PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 8 – NĂM HỌC 2022 2023 Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu 2 (4,0[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NHƯ XUÂN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP – NĂM HỌC 2022-2023 Câu (4,0 điểm) 3x x 1 x 5x A : x x2 x 1 x x Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn A Câu (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ) x x 11x b) x 2019 x 2018 x 2019 2 2018 x 2018 x ( x 2019) x 2019 2 2018 x 2018 x x 2019 x 2019 2) Giải phương trình : 19 49 Câu (4,0 điểm) 4 2 a) Cho a b c 0 a b c 14 Tính giá trị biểu thức N a b c a2 b2 c2 a c b 2 2 c a a b) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn b c a Chứng minh a b c Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM , đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh EA.EB ED.EC EAD ECB b) Cho BMC 120 S ABD 36cm Tính S EBC c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM BD CM CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH , DH Chứng minh CQ PD Câu (2,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x y 2 2 1 1 x y 8 x y Chứng minh : ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) 3x x 1 x2 5x A : x x x 1 x x Cho biểu thức c) Rút gọn A ĐKXĐ: x 1 3x x 1 x2 5x A : x x x x 1 x 3x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 5x 3x x x x x x x x 1 1 2 x 5x x x 1 x 5x x 5x x 1 x x 1 d) Tìm giá trị lớn A Ta có : 25 15 15 x x 2 x x 2 x 16 16 4 5 x 0 4 Vì 15 15 2 x 4 8 15 15 x2 5x x 5x 15 Max A x Vậy Câu (4,0 điểm) 3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ) x x 11x x x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 x x b) x 2019 x 2018 x 2019 x x 2019 x 2019 x 2019 x x 1 2019 x x 1 x x 1 x x 1 2019 x x 1 x x 1 x x 2019 2 2018 x 2018 x ( x 2019) x 2019 2 2018 x 2018 x x 2019 x 2019 4) Giải phương trình : 2 2018 x 2018 x ( x 2019) x 2019 2 2018 x 2018 x x 2019 x 2019 19 49 19 x 2018 1 49 x 2019 Đặt x 2019 y x 2018 y 1 y 1 y 1 y y 2 y 1 y 1 y y 19 y y y y y 19 49 y y y y y 49 y y 19 49 y 49 y 49 57 y 57 y 19 y y 49 15 y y 30 0 y y 0 1 y 0 2 5 y x 2019 5 3 x 2021,5 y y 0 x 2017,5 2 2 y x 2019 2 Vậy tập nghiệm phương trình S 2021,5; 2017,5 Câu (4,0 điểm) 4 2 c) Cho a b c 0 a b c 14 Tính giá trị biểu thức N a b c a b c 0 a b c 0 a b c 2ab 2bc 2ca 0 14 ab ac bc 0 ab ac bc a 2b b c a 2c 2abc a b c 49 a 2b b 2c a 2c 49 a b c a b c a 2b b 2c a 2c 142 2.49 98 a2 b2 c2 a c b 2 2 c a a d) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn b c a Chứng minh a b c a b c x; y; z xyz 1 c a Đặt b Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : x y 2 x y 2 xy; cmtt : y z 2 yz; x z 2 xz x y z 2 xy yz zx x y z xy yz zx 1 a b2 c2 a c b x y z * x y z b c a c a a a2 b2 c2 a c b 2 2 c a a Mà b c a Vậy đẳng thức (*) xảy x y z 1 a b c( dfcm) Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM , đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E E D A M B P Q H C e) Chứng minh EA.EB ED.EC EAD ECB *) Xét EAC EDB có : E chung , EAC EDB 90 EAC ∽ EDB ( g g ) EA EC EA.EB EC.ED ED EB *) Xét EAC & EBC có : EA EC EA ED EDA ∽ EBC (c.g.c ) EAD ECB ED EB EC EB f) Cho BMC 120 S ABD 36cm Tính S EBC Ta có BMC 120 AMB 180 120 60 sin ABM ED ED EB 2 ED 1 EB EB 2 EDA ∽ EBC Mặt khác S EAD ED ED S EBC EB ED S ECB 4S EAD 4.36 144cm g) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM BD CM CA có giá trị khơng đổi Kẻ MH BC Xét BKM BDC có : B chung , K D 90 BKM ∽ BDC ( g g ) BM BK BM BD BK BC 1 BC BD Xét CKM CAB có : C chung , K A 90 CKM ∽ CAB ( g g ) CM CK CM CA CB.CK CB CA BM BD CM CA BC BK CK BC BC BC Từ (1) (2) ta có (khơng đổi) DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH , DH Chứng minh CQ PD h) Kẻ Xét BDH BCD có : B chung , H D 90 BDH ∽ BCD( g g ) Xét DHC BDC có : C chung , H D 90 DHC ∽ BDC ( g g ) Vậy ta có Do BHD ∽ DHC ( g.g ) BH 2 BD( gt ), DH 2 DQ Xét DPB CQD có: BH BD DH DC BD BP BP DC DQ DQ DBP CDQ BDH ∽ DHC , BD BP DC DQ DPB ∽ CQD(c.g c ) BDP DCQ Mà BDP PDC 90 CDQ PDC 90 PQC 180 90 90 CQ DP Câu (2,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x y 2 2 1 1 x y 8 x y Chứng minh : 2 1 1 1 2 2 x y x y 4 x y x y x y y x Ta có : 2 2 Áp dụng BĐT Cosi cho hai số x ; y ta có x y 2 xy x y x y x y 4 xy x y 22 2 x y 2 2 x y 1 xy 4 1 ; 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số x y ta có : 1 2 x y xy 2 1 1 2 x y 4 x y 4 8(dfcm x y y x Dấu xảy x y 1