chuyen de phuong trinh nghiem nguyen

B4: Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1  Được PT bậc nhất 2 ẩn y và t1. B5: Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng [r]

Xét tính chia hết

1

Dùng bất đẳng thức

2

Dùng tính chất số chính phương

3

P2 lùi vô hạn – Nguyên tắc cự hạn

 Phát tính chia

hết ẩn

 Đưa phương

trình ước số

 Biểu thị ẩn

theo ẩn cịn lại dùng tính chia hết

 Xét số dư

vế.

VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159

VD2: Tìm nghiệm nguyên PT a, xy – x – y = 3

b, 2xy – x + y = 3

VD3: Tìm nghiệm nguyên PT xy – x – y = 2

VD4: Chứng minh rằng: PT sau khơng có nghiệm ngun:

1, x2 – y2 = 1998

2, x2 + y2 = 1999

 Phát tính chia hết ẩn

VD6: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 (1)

Gợi ý

B1: Lý luận để có: 17y chia hết cho B2: Lý luận để có: y chia hết cho  Đặt y = 3k (k є Z)

B3: Tìm x; y theo k

 Đưa phương trình ước số VD7: Tìm nghiệm nguyên PT

a, xy – x – y = b, 2xy – x + y =

Gợi ý

a/ B1: Biến đổi phương trình thành: (x – 1)(y – 1) = 4

B2: Vì x;y số nguyên:  (x – 1) (y – 1) є Ư (4) (x – 1)(y – 1) = 1.4 = 4.1 = (-1).(-4)

= (-4).(-1) = 2.2 = (-2).(-2) B3: Lập bảng tìm x; y

B4: Trả lời

b/ B1: Nhân vế PT với Biến đổi phương trình thành:

(2y – 1)(2x + 1) = 5 B2: Vì x;y số nguyên:

 (2y – 1) (2x – 1) є Ư (5)

 Đưa phương trình ước số

VD7: Tìm nghiệm nguyên PT a, xy – x – y =

b, 2xy – x + y =

Kinh nghiệm

Để viết VT: 2xy – x + y thành tích.

 Phương pháp biểu thị ẩn theo ẩn lại dùng

tính chia hết

VD8: Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – x – y =

Gợi ý

B1: Biến đổi PT về: x(y – 1) – y = B2: - Khảng định y≠1

- Biểu thị x theo y: x = B3: Tách phần nguyên:

x = +

B4: Lý luận để có: (y – 1) є Ư(3) B5: Tìm y  Giá trị tương ứng x

B6: Kết luận

y + y -

 Xét số dư vế

VD9: CMR PT sau khơng có nghiệm ngun a)

x

2

– y

2

= 1998

(*)

Gợi ý

B1: x2; y2 : dư

B2: x2 - y2 : dư hoặc

B3: 1998 : dư

 Xét số dư vế

VD10: CMR PT sau khơng có nghiệm nguyên b)

x

2

+ y

2

= 1999

(* *)

Gợi ý

B1: x2; y2 : dư

B2: x2 + y2 : dư hoặc

B3: 1998 : dư

 Xét số dư vế

Kinh nghiệm

- Một số phương : dư 1

- x

2

– y

2

: dư hoặc 3

VD11: Tìm nghiệm nguyên PT

9x + =

y

2

+ y

Gợi ý

B1: Biến đổi vế phải = y(y + 1)

B2: Lý luận vế trái : dư  y(y + 1) : dư

 y = 3k +

y+1 = 3k + B3: Tìm x = k(k + 1)

B4: Thử lại kết luận: x = k(k + 1)

 Phương pháp

thứ tự ẩn

 Phương pháp xét

từng khoảng giá trị của ẩn

 Phương pháp

nghiệm nguyên

 Phương pháp sử

dụng điều kiện để PT bậc hai có

nghiệm (∆ ≥ 0)

VD12: Giải phương trình nghiệm nguyên

x + y + z = xyz

VD13: Tìm nghiệm nguyên dương

1/x + 1/y = 1/3

VD14: Tìm x є N

2

x

+ 3

x

= 5

x

 Phương pháp thứ tự ẩn

VD12: Tìm nghiệm nguyên dương PT

x + y + z = xyz

Gợi ý

xy

x 1

y

z loại loại

B3: Chia hai vế BĐT cho Z

 xy ≤

 xy = 1; 2;

B4: B1: Nhận xét: x; y ; z có vai trị

bình đẳng PT

Có thể thứ tự giá trị ẩn:

 Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn

VD13: Tìm nghiệm nguyên dương PT

1/x + 1/y = 1/3

Gợi ý

B1: Giả sử x ≥ y  1/y < 1/3  y >

B2: Mặt khác x ≥ y ≥  1/x ≤ 1/y

 1/x + 1/y ≤ 1/y + 1/y

hay 1/3 ≤ 2/y

 y ≤

Cộng hai vế với 1/y  y ≤  y = 4; 5;

B3: Xét trường hợp y  x

 Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn

Kinh nghiệm

 Phương pháp nghiệm nguyên

VD14: Tìm số tự nhiên x cho 2x + 3x = 5x

Gợi ý

B1: Chia hai vế PT cho 5x  (2/5)x + (3/5)x =

B2: Xét với x =  ………  Loại

B3: Xét với x =  ………  Nhận

B4: Xét với x ≥  (2/5)x < 2/5  (2/5)x < 3/5

B5: Kết luận: x =

Kinh nghiệm

Có thể vài số nghiệm PT Rồi chứng minh PT khơng có nghiệm khác

 Phương pháp sử dụng ĐK để PT bậc hai có nghiệm VD15: Tìm nghiệm ngun dương PT

x

2

– xy + y

2

= 2x - y

Gợi ý

B1: Viết PT thành PT bậc x:

x2 – (y + 2)x + (y2 +y) = (*)

B2: Tính ∆ = -3y2 + 4

B3: Giải ∆ ≥  3y2 ≤  y = 0; 1; -1

B4: Tìm giá trị tương ứng x thử lại B5: Kết luận

Kinh nghiệm

- ĐK ∆ ≥ ĐK cần chưa đủ để PT có nghiệm nguyên.

 Sử dụng tính chất

chia hết số phương

 Tạo bình phương

đúng

 Tạo tổng số

chính Phương

 Xét số

phương liên tiếp

 Sử dụng đk biệt số ∆

số phương

 Sử dụng tính chất tích

của hai số nguyên số chính phương

VD16: Tìm x є Z để 9x + tích số nguyên liên tiếp

VD17: Tìm nghiệm nguyên

2x2 + 4x = 19 – 3y2 VD18: Tìm nghiệm nguyên dương 4x2 + 4x + y2 – 6y= 24 VD19: Tìm nghiệm nguyên

x4 - y4 = 3y2 + VD20: Tìm nghiệm nguyên

x2 + 2y2 + 3xy + 2x + 3y + = 0 VD21: Tìm nghiệm nguyên dương PT

 Sử dụng tính chất chia hết số phương VD16: Tìm số nguyên x để 9x + tích hai số nguyên

liên tiếp

Gợi ý

B1: Giả sử: 9x+5 = n(n+1) (n є Z) B2: Nhân hai vế PT với

Đưa dạng: (2n+1)2 = 3(12x+7)

B3: Lý luận để có (2n+1)2 ÷  VT ÷

B4: Lý luận để có (12x+7) ÷  VP ÷

B5:  Mâu thuẫn

 Sử dụng tính chất chia hết số phương

Lưu ý số tính chất

•

Số CP khơng tận 2; 3; 7; 8

•

Số CP chia hết cho số nguyên tố P chia hết cho P

2

•

Số CP chia cho dư 1

•

Số CP chia cho dư 1

 Tạo bình phương đúng VD17: Tìm nghiệm nguyên PT

2x2 + 4x = 19 – 3y2

Gợi ý

B1: Cộng hai vế PT với Đưa PT về: 2(x+1)2 = 3(7-y2)

B2: Lý luận để có 3(7-y2) chia hết cho  (7-y2) chia hết cho

 y lẻ

B3: Lý luận để có (7-y2) ≥  y2 ≤

B4: Tìm y2 ≤

B5: Tìm x  x = 2; x =

 Tạo ra tổng số phương

VD18: Tìm nghiệm ngun dương PT 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24

Gợi ý

B1: Biến đổi PT dạng: (2x+1)2 + (y-3)2 = 34

B2: Lý luận (2x + 1) lẻ

B3: Viết 34 dạng: a2 + b2 (a lẻ):

32 + 52; 52 + 32

 Xét số phương liên tiếp

VD19: Tìm nghiệm nguyên x4 – y4 = 3y2 +1

Gợi ý

B1: Viết PT dạng: x4 = y4 +3y2 +1

B2: Chứng tỏ: y4 +3y2 +1 ≥ (y2 +1)2

Chứng tỏ: y4 +3y2 +1 < (y2 +2)2

B3:  (y2 +1)2 ≤ x4 < (y2 +2)2

 x4 = (y2 +1)2

B4: Giải PT: y4 +2y2 +1 = y4 +3y2 +1  y =

B5: Tìm x

 Xét số phương liên tiếp

Lưu ý:

- Giữa số phương liên tiếp khơng có số phương

- Với ¥a; x є Z

Thì: Khơng tồn x để a2 < x2 < (a + 1)2

Nếu: Không tồn a2

<

x2 < (a + 2)2

 Sử dụng điều kiện biệt số ∆ SCP

VD20: Tìm nghiệm nguyên PT x2 +2y2 +3xy +2x + 3y + =

Gợi ý

B1: Viết PT dạng PT bậc ẩn x

B2: Tính ∆ = y2 - 12

B3: Để PT có nghiệm nguyên ∆ phải SCP  y2 - 12 = m2 (m є N)

B4: Viết PT dạng: (y – m)(y + m) = 12

B5: Lý luận để có: y – m; y + m є Ư(12) y – m; y + m chẵn, lẻ

B6:  y – m; y + m chẵn y + m > y – m

B7: Tìm được: y - m = y – m = -6

y + m = y + m = -2

 Sử dụng điều kiện biệt số ∆ SCP

Sử dụng tính chất:

TC1: Nếu số ngun dương NTCN có tích SCP Thì số SCP

 Sử dụng điều kiện biệt số ∆ SCP VD21: Tìm nghiệm nguyên PT

x2 + xy + y2 = x2y2

Gợi ý

B1: thêm xy vào vế PT  (x + y)2 = xy(xy + 1)

B2: xy xy + số nguyên liên tiếp có tích SCP

 xy =

xy + =

VD22: Tìm nghiệm nguyên PT x3 + 2y3 = 4z3 (*)

Gợi ý

B1: Lý luận để có x chia hết cho Đặt x = 2x1 (x1 є Z)

B2: thay x = 2x1 vào (*)  y chia hết cho Đặt y = 2y1 (y1 є Z)

1 Phương trình ẩn

2 PT bậc với hai ẩn

3 PT bậc hai với hai ẩn

4 PT bậc ba với hai ẩn

5 PT bậc bốn với hai ẩn

6 PT đa thức với ba ẩn

7 Phương trình phân thức

8 Phương trình mũ

9 Phương trình vơ tỷ

VD23: Tìm nghiệm nguyên PT

(x – 2)(3x – 2)(5x – 2)(7x – 2) = 945

Gợi ý

B1: Nếu x≥  VT ≥ 1.7.13.19 = 1729 (loại)

B2: Nếu x ≤ -2  VT ≥ 4.8.12.16 = 6164 (loại)  -2 ≤ x <

 x є { -1; 0; 1; 2}

B3: Lần lượt thay x = -1; 0; 1; vào PT: x = -1 (thoả mãn)

Kinh nghiệm

- Nếu triển khai giải PT bậc  gặp nhiều K2

ax + by = c (a; b; c є Z)

Kinh nghiệm

B1: Rút gọn phương trình Chú ý đến tính chia hết ẩn

B2: Biểu thị ẩn mà hệ số có GTTĐ nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn

B3: Tách riêng giá trị nguyên biểu thức x

B4: Đặt điều kiện để phân số biểu thức x số nguyên t1  Được PT bậc ẩn y t1

B5: Cứ tiếp tục làm ẩn biểu thị dạng đa thức với hệ số nguyên

 Dạng 1:

axy + bx + cy + d = 0 (a; b; c; d є Z)

 Dạng 2:

ax2 + by2 + c = 0

(a; b; c є Z)

 Dạng 3:

ax2 + by2 + cx + d = 0

ax2 + by2 + cy + d = 0

(a; b; c; d є Z)

 Dạng 4:

ax2 + by2 + cxy + d = 0

(a; b; c; d є Z)

VD25: Tìm nghiệm nguyên 5x – 3y = 2xy - 11 VD26: Tìm nghiệm nguyên 3x2 + 4y2 = 84

VD27: Tìm nghiệm nguyên x2 - 2x – 11 = y2

VD28: Tìm nghiệm nguyên

 Dạng 5:

ax2 + by2 + cx + dy = 0

(a; b; c; d є Z)

 Dạng 6:

ax2+by2+cx+dy+e = 0

(a; b; c; d; e є Z)

 Dạng 7:

ax2+by2+cxy+dx+ey = 0

(a; b; c; d; e є Z)

 Dạng 8:

ax2+by2+cxy+dx+ey+g= 0

(a; b; c; d; e є Z)

VD29: Tìm nghiệm nguyên dương x2 + y2 = 5(x – y)

VD30: Tìm nghiệm nguyên

3x2 + 4y2 + 12x + 3y + = 0 VD31: Tìm nghiệm nguyên

x + y + xy = x2 + y2

VD32: Tìm nghiệm nguyên

Kinh nghiệm

- Đưa Phương trình ước.

VD32:

x

3

+ x

2

+ x + = y

3

Gợi ý

B1: Chứng tỏ (

x

2

+ x + 1) >



x

3

< y

3



x < y

B2: Xét trường hợp 1: y = x +

Thay vào PT được: x = ; x = -1

B3: Xét trường hợp 1: y > x + 

y

3 >

(x + 1)

3

VD33:

x

3

– y

3

= xy + 8

Gợi ý

B1: Viết PT dạng: (x-y)3 + 3xy(x-y) = xy +

B2: Đặt: x - y = a va xy = b  a3 – = - b(3a - 1)

B3: Lý luận để có a3 – chia hết cho 3a-1

Kinh nghiệm

- Đưa Phương trình ước.

- Đặt ẩn phụ cho biểu thức (x + y) (x – y)

và xy.

- Với biểu thức (x

3

+ y

3

) (x

3

– y

3

) nên vận

VD34:

x

4

- 4x

2

+ y

2

+ 2x

2

y

– = 0

Gợi ý

B1: Biến đổi dạng:

(x

2

+ y + 2x)(x

2

+ y - 2x) = 9

B2: Đưa phương trình ước số

VD35: Tìm nghiệm nguyên PT

x(x+1)(x+2)(x+3) = y

2

Gợi ý

B1: Biến đổi dạng:

(x

2

+ 3x)(x

2

+ 3x + 2) = y

2

B2: Đặt (x2 + 3x + 1) =

a



(a+y)(a-y) = 1

Kinh nghiệm

- Đưa Phương trình bậc hai với hai ẩn

- Phân tích thành nhân tử để phát biểu

thức số phương.

VD36: Tìm nghiệm nguyên PT

6x + 15y + 10z =

Gợi ý

B1: Lý luận để có 10 z chia hết cho  z chia hết cho  z = 3k (k є Z)

B2: Giải PT hai ẩn x; y với k tham số: 2x + 5y = – 10k

B3: Đưa PT dạng: x = - 5k – 2y + B4: Đặt = t  y = – 2t

B5: Viết nghiệm x; y; z theo k t - y

2 - y

VD37: Tìm nghiệm nguyên PT

2xyz = x + y + z +

Gợi ý

B1: Do x; y; z có vai trị bình đẳng  giải sử: ≤ x ≤ y ≤ z  2xyz ≤ 3z + 16

B2: Do z nguyên dương  2xy ≤ + 16/z ≤ 19  xy ≤

B3: Do x nguyên dương  x2 ≤ xy

B4: x2 ≤  x є (1; 2; 3)

Kinh nghiệm

- Tìm dấu hiệu chia hết



Đưa PT bậc

đối với hai ẩn

- Dựa vào vai trị bình đẳng ẩn để dùng

phương pháp chặn

VD38: Tìm nghiệm nguyên dương PT 1/x + 1/y + 1/6xy = 1/6

Gợi ý

B1: Nhân hai vế PT với 6xy

B2: Đưa PT ước số: (x – 6) (y – 6) = 37 B3: Tìm x; y

Kinh nghiệm

-

Tìm cách khử mẫu

VD39: Tìm nghiệm nguyên dương PT: 2x + 3= y2

Gợi ý

B1: Xét với x ≥  VT: dư  Không thoả mãn

VP: dư  x = 0;

B2

:

Xét trường hợp  (x; y)

Kinh nghiệm

- Tìm STN k để với x ≥ k PT khơng có nghiệm ngun

- Xét x є (0; 1; …….; k-1)

- Chú ý: + an – bn chia hết a – b với n số tự nhiên

+ an + bn chia hết a + b với n số tự nhiên lẻ

VD40: Tìm nghiệm nguyên dương PT: x + x + = y

Gợi ý

B1: ĐK: x ≥ 0; y ≥

Bình phương vế  x(x + 3) = y2 – 2x -

B2

:

Đặt y2 – 2x – = m (m є N)  x(x + 3) = m

B3: Xét m =  x = 0; y =

B4: Xét m > Bình phương vế PT:  (2x + + m)(2x + – m) =

Kinh nghiệm

- Thường biến đổi để PT chứa

căn thức số nguyên

VD41: Tìm nghiệm nguyên Hệ: 2x + 3y = (1) 5y + 3z = (2)

Gợi ý

B1: Lý luận để có y chẵn  y = 2k (k є Z)

x = – 3k

B2

:

Tìm 3z + 10k =  z = -3k +

B3: Đặt = t  (x; y; z) theo t

{

{

1 - k - k

VD42: Tìm giá trị m để PT sau có hai nghiệm nguyên dương

x

2

+ mx + = 0

Gợi ý

B1: Gọi x1; x2 nghiệm nguyên dương

 x1 + x2 = - m (m є Z)

B2: ∆ = m2 – số phương

Đặt (m2 – 8) = k2 (k є N)

1, Bài toán số tự nhiên chữ số

1, Bài toán số tự nhiên chữ số

2, Bài toán tính chia hết số nguyên tố

2, Bài tốn tính chia hết số ngun tố

3, Bài toán thực tế