y ( y + ) Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − ( y + y ) = 25 => x − ( y + y + ) = 16 x − y − + x + y + = 2x => ( x + y + 3)( x − y − 3) = 16 số chẵn nên số chẵn x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : (x + x ) ( x + x + ) = y => ( a + + y ) ( a + − y ) = x − y = 1999 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ( x − y ) ( x + y ) = 1999 với a = x + 3x mà x + y = xy Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD:   y y2   y2 y x − x + ÷−  + .2 + ÷ = −4      Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy + x − y = x ( y + 1) − y − ( x − y − ) ( x + ) = −16 => x − y = − xy 11 = 2 x ( y + 1) − ( y + 1) = 11 ( x − 1) ( y + 1) = 11 x2 + y = 2x2 y Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x y − x − y = => x ( y − 1) − y + => 1 = 2 x ( y − 1) − ( y − 1) = => ( x − 1) ( y − 1) = xy = ( x + y ) Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy − x − y = x ( y − ) − y + 16 = 16 x ( y − ) − ( y − ) = 16 ( x − ) ( y − ) = 16 x ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = y Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: (x − x ) ( x − x + ) = y a ( a + ) = y x ( x − ) = y − 116 Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x − x + 16 − y = −110 => ( x − ) − y = −110 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: xy + x − y = −3 x ( y + 3) − y − 15 = −18 => x ( y + 3) − ( y + 3) = −18 x y + x − 10 y = Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: 3x ( y + 1) − 10 y − = => 3x ( y + 1) − ( y + 1) = 2 x + y + xy + x + y + = Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: 2  ( 3x + )  +  x − ( 3x + ) + x + ÷ = y y + x + +   ( ) ÷ 4     => x +  x − x − 12 x − + 12 x +  y + =0  ÷ +   ( y + 3x + ) − x = −4 => + =1 x y Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: y + x = xy => x ( y − ) − x = 1 + = x y Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ⇔ ( x + y ) = xy ⇔ x ( y − 3) − y = Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: xy − x − y = x ( y − 1) − y + = x ( y − 1) − ( y − 1) = ( x − 1) ( y − 1) = Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x + xy + y = x ( y + 1) + y + = 10 ( x + 1) ( y + 1) = 10 Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − x − 11 = y ( x − x + 1) − y = 12 ( x − 1) − y = 12 ( x − − y ) ( x − + y ) = 12 Bài 21 : Giải phương trình nghiệm ngun : HD : Ta có : ( x − y) + 3xy ( x − y ) = xy + x − y = xy + Đặt : x − y = a a3 − => ft a + 3ab = b + a − = −b ( 3a − 1) => −b =  3a −  xy = b 27 ( a − ) M 3a − => 27 a − − 215M 3a − => 3a − ∈ U ( 215 ) 1 1 + + = x y xy Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + y ) + = xy xy − x − y = x ( y − ) − y + 36 = 37 Ta có : x ( y − ) − ( y − ) = 37 ( x − ) ( y − ) = 37 Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − xy − x + y + 19 = x ( x − y ) − ( x − y ) − x + 19 = ( x − y ) ( x − 1) − x + = −17 Ta có : ( x − y ) ( x − 1) − ( x − 1) = −17 ( x − 1) ( x − y − ) = −17 Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + xy + y − = x + yx + y + y − = Ta có : Có ∆ ' = y2 − ( y2 + y − 2) = − y − y + , Để phương trình có nghiệm : 1 3  ∆ ' ≥  y + ÷ ≤ − ≤ y + ≤ −2 ≤ y ≤ 2 2  Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x2 + ( − y ) x + y2 − y + = ∆ ' = − y2 Có , để phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ y ≤ y = => x = −1, x = −2 Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 3x + y + x + y − = ( 3x + x ) + ( y + y ) = Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y − xy + y − = ( x − xy + y ) + ( y + y + 1) = ( x − y ) + ( y + 1) = Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + xy + x + y + = ∆ y = x − => ∆ y ≥ ( x − ) ( x + ) ≥ => x = ± Xét : x2 − ( y + 5) x + y + = Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Theo vi- ét ta có :  x1 + x2 = y + => ( x1 − ) ( x2 − ) = = 1.2 = ( −1) ( −2 )   x1.x2 = y + Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) x − x − 11 = y − y = 12 ( x − + y ) ( x − − y ) = 12 Đưa phương trình dạng : x + y + xy − x − y + = Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Chuyển phương trình thành bậc hai với x x + ( y − 1) x + ( y − y + 3) = , có : ∆ = y − y − 11 , Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm ngun số phương y − y − 11 = k ( k ∈ Z ) => y = 5, y = −3 => Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy − x + y = 27 ( x + 3) ( y − ) = 21 Đưa phương trình dạng : x ( y + 3) − y = 38 Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) ( y + 3) = 35 Đưa phương trình dạng : Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : xy + x + y = 17 ( 3x + 1) ( y + 1) = 52 ∆ Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + x + = xy − y ( x − 1) ( y − x − ) = Đưa phương trình dạng : Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy + xy − 243 y + x = x ( y + 1) = 243 y => ( y + 1) ∈ U ( 243) 2 Đưa phương trình dạng : => ( x; y ) = ( 54; ) ; ( 24;8) Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − xy = x − y − 19 x − x + 19 = y ( x − 1) => y = Đưa phương trình : x − x + 19 2x −1 y ( x − 1) = x + Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y = x +1+ Đưa phương trình dạng : Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x −1 15 x − y = y M3 => y M3 => y = y1 => x − 21 y12 = => x M => x = x1 => 15 x12 − y12 = => y12 ≡ −1( mod ) => Vơ nghiệm Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 29 x − 28 y = 2000 x ≡ ( mod ) Đưa phương trình thành : , Vơ nghiệm Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : 1999 x − 2000 y = 2001 x ≡ −1( mod ) Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : , Vô nghiệm x y − x − y = xy 2 y ( x2 − ) = ( x + y ) y ( x + 1) = x + Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình ta có : y = x +1+ x −1 Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : y= x − y + xy = 39 x − 39 => x − 39 ≥ − x => −12 ≤ x ≤ − 5x => ( x − 39 ) ≥ ( − x ) 2 Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình dạng : y = 2+ x − y = xy − 11 x+5 2 => x + ≥ x + => ( x + ) ≥ ( x + ) 2x + y= Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình trở thành : x2 − x + x2 + x + ( y − 1) x + ( y + 1) x + y − = TH1 : y=1=>x=0 y ≠ => ∆ x ≥ TH2 : ≤ y ≤ => y ∈ { 0;1; 2;3} Bài 24 : Tìm cặp (x ; y) nguyên cho A có giá trị nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : yA = x + + x + y +1 => x + y + ≥ xy − => ( x − 1) ( y − 1) ≤ xy − Bài 25 : Tìm cặp số nguyên dương x,y,z biết : HD : Biến đổi phương trình thành : x= x2 + x + A= xy − ( y + z ) = x ( yz − 1) y + 2z => y + z ≥ yz − => yz − − y − z ≤ yz − A= Bài 26 : Tìm cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : a2 − ab + 2 ( a + b ) M( ab + ) => ( a + b ) = k ( ab + ) Chứng minh k=1=>a=4, b=3 Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: x − y = 2003 ( x − y ) ( x + y ) = 2003 Biến đổi phương trình thành: Bài 28 : Có tồn hay khơng hai số nguyên x, y thỏa mãn : HD: Biến đổi phương trinhg thành: x2 + y = 286 => x M7 x < 286 => ≤ x ≤ 16 x + y = 2002 x M7 => x = 7, x = 14 x = => y = 165 ( l ) Với x = 14 => y = 202 ( l ) Với Bài 29 : Có tồn hay khơng hai số nguyên x, y thỏa mãn : x + y + z = x + y + z + 2006 HD: Biến đổi phương trình thành: Tương tự ta có: x − x = x ( x − 1) = ( x − 1) x ( x + 1) M3 y − y M3, z − z M3 , Mà /3 2006 M Bài 30 : Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn : HD: Xét Xét y y = => x = 3026 − = 3025 => x = 55 y > => y M3 x +3 :3 => , Vậy không tồn x,y,z x + = 3026 x2 : dư y dư dư 1, Mà 3026 chia dư 2=> Vô lý Bài 31 : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun : HD: Với y Phương trình vơ nghiệm Nếu y=0,1,2,3=> Phương trình vơ nghiệm x − y = 2005 Nếu y > => y M => PT x − 2005 = y M x ≡ ( mod8 ) => ( Vơ lý) số phương chia dưa hoặc Bài 32: Tìm tất tam giác vng có cạnh số nguyên số đo diện tích số đo chu vi HD: Gọi x, y cạnh hình vng Ta có: x2 + y = z xy = ( x + y + z ) (2) z = ( x + y ) − xy = ( x + y ) − ( x + y + z ) 2 Khi ta có: (1≤ x ≤ y < z) => ( x + y ) − ( x + y ) + = z + z + => ( x + y − ) = ( z + ) => ( x + y − = z + ) Thay z = x+ y−4 vào (2) ta Bài 33 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: x − y = xy − 11 x + 11 x+5 = 2+ => ( x + ) M2 x + => 7M2 x + 2x + 2x + y= Đưa phương trình thành: Bài 34 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: (x y= Biến đơi phương trình thành: x − x − 11 = y − x + 1) − y = 12 ( x − − y ) ( x − + y ) = 12 Bài 35 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: y ( x − 1) = x + x2 + = x +1+ x −1 x −1 Bài 36 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x ( y + 1) = 243 y / ( y + 1) => 243M yM ( y + 1) 2 xy + xy − 243 y + x = Vì Bài 37 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x + y = xy ( x − 1) ( y − 1) = Bài 38 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: xy + = x + y ( x − 1) ( y − 1) = Biến dổi phương trình thành: Bài 39 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: y= x − xy = x − y − x2 − 6x + = ( x − 1) + x−5 x−5 Bài 40 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: ( x − y) + 3xy ( x − y ) = xy + , Đặt: Khi phương trình trở thành: a + 3ab = b + => −b = x − y = xy + x − y = a   xy = b a3 − => a − 8M3a − => 27 ( a − ) M3a − 3a − 27 a − − 215M3a − => 3a − ∈ U ( 215 ) Bài 41 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: y= xy − x − y + = 2x −1 = 2+ x −3 x −3 Bài 42 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: y2 ( x2 − ) = ( x + y ) Phương trình cho có nghiệm: Xét: x, y ≠ 0, từ (1) => x2 − x y − x − y = xy x= y=0 (1) số phương x − = a => ( x − a ) ( x + a ) = 2 Đặt => Tìm đc x => (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2) Bài 43 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x + y = x + 13 HD: Biến đổi phương trình thành: 3x − x + = 16 − y => ( x − 1) = ( − y ) => − y ≥ => y ≤ => y ≤ => y = 1, y = Bài 44: Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 + xy − 2017x − 2018y − 6051 = DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Bài : Tìm tất x,y nguyên thỏa mãn : HD: Ta có: x4 + x2 + = y x + ≥ > => y = x + x + > x = ( x ) y = x + x + − x = ( x + 1) − x ≤ ( x + 1) Mặt khác (x ) 2 Từ (1) (2) ta có: (1) (2) < y ≤ ( x + 1) => y = ( x + 1) 2 y =1 => x + x + = x + x + x = => y = =>   y = −1 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x4 − y = y + x = y + y + = y + y + + y = ( y + 1) + y ≥ ( y + 1) Ta có : x = y + y + = y + y + − y − = ( y + ) − ( y + 3) < ( y + ) Mặt khác : Khi : (y + 1) ≤ x < ( y + ) => x = ( y + 1) 2 x = y + y + => y + y + = y + y + => y = 0, x = ±1 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x3 − y − y − y − = x = y + y + y + = ( y + y + y + 1) − y ≤ ( y + 1) x = y + y + y + = ( y − y + y − 1) + y + > ( y − 1) mặt khác : ( y − 1) Khi : 3 < x ≤ ( y + 1) 3 2 (1)  y = −1 x = y =>  => x = −1  y = − (l )  TH1 : x = ( y + 1) => y = => x = TH2 : Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : + x + x + x3 = y Ta có : 1 3  + x + x =  x + ÷ + ≥ > => y = ( + x + x ) + x > x 2 4  y = x + x + 12 x + − x − 11x − = ( x + ) − ( x + 11x + ) < ( x + ) Mặt khác : x = y =1 3 x < y < ( x + ) => y = ( x + 1) =>  =>   x = −1  y = Khi : Bài : Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x + x3 + x + x + HD : Đặt x + x3 + x + x + = y => ( x + x + x ) + ( x + x + ) = ( x + x ) + ( x + x + 3) = y 2 => y > ( x + x ) Vậy ta cần chứng minh (x (1) + x ) < y < ( x2 + x + 2) y − ( x + x ) = x + x + > => y > ( x + x ) Thật : 2 y = ( x + x + ) = 3x + 3x + > 2 x = y = ( x + x + 1) => x + x − = =>   x = −2 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + x = 19 x + y + x = 38 ( x ) + 2.2 x.2 + + y = 42 Ta có : ( 2x + 2) + y = 42 ≥ ( x + ) ≥ ( 2x + 2) M4 Mà => Tìm x => Tìm y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x2 + y2 = y M2 Ta có : mà :2 dư 1=> x2 chia dư 1=> x2 chia dư 1=>2y2 +x2 chia dư mà chia dư 5=> Vô lý khơng có giá trị x, y ngun thỏa mãn x + = y ( y + 1) Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: Nhân với ta có: 36 x + 20 = y + y 36 x + 21 = y + y + = ( y + 1) => 36 x + 21M3 => y + 1M3 => ( y + 1) M Do không tồn x, y nguyên , mà Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: /9 36 x + 21M => Vô lý x + x = 19 − y 2 x + x + = 21 − y => ( x + 1) = ( − y ) Ta có: => − y M2 => y số lẻ < 7=> Bài 10 : Tìm x, y nguyên cho : HD: Xét Xét x = y = ±1 =>   x = −4 2x + = y x = => y = ±2 x = => y = => Vô lý x ≥ => M4 => VT : Với dư 3=> y số lẻ=> y=2k+1=> y = 4k + 4k + 1: dư (vl) Vậy không tồn x, y nguyên Bài 11 : Tìm x, y nguyên cho : HD : TH1 : x số lẻ : x + 57 = y x = 2n + 1( n ∈ N ) => x = 2 n+1 = 2.4n = ( + 1) => dư VP số phương chia khơng dư TH2 : x số chẵn : n = ( B ( 3) + 1) = B ( 3) + n chia => x = 2n ( n ∈ N ) => y − 2n = 57 => ( y + 2n ) ( y − 2n ) = 3.19 Thấy y + 2n > => y − 2n >  y + = 57 =>  n y − =1 n y + 2n > y − 2n  y + = 19  n y −2 = n Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Ta có: (x x + x3 + x + x + = y + x3 + x ) + ( 3x + x + ) = y > ( x + x ) + ( x + x ) + + x + x + => y > ( x + x + 1) + ( x + x + ) Ta cần chứng minh: Khi đó: Vậy (x y ≤ ( x + x + 3) x + x3 + x + x + ≤ x + x + + x3 + 12 x + x + x + 1) < y ≤ ( x + x + 3) => y = ( x + x + ) y = ( x + x + 3) Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Giả sử: x + y + z + xyz = 20 ≤ x ≤ y ≤ z => VT = x + y + z + xyz ≥ x + x + x + x = x x =1 => 20 ≥ x => x ≤ =>  x = y + z + yz = 19 > y + y + y = y => y < TH1: Với x=1=> 19 y =1 y < =>  y = => Nếu y=1=> Z khơng có giá trị, Nếu y=2=> z=3 TH2 : Với x=2 làm tương tự 1 + + =1 x y z Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: ≤ x ≤ y ≤ z => ≤ Giả sử: Làm tương tự => x < => x ∈ { 2;3} x Bài 15 : Tìm số nguyên dương a, b, c đôi khác thỏa mãn : 1 1 1 + + + + + =A a b c ab bc ca Có giá trị nguyên HD: A.abc = ab + bc + ca + a + b + c => a, b, c Ta có: Giả sử : a A < 1( l ) =>  a = b ≥ 3, c ≥ => < A < => A = Nếu a=1=> ( b + c ) + = bc có tính chẵn lẻ: thay a=1 A=2 vào ta được: ( b − ) ( c − ) = => b = 3, c = hay Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) hốn vị Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: GT => Ta có: Giả sử: 1 + + + =1 yz xz xy xyz x ≥ y ≥ z ≥1 VT ≤ Khi đó: Với x + y + z + = xyz 1 12 + + + = => z ≤ 12 => z ∈ { 1; 2;3} z2 z2 z2 z2 z2 z = => x + y = xy − 10 => tự làm p4 Bài 17 : Tìm tất số nguyên tố p để tổng tất ước tự nhiên phương HD: Ta có: + p + p + p + p = m => ( p + p ) < 4m < ( p + p + ) 4m = ( p + p + 1) => p = => Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x2 + x = y + y3 + y + y số Biến đổi thành: ( 2y + y ) + y + y + = ( x + 1) = ( y + y + 1) + y − y 2 x − xy + y = Bài 19 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: ( 2x − y ) 2 = 20 − y ≥ => y ≤ Biến đổi thành: Xét TH=> x 20 => y = 0,1, Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương x, y phương trình : HD: y = x + 12 x + 1995 y = ( x + ) + 1959 ≥ 1959 => y ≥ 45 Biến đổi thành: −1959 = ( x + ) − y = ( x + y + ) ( x − y + ) Lại có: 1959=3.653 , Với x + y ≥ 52 yz xz xy + + =3 x y z Bài 21 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Phương trình cho y z + x z + x y = 3xyz VT ≥ 3 ( xyz ) => xyz ≥ 3 ( xyz ) => xyz ≤ 4 Cơ si ta có: x,y,z ngun nên ta có nghiệm là: (1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) hốn vị Bài 22: Tìm nghiệm ngun phương trình : HD : Với x=0=> y= y=-1 , Do y = + x + x + x3 + x 4 y = ( x2 + x + ) − 5x2 < ( x2 + x + 2) Với x # 0=> x, y , z > => ( x + x ) < y < ( x + x + ) => x = 3, x = −1 2 Bài 23: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Từ phương trình ta có : x < y < ( x + ) => y = ( x + 1) y = + x + x + x3 ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt Bài 24: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : Giả sử : x ≥ y ≥ z ≥ t => xyzt = ( x + y + z + t ) + 10 ≤ 20 x + 10 => yzt ≤ 15 => t ≤ 15 => t ≤ t = => xyz = ( x + y + z ) + 15 ≤ 15 x + 15 => yz ≤ 30 => z ≤ 30 => z ≤ Với z = => xy = ( x + y ) + 20 => xy = 10 ( x + y ) + 40 => ( x − ) ( y − ) = 65 TH1 : Giải TH với t=2 Bài 25: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : xyz = ( x + y + z ) x ≥ y ≥ z => xyz = ( x + y + z ) ≤ 12 x => yz ≤ 12 => z ≤ 12 => z ∈1; 2;3 Giả sử : Bài 26: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : Giả sử : xy + yz + zx = xyz + x ≥ y ≥ z ≥1 => xy + yz + zx ≤ xy + xy + xy = 3xy => 3xy ≥ xyz + => 3xy > xyz => z < => z = 1, 1 1 + = + x y xy Bài 27: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : x ≥ y => 1 1 2 x −1 2x = + − ≤ − = < = x y xy y xy xy xy y Giả sử : < => y < => y ∈ { 1; 2;3; 4;5} y => Bài 28: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng HD : Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z, Ta có : ≤ x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ => xy ∈ { 1; 2;3} x + y + z = xyz , Giả sử : Với Với Với xy = => x = 1, y = xy = => x = 1, y = xy = => x = 1, y = Bài 29: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn phương trình : HD : x + 3x = x x x  2 3  ÷ +  ÷ =1 5 5 Ta có : Với x=0=> Vô lý Với x=1 x x 3 2 x ≥ =>  ÷ < ,  ÷ < => VT < VP 5 5 Với Bài 30: Chứng với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên x cho HD : x ( x + 1) = k ( k + ) x + x = k + 2k => x + x + = ( k + 1) Ta có : x > => x < x + x + = ( k + 1) Do x > => ( k + 1) = x + x + < x + x + = ( x + 1) x < ( k + 1) < ( x + 1) 2 => (1) (2) Vơ lý Bài 31: Tìm x ngun để biểu thức sau số phương : HD : x4 + 2x3 + x2 + x + x + x + x + x + = y => y = ( x + x ) + ( x + x + 3) Đặt a2 < y2 < ( a + 2) Ta cần chứng minh : với a = x2 + x x3 + y + z = ( x + y + z ) Bài 32: Tìm số nguyên dương đôi khác thỏa mãn : HD : x < y < z => Giả sử : đấu = => x + y + z ≤ x3 + y + z  x + y + z  ≥ ÷ => x + y + z ≤ 3   không xảy x + y + z ≥ + + = => x + y + z ∈ { 6;7;8} , mà ( x; y; z ) = ( 1; 2;3) Kết hợp với phương trình đầu=> Bài 33: Tìm tất số tự nhiên khơng nhỏ cho tích số cộng với chia hết cho số lại HD : a ≥ b ≥ c ≥ => Giả sử số đẫ cho : ab + bc + ca + , , ∈Z c a b ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) abc Nhân theo vế ta : => ab + bc + ca + = abc => ab + bc + ca + = k abc ab + bc + ca + ≤ 4abc => k ≤ Vì k=4=>a=b=c=1 (t/m) 3abc ≤ 4ab => c ≤ => a = 2, b = Nếu k=3 k=2, k=1 xét tương tự Bài 34 : Tìm số nguyên dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng HD : Gọi số nguyên dương cần tìm x,y,z, ta có : xyz = ( x + y + z ) x ≤ y ≤ z => xyz = ( x + y + z ) ≤ 2.3z = z => xy ≤ Giả sử : Xét TH xy Bài 35: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng HD : x, y, z, t => x + y + z + t = xyzt Gọi số nguyên dương cần tìm : t ≥ z ≥ y ≥ x ≥ => xyzt = x + y + z + t ≤ 4t => xyz ≤ => xyz ∈ { 1; 2;3; 4} Giả sử : Xét TH xyz Bài 36 :Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên dương: HD : Giả sử : x17 + y17 = 1917 19 ≥ ( y + 1) 17 17 x17 + y17 = 1917 ≤ x ≤ y ≤ 19 => 19 ≥ y17 + 17 y16 17 => x>17=> x=y=18 thử lại ta thấy x=y=18 khơng thỏa mãn => Phương trình khơng có nghiệm ngun dương Bài 37 :Có tồn hay khơng hai số nguyên dương x y cho số phương HD : x < x + y ≤ x + x < ( x + 1) x2 + y y2 + x Giả sử : y < x, Ta có : Vậy không tồn hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu Bài 38: Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: HD : Giả sử : x4 + x3 + x + x + = y x + x3 + x + x + => ( y ) = ( x + x ) + x + ( x + ) > ( x + x ) 2 ( 2y) 2 , Nên : > ( x + x + 1) => −1 ≤ x ≤ ( x + 2) − x4 = y3 Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên: HD : ta có : y = ( x3 + x + x + 1) Đặt , y = x => z = x + x + x + 3 x = −1 => y = ( t / m ) Thấy ngày : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm 1 1 + + = x y z 1991 Bài 40 : Chứng minh HD : Giả sử : => 0< x≤ y≤ z có số hữu hạn nghiệm nguyên dương 1 1 + + = ≤ x y z 1991 x , Ta có : 1991 < x ≤ 3.1991 => x có hữu hạn giá trị y< Với giá trị x => => Tương ứng với z 2.1991x ≤ 22.1991 x − 1991 giá trị x − 25 = y ( y + ) Bài 41: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: HD: x − 25 = y ( y + ) => x − ( y + 3) = 16 => ( x + y + 3) ( x − y − 3) = 16 Bài 42: Tìm nghiệm nguyên phương trình: HD: 3x + x = x x x 3  4  ÷ + ÷ =1 5 5 Phương trình cho viết lại thành: Ta thấy x=2 nghiệm phuong trình: x x 3  4  ÷ + ÷ >1 5 5 Nếu x>2 Nếu x 0) Nếu x  ÷ +  ÷ = =>  ÷ +  ÷ = 5  5  5 5 3  4 , ≥ Phương trình vơ nghiệm vế phải lớn y Bài 43: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: HD: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy ( x − y) = − x2y2 + 35xy − 60 ( x − y) = 5( xy − 3) ( − xy) Phương trình Giả sử x, y nguyên thỏa mãn VT ≥ => 5( xy − 3) ( − xy) ≥ => ≤ xy ≤ Với: Với  xy = x = y   x = ( x − y) = , Do x, y nguyên nên ( vô nghiệm)  xy = x = y x = y =     x = y = −2 x = ( x − y) =  xy = x.y∈ Z =>   xy = ... => Vô nghiệm Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 29 x − 28 y = 2000 x ≡ ( mod ) Đưa phương trình thành : , Vơ nghiệm Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình. .. đổi phương trình thành : Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : x3 + xy = x ( x2 + y ) = Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình. .. 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + xy + y = x + y x2 + ( y − 2) x + y2 − y = Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên :