PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (6,0 điểm) Cho biểu thức a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 1 Bài 2 (4,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên x,y th[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲNH LƯU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (6,0 điểm) 25 x x x 5 P x x 15 x x x Cho biểu thức a) Nêu ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P > Bài (4,0 điểm) 2y y 3 a) Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn x x 17 0 b) Hai bạn Lan Hoa vào cửa hàng sách, Lan mua số cịn Hoa khơng mua gấp đơi số Lan mà cịn nhiều Tính số bạn mua biết số Lan mua số nguyên tố, số Hoa mua lập phương số tự nhiên? Bài (3,0 điểm) a) Cho x a b c a c b bc 0; a b c 0 b2 c2 a y a b c b c a b c a 0 2bc Tính giá trị biểu thức A x y xy 1 b) Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c chu vi Chứng minh : a b c 2abc Bài (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD, hai đường chéo AC BD cắt O Kẻ AH BD H a) Chứng minh AHB ∽ ADC b) Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho AM cắt đường chéo BD P, cắt cạnh ND MC PB 1 CD N Chứng minh NC MB PD BI CN c) Trên BH lấy I cho BH CD Chứng minh AI NI ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 25 x x x 5 P x x 15 x x x Cho biểu thức c) Nêu ĐKXĐ rút gọn P P xác định x 3; x 5 Khi 25 x x x 5 P x x 15 x x x 25 x ( x 3)( x 3) ( x 5)( x 5) (25 x x x 25).( 3) x x 3 ( x 5) x 3 ( x 5)( x 3) (9 x ).3 x 3 ( x 5)(3 x) x d) Tìm x để P > x 8 x 0 0 x x x 8 x 8 x x x 8(tm) (VN ) x x x Vậy P x P 1 P Bài (4,0 điểm) 2y y 3 c) Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn x x 17 0 x x 22 y y 3 17 0 x x y 8.2 y 16 0 x 0 x 1 x 1 y 0 y (tm) y 2 2 0 Vậy x=1, y=2 d) Hai bạn Lan Hoa vào cửa hàng sách, Lan mua số cịn Hoa khơng mua gấp đơi số Lan mà cịn nhiều Tính số bạn mua biết số Lan mua số nguyên tố, số Hoa mua lập phương số tự nhiên? Gọi số Lan mua x(quyển), (x số nguyên tố) nên số Hoa mua 2x+1 (quyển) Theo đề ta có x y y N * y 1 2 x y y 1 y y 1 ( x, y N *) y y 1 2 Th1: y 12 y 1 2 y 2k 1 x k 4k 6k Có 4k 6k 1, k N * mà x nguyên tố nên : k 1 x 13 y 3; x 27 Th : y y 12 y 2 x 1, x P y lẻ nên y y lẻ (loại) Vậy x=13, 2x+1=27 Vậy Lan mua 13 vở, Hoa mua 27 Bài (3,0 điểm) c) Cho x a b c a c b bc 0; a b c 0 b2 c2 a y a b c b c a b c a 0 2bc Tính giá trị biểu thức A x y xy 1 2 b c a a b c b c a b2 c2 a2 x 1 1 2bc 2bc 2bc 2 a b c a c b 1 a b c b c a 4bc a b c b c a a b c b c a a b c b c a 2 2 A x y xy 1 x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 2 a b c b c a 4bc A A 4 2bc a b c b c a d) Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c chu vi Chứng minh : a b c 2abc Chu vi tam giác a b c 2 Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên 0 a b c 0 b a c 0 c a b 0 2a a b c 2 0 2b a b c 2 0 2c a b c 2 a b c (a 1)(b 1)(c 1) abc ab bc ca a b c 2abc ab bc ca a b c 2 2abc ab bc ca a b c 2abc a b c 2(dfcm) Bài (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD, hai đường chéo AC BD cắt O Kẻ AH BD H A B O I P H D N C M d) Chứng minh AHB ∽ ADC ABCD hình chữ nhật mà O giao điểm AC BD nên OAB cân O BAO ABO ma`DCA BAO (slt AB / /CD ) DCA ABO AHB ∽ ADC e) Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho AM cắt đường chéo BD P, cắt ND MC PB 1 cạnh CD N Chứng minh NC MB PD DN AD AN ADN ∽ MCN ( g g ) MC MN NC MC MN MCN ∽ MBA( g g ) BP BM MB MA BPM ∽ DPA( g g ) 1 DP DA BM AM AMB ∽ NAD g g 2 DA AC BP AM DN MC PB AN MN AM 1 1 , DP AN NC MB PD MN MA AN BI CN f) Trên BH lấy I cho BH CD Chứng minh AI NI CD AC CN BI CN BH , Ma` ( gt ) CD BH AB CD BH BI CN BH CA CN CA BH BI AB BI AB CN CA CNA & BIA : NCA IBA(CDB ); CNA ∽ BIA(c.g c ) BI BA NAC IAB NAC CAI IAB CAI NAI CAB AHB ∽ ADC ( g.g ) ma` CAB DCA ( AB / /CD ) NAI DCA AN AI Ma`CNA ∽ BIA(cmt ) ; NAI ACD NAI ∽ ACD ( g g ) AC CD AIN CDA ma`CDA 90 AIN 90 AI IN ... 3) (9 x ).3 x 3 ( x 5)(3 x) x d) Tìm x để P > x 8? ?? x 0 0 x x x ? ?8 x ? ?8 x x x 8( tm) (VN ) x x x Vậy P x P 1 P ... (4,0 điểm) 2y y 3 c) Tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn x x 17 0 x x 22 y y 3 17 0 x x y 8. 2 y 16 0 x 0 x 1 x 1 y 0 y (tm) y 2 2... phương số tự nhiên? Gọi số Lan mua x(quyển), (x số nguyên tố) nên số Hoa mua 2x+1 (quyển) Theo đề ta có x y y N * y 1 2 x y y 1 y y 1 ( x, y N *)