037 đề hsg toán 8 quỳnh phụ 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲNH PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của để biểu thức[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲNH PHỤ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức A x2 4x    x  x  5x   x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên Bài (4,0 điểm) 1) Cho hai đa thức P  x  ax  bx  Q  x  x  x  Xác định giá trị a b để đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  x  x  15 x  16 x  30 x  M x  x  17 2) Cho biểu thức Tính giá trị M x 2  xm x  2  1 Bài (4,0 điểm) Cho phương trình x  x  m ( x ẩn) 1) Giải phương trình  1 với m 4 2) Tìm điều kiện m để phương trình  1 có nghiệm số âm 2 Bài (2,0 điểm) Cho hai số dương x y thỏa mãn x  y 5 Tính giá trị lớn x y Bài (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm đường chéo AC  M  A & C  Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD 1) Chứng minh tứ giác DEMF hình chữ nhật 2) Chứng minh BM  EF 2 3) Gọi N trung điểm AM Chứng minh CE 2 DN Bài (2,0 điểm) Cho ABC đều, gọi M trung điểm BC Hai điểm E F theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho EMF 60  E  A, F  A  Chứng minh chu vi AEF có giá trị không đổi ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức A x2 4x    x  x  5x   x 3) Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 2; x 3 A x2 4x  x2 4x       x  x  x   x x   x  3  x   x   x    x    x    x  3  x   x   x  12  x  3  x    x  3  x    x  3  x    x    x  3  x   x   4) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên Giả sử tìm giá trị x nguyên để biểu thức A nhận giá trị số nguyên Với x 2; x 3 A Z  A x 1  x x  Z   x    U (3)  1;  1;3;  3 x  x   3;1;5;  1 x    1;1;5 Đối chiếu điều kiện, biểu thức A nhận giá trị số nguyên Bài (4,0 điểm) 3) Cho hai đa thức P  x  ax  bx3  Q  x  x  x  Xác định giá trị a b để đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  Q  x  x  x   x  1 nên đa thức Q  x  có nghiệm x 1 Áp dụng định lý Bo-zu ta P  x  Q  x   P  1 0  a  b  0  b  a  Thay b  a   P  x  ax  ax3  x   x  1  ax  x  x  1 P  x  Q  x   ax  x  x  1x  Đặt R  x  ax  x  x  R  x   x  1  R  1 0  a    0  a 3 Thay a 3 tìm b  Vậy a 3, b  đa thức P  x  chia hết cho đa thức Q  x  4) Cho biểu thức M x  x  15 x  16 x  30 x  x  x  17 Tính giá trị M x 2  ĐKXĐ M : x   x 2   x    x  x  3  x  x  0 Thực phép chia đa thức x  x  15 x  16 x  30 x  cho x  x  thương x  x  x  dư 8x  x5  x  15 x3  16 x  30 x   x  x  1  x  x  1  x 2 Thực phép chia đa thức x  x  17 cho x  x  thương x  x  17 dư 64x  x  x  17  x  x  1  x  x  17   64 x  x  x 1  x  3x  x    x  x x 3 M    x  x 1  x  x 17   64 x 64 x x 2  Với  M Vậy 2 2  x  0   x 0  M x 2  xm x  2  1 Bài (4,0 điểm) Cho phương trình x  x  m ( x ẩn) 3) Giải phương trình  1 với m 4 x4 x  2 Thay m 4 vào phương trình (1) ta : x  x  ĐKXĐ: x 4, x    x    x     x    x   2  x    x    x  16  x  2 x  x  24  x 1  x   tmdk  Vậy với m 4 phương trình có nghiệm x 4) Tìm điều kiện m để phương trình  1 có nghiệm số âm ĐKXĐ: x m, x    x  m   x  m    x  3  x  3 2  x    x  m   x  m  x  2 x  2mx  x  6m  2mx  x m  6m    m    m    2 Phương trình (2) có nghiệm   m  3 0  m 3 Khi m 3  2  x m   m 3  m   x     m   x  m Phương trình (1) có nghiệm Nghiệm số âm  x m 3  m   m 3  * m   m   m   ** m   Kết hợp (*) (**) ta m  m   Vậy với m  phương trình (1) có nghiệm số âm 2 Bài (2,0 điểm) Cho hai số dương x y thỏa mãn x  y 5 Tính giá trị lớn x  y Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta : 2 2    1   x  y  x  y            x   y         25 2   x  y    x  y    x  y   (do x  y 5) 4  x  y  (do x  y  0)  x 2y  1/    x  y 5   x  0, y   Dấu xảy   x 4 y  2 16 y  y 5   x  0, y    x 2    y  x  y   x 2, y  2 Vậy GTLN Bài (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm đường chéo AC  M  A & C  Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD A B N M E K H D F C 4) Chứng minh tứ giác DEMF hình chữ nhật Do ABCD hình vng  EDF 90 Do E, F hình chiếu M AD, DC nên MED MFD 90  Tứ giác DEMF hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) 5) Chứng minh BM  EF EM  BC K ; BM  EF H Chứng minh tứ giác CKME hình vng (hình chữ nhật có đường chéo phân giác) nên MF MK  1 Chứng minh tứ giác ABKF hình chữ nhật (tứ giác có góc vng)  AE BK AME vng cân E  AE EM  BK EM   MK  AD, AD / / BC  MK  BC  MKB 90  3 Từ (1), (2), (3)  MEF KBM (c.g c)  BMK EFM Mà BMK EMH (đối đỉnh)  EFM EMH MEF vuông cân M nên EFM  FEM 90  HME  FEM 90  MHE 90  BM  EF  dfcm  2 6) Gọi N trung điểm AM Chứng minh CE 2 DN Do AME vuông cân E mà N trung điểm AM  EN  AM Do AME vuông cân E nên EMA 90  NME vuông cân N Áp dụng định lý Pytago ta có ME 2 NE  EN  ME 2 MFC có CFM CMF 45  MFC vng cân F Áp dụng định lý Pytago suy Mà MF DE  MC 2 FM  FM  MC 2 DE EN ED EN ED      2 CM ME MC ME MC Xét DEN CME có : NED CME 135 , EN ED   DEN ∽ CME (c.g c ) ME MC  DN DE DN DE      CE 2 DN 2 CE CM CE CM Bài (2,0 điểm) Cho ABC đều, gọi M trung điểm BC Hai điểm E F theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho EMF 60  E  A, F  A  Chứng minh chu vi AEF có giá trị khơng đổi A E I F K H B M C Gọi H , I , K hình chiếu M AB, EF , AC EBM có EBM 60  BEM  BME 120 Mà FME  BME  FMC 180  BME  FMC 120  FME 60   BEM FMC ; B C  60   BEM ∽ MEF ( g g )  BE EM BE EM     BM CM  CM FM BM FM Xét BEM MEF có : BE EM   BEM ∽ MEF (c.g c )  BEM FEM BM FM  MHE MIE (ch  gn)  EH EI B FME (60 ); Tương tự chứng minh ta : FK FI Chu vi AEF AE  FE  FA  AE  EI  FI  FA  AE  EH  FA  AH  AK Do M, AB, AC cố định  H , K cố định, A cố định  AH  AK có giá trị khơng đổi Vậy chu vi AEF có giá trị khơng đổi ...  x  0 Thực phép chia đa thức x  x  15 x  16 x  30 x  cho x  x  thương x  x  x  dư 8x  x5  x  15 x3  16 x  30 x   x  x  1  x  x  1  x 2 Thực phép chia đa thức x ... DEN ∽ CME (c.g c ) ME MC  DN DE DN DE      CE 2 DN 2 CE CM CE CM Bài (2,0 điểm) Cho ABC đều, gọi M trung điểm BC Hai điểm E F theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho EMF 60  E  A, F... , I , K hình chiếu M AB, EF , AC EBM có EBM 60  BEM  BME 120 Mà FME  BME  FMC  180   BME  FMC 120  FME 60   BEM FMC ; B C  60   BEM ∽ MEF ( g g )  BE