161 đề hsg toán 8 xuân phú

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút Bài (2 điểm) a) x Phân tích đa thức thành nhân tử:  x   x  x  1  b) Đa thức f  x  4 x  ax  b chia hết cho đa thức x  2; x  Tính 2a  3b Bài (2 điểm) a) Cho an 1     n Chứng minh an  an1 số phương 10n  9n  b) Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số 20n  20n  tối giản Bài (3 điểm) xyz P 3  x  y  y  z  z  x a) Cho x  y  z 3 xyz Hãy rút gọn phân thức : 14  54  94  17  M 4   11  19  b) Tìm tích: Bài (4 điểm) a) Cho x by  cz; y ax  cz; z ax  by x  y  z 0; xyz 0 1   2  a  b  c CMR: 1 yz xz xy   0, P   x y z b) Cho x y z tính giá trị biểu thức  x 1 x2  x  x2  P :    x  2x 1  x  x x2  x  Bài (3 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) Tìm giá trị nhỏ P x  Bài (3 điểm) Cho hình vng ABCD, gọi E , F thứ tự trung điểm AB, BC a) Chứng minh rằng: CE  DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh rằng: AM  AD Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC Vẽ ngồi tam giác hình vng ABDE , ACFH a) Chứng minh EC BH ; EC  BH b) Gọi M , N thứ tự tâm hình vng ABDE , ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MNI tam giác ? Vì ? ĐÁP ÁN Bài a)  x  1  x  3  x  2x  2 b) Đa thức f ( x) 4 x  ax  b chia hết cho đa thức x  2; x  nên: f   0  32  2a  b 0(1) f (  1) 0    a  b 0 (2) Từ  1   ta tìm a  12; b  Vậy 2a  3b 0 Bài a) Ta có: an1 1     n  n  n  n  1 an  an1 2      n   n  2  n  n  2n  2  n  1 số phương 2 b) Gọi d ƯCLN 10n  9n  20n  20n  10n  9n  4d 20n  18n  8d      2n  1d 2 20n  20n  9d 20n  20n  9d  d số tự nhiên lẻ 2 Mặt khác : 2n  1d  4n  4n  1d  20n  20n  5d  4d , mà d lẻ nên d 1 Vậy phân số tối giản Bài 3 3 a) Từ x  y  z 3xyz x  y  z 0 x  y z TH 1: x  y  z 0  x  y  z; x  z  y; y  z  x  P  1 TH : x  y z  P  2 n    n  1  1   n  1  1    Do đó: b) Nhận xét được: 1. 22  1 4 M   1   1  2 2  1  62  1  16  1   1  18 2  1  182  1  1  202  1  202   401 Bài a) Từ giả thiết  2cz  z x  y  2cz x  y  z  c x y z x yz 2z  c 1    2z 2z c 1 x  y  z 2x 2y 1  ;    2  a x  y  z  b x  y  z  a  b  c Tương tự: Khi đó: 1 1 1   0     x y z xyz b) Từ x y z Khi đó:  yz xz xy xyz xyz xyz 1 P        xyz.     xyz 3 x y z x y z x y z xyz   Bài a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x  x2 P x P Rút gọn ta có: 1  x   2  x x x  x 1 2 P 1  1   1  0  0 x x x x b)  x    x 1 Vậy với x  x 0; x  P  x2 x2  1 1 P  x   x   2 x x x x c) Ta có: Khi x  1; x   Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 2 Vậy GTNN P  x 2 x  1 2 x Dấu " " xảy Bài E A B M F D 1 N K C   a) Chứng minh CBE DFC  c.g.c   C1 D1 0     Lại có: C1  C2 90  D1  C2 90  CE  DF b) Gọi K trung điểm CD Chứng mnh tứ giác AECK hình bình hành suy AK / / CE Gọi N giao điểm AK DF DCM có DK KC KN / / CM nên N trung điểm DM Vì CM  DM ( câu a), KN / /CM  KN  DM Tam giác ADM có AN đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác cân A  AM  AD Bài H E F N A M D B I C   a) Chứng minh được: EAC BAH  c.g.c   EC BH , AEC  ABH Gọi K O thứ tự giao điểm EC với BA BH       Xét AEK OBK có: AEK OBK ; AKE OKB  EAK BOK   BOK 900 Vậy EC  BH 1 MI / / EC ; MI  EC ; IN / / BH ; IN  BH 2 b) Ta có: Mà EC  BH EC BH nên MI IN MI  IN Vậy tam giác MIN vuông cân I