039 đề hsg toán 8 quỳnh phụ 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲNH PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức nh[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲNH PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức A x2 4x    x  x  5x   x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức nhận giá trị nguyên Bài (4,0 điểm) 1) Cho hai đa thức P  x  ax  bx  Q  x  x  x  Xác định giá trị a b để đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  x  x  15 x  16 x  30 x  M x  x  17 2) Cho biểu thức Tính giá trị M x 2  xm x  2  1 Bài (4,0 điểm) Cho phương trình x  x  m (x ẩn) 1) Giải phương trình  1 với m 4 2) Tìm điều kiện m để phương trình  1 có nghiệm số âm 2 Bài (2,0 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y 5 Tìm giá trị lớn x  y Bài (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm đường chéo AC ( M  A, C ) Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD 1) Chứng minh : tứ giác DEMF hình chữ nhật 2) Chứng minh BM  EF 2 3) Gọi N trung điểm AM Chứng minh CE 2 DN Bài (2,0 điểm) Cho tam giác đêu ; gọi M trung điểm BC Hai điểm E , F theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho EMF 60  E  A, F  A  Chứng minh chu vi AEF có giá trị không đổi ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức A x2 4x    x  x  5x   x c) Rút gọn biểu thức A A x2 4x   x 2      x  x  x   x  x 3    x    x    x    x  3 x2 4x     x   x    x  3 x   x    x  3   x    x  3  x  x   x   x  12 x  x  15    x    x  3  x    x    x    x  3 x  d) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức nhận giá trị nguyên A x 1  x x Với x  , để A nhận giá trị nguyên   x  x  U  3   3;  1;1;3  x    1;1;3;5 Kết hợp với ĐKXĐ ta x    1;1;5 Vậy với x    1;1;5 A nhận giá trị nguyên Bài (4,0 điểm) 3) Cho hai đa thức P  x  ax  bx  Q  x  x  x  Xác định giá trị a b để đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  Ta có Q( x)  x  x   x  1  P( x )  x  1  P  1 0(  a  b  0  b   a  1 Do : định lý Bê zu) P  x  ax  bx3  ax   a  1 x3  ax  ax  x  P  x   x  1  ax   x  x  1 x  R  x  ax   x  x  1 Đặt Để R  x   x  1  R  1 0 (Định lý Bezu)  a.13   12   1 0  a 3  b  Vậy với a 3, b  đa thức P  x  Q  x  4) Cho biểu thức M x  x  15 x  16 x  30 x  x  x  17 Tính giá trị M x 2  2 Ta có : x 2   x     x   3  x  x  0 Có x  x  15 x  16 x  30 x  x  x  17  x5  x  x3    3x  12 x3  3x    x3  8x  x    5x  20 x    x M  x  x  x    x  16 x  x    17 x  68 x  17   64 x  x  x 1  x  3x  x  5  x   8x 1  x  x 1  x  x 17   64 x  64 x  Vậy M 2 x 2  xm x  2  1 Bài (4,0 điểm) Cho phương trình x  x  m (x ẩn) 3) Giải phương trình  1 với m 4 Với m 4 phương trình (1) trở thành : x4 x  2  dkxd : x 4; x  3 x 3 x   x    x     x  3  x     x  3  x     x  3  x    x    x    x  3  x    x  16  x  2 x  x  24  x 1  x   tm  Vậy với m 4 phương trình (1) có nghiệm x 4) Tìm điều kiện m để phương trình  1 có nghiệm số âm x m x   2 Phương trình x  x  m ĐKXĐ: x m, x    x  m   x  m    x    x   2  x    x  m   x  m  x  2 x    m  x  6m   m  3 x m  6m    m   x  m    * Để (*) có nghiệm số âm m   0   m     m  m    m 3 m    m    m 3  m   m  m   Vậy với m  phương trình (1) có nghiệm số âm 2 Bài (2,0 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y 5 Tìm giá trị lớn x  y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  x  y    14   x.1  y 12   x  y  5 25 25   x  y   x  y  5   x  y   x, y   4 4 2 Dấu xảy  x 4 y  x 4 y    2  x  y 5 16 y  y 5  x 2    x, y   y   Max ( x  y )   x 2; y  2 Vậy Bài (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm đường chéo AC ( M  A, C ) Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD H A B N I E M K F C G D J 4) Chứng minh : tứ giác DEMF hình chữ nhật Xét tứ giác DEMF có : EDF DEM DFM 90  gt  Do DEMF hình chữ nhật 5) Chứng minh BM  EF Gọi giao điểm BM , EF G, gọi giao điểm MF & AB H Do DEMF hình chữ nhật (cmt) nên EMF 90 (tính chất)  EMH 90 Mà BAD 90  gt   AEM 90  AEMF hình chữ nhật Lại có AC phân giác BAD (ABCD hình vng-gt)  AEMH hình vng  ME MH  AH  AE  t / c  Mặt khác AB  AD (ABCD hình vng –gt) MF DE  AD  AE , BH  AB  AH  BH MF Chứng minh BHM FME (c.g.c)  HBM MFE Xét BHM GFM có : HBM MFG (cmt ), HMB GMF (đối đỉnh)  BHM ∽ GFM ( g.g )  MGF MHB 90 hay BM  EF G 2 6) Gọi N trung điểm AM Chứng minh CE 2 DN Gọi K EM  BC  K  BC  Kẻ NI  BK  I  BK  , NJ  DF  J  DF  Có NI / / MK , NA NM  I trung điểm BK  BNK cân N (NI vừa trung tuyến vừa đường cao)  BN  NK  1 Lại có BNI KNI (NI đường phân giác BNK )   Tương tự DNF cân N suy DN NF (3), DNJ FNJ   Mặt khác AND ANB (c.g c)  DN BN  5 Từ  1 ,  3 ,    DN NF KN BN   , Do BNK DNK (c.c.c) Có BNF BNI  INF JNF  INF 90 (7) (do NICJ hình vng) Từ (6) (7) suy BNF vng cân N  BF  NF  NB ( Pytago)  BF 2 DN   Lại có DEC CFB(c.g c )  EC BF   2 Từ (8) (9) suy EC 2 DN  dfcm  Bài (2,0 điểm) Cho tam giác đêu ; gọi M trung điểm BC Hai điểm E , F theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho EMF 60  E  A, F  A  Chứng minh chu vi AEF có giá trị khơng đổi A E H B F I K M C Ta có : BME  EMF  FMC 180  BME  FMC 180  EMF 180  60 120 BEM : B  BEM  BME 180  BEM  BME 180  B 180  60 120 BE ME BE MC MB  BEM FMC  EBM ∽ MCF ( g g )      MC MF ME MF MF  EBM ∽ EMF (c.g.c)  BEM FEM  EM phân giác BEF Chứng minh tương tự có FM phân giác EFC Kẻ MH  AB, MK  AC , MI  EF  H  AB, K  AC , I  EF   MH MI MK (do M nằm tia phân giác BEF , EFC ) Chứng minh : EHM EIM  EH EI , FIM FKM  FK FI có : C AEF  AE  AF  EF  AE  AF  EI  FI  AE  AF  EH  FK  AH  AK 2 AH  AH  AK  (không đổi H điểm cố định) Vậy chu vi AEF có giá trị khơng đổi  ... H B F I K M C Ta có : BME  EMF  FMC  180   BME  FMC  180   EMF  180   60 120 BEM : B  BEM  BME  180   BEM  BME  180   B  180   60 120 BE ME BE MC MB  BEM FMC... 3x  12 x3  3x    x3  8x  x    5x  20 x    x M  x  x  x    x  16 x  x    17 x  68 x  17   64 x  x  x 1  x  3x  x  5  x   8x 1  x  x 1  x  x 17... vuông cân N  BF  NF  NB ( Pytago)  BF 2 DN   Lại có DEC CFB(c.g c )  EC BF   2 Từ (8) (9) suy EC 2 DN  dfcm  Bài (2,0 điểm) Cho tam giác đêu ; gọi M trung điểm BC Hai điểm E ,