ĐS8 CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ 1 Xét trong tập xác định (D) a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với nếu Ký hiệu b)[.]
1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share ĐS8-CHUN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ Xét tập xác định (D): a) Hằng số a giá trị lớn A(x) với x xo nếu: x, A( x) A( xo ) a Ký hiệu: max A( x ) a x xo b) Hằng số b giá trị nhỏ B(x) với x xo nếu: x, B( x) B( xo ) b Ký hiệu: B( x) b x xo c) Hằng số a giá trị lớn A(x, y,…_) với x xo ; y yo ; x, y , A( x, y, ) A( xo , yo , ) a Ký hiệu: max A( x , y , ) a x xo ; y yo ; d) Hằng số b giá trị nhỏ B( x, y, ) với x xo ; y yo ; x, y, B( x, y, ) B( xo ; yo , ) b Ký hiệu: B( x, y, ) b x xo ; y yo ; Định lý cực trị: a) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số b) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu chuyên đề 21) a Bất đẳng thức Cauchy b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki c Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share d Bất đẳng thức tam giác B Một Số Ví Dụ Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn A( x) 2015 x x b) Tìm giá trị nhỏ B( x) 2 x 2( x 5) 2 c) Tìm giá trị nhỏ C ( y ) ( y 2) ( y 5) * Tìm lời giải: Để tìm giá trị lớn A(x) ta phân tích A(x) thành số a trừ bình phương tổng (hoặc hiệu) Từ tìm xo để x A( x) A( xo ) a Khi max A( x) a x xo Để tìm giá trị nhỏ B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương tổng (hoặc hiệu) trừ số b Từ tìm xo để x B ( x ) B ( xo ) b Khi B( x) b x xo Giải 2 a) A( x) 2015 x x 2016 ( x x 1) 2016 ( x 1) 2 Do ( x 1) 0, x nên 2016 ( x 1) 2016, x Do max A( x) 2016 x 0 x 1 1 19 19 B ( x) 2 x x 10 2 x x 2 x x 2 x 4 2 b) 2 2 1 19 19 x 0, x x x 2 2 2 Do Nên FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 19 B( x) x 2 Do 2 2 c) C ( y ) ( y 2) ( y 5) y y y 10 y 25 29 2 y y 29 2 y y 49 49 49 2 y y 2 y , y 4 2 2 Do C ( y ) 24,5 y 1,5 Dạng đa thức biến bậc lớn hai Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ C x x 12 x 18 x 15 b) Tìm giá trị lớn D ( y 2)( y 5)( y 6)(9 y) * Tìm cách giải: a) Sử dụng tách thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất bình phương nhị thức b) Hoán vị nhân cặp làm xuất biểu thức có phần giống y 11 y đặt ẩn phụ để giải Giải 2 a) C x x x 3x 18 x 27 12 x ( x 3) 3( x 3) 12 ( x 3) ( x 3) 12 2 2 Do x x;( x 3) 0, x ( x 3) ( x 3) 12 12, x Nên C 12 x 3 b) D ( y 2)(9 y) ( y 5)( y 6) y 11 y 18 y 11y 30 2 Đặt y 11y 24 z ta có: D ( z 6)( z 6) 36 z 36 z FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Vậy max D 36 z 0 y 11 y 24 ( y 3)( y 8) 0 y 3; y 8 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai Ví dụ 3: 2 a) Tìm giá trị nhỏ A( x; y ) x x y y 2018 b) Tìm x, y, z để đa thức B(x, y, z) có giá trị lớn B( x, y, z ) 1 (2 x y z xy xz yz x y ) * Tìm cách giải: a) Biến đổi biểu thức thành tổng bình phương nhị thức với số b) Dùng tách, thêm bớt hạng tử làm xuất bình phương biểu thức Sử dụng đẳng thức: a b c 2ab 2ac 2bc (a b c ) Giải 2 2 a) A( x, y ) x x y y 2016 ( x 1) (3 y 1) 2016 2 Do ( x 1) 0, x (3 y 1) 0, y 2 Nên ( x 1) (3 y 1) 2016 2016, x; y A( x, y ) 2016 ( x 1; y ) Do B( x, y, z ) 1 x x 1 y y x y z xy xz yz b) 2 6 x 1 y x y z 6, x, y, z Do x 0 max B( x, y, z ) 6 y 0 x y z 0 x 1 y 2 z 3 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Dạng phân thức Ví dụ 4: a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 16 x x 19 B x2 x2 x x2 C x 2x c) Tìm giá trị lớn biểu thức Giải 2 a) Do x x 19 ( x 1) 18 18, x 1 16 16 , x A , x 2 ( x 1) 18 18 ( x 1) 18 18 max A x 1 Vậy b) B x 12 12 12 12 1 4 3, x 2 x 3 x 3 x Do x 3 x nên x Vậy B x 0 x x2 x x C 1 x 2x x 2x x 2x c) 1 3 ( x 1) Do x x ( x 1) 1 x nên ( x 1) 2, x ( x 1) Vậy max C 2 x 1 Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Ví dụ 5: x2 x A ( x 1) x x 1 a) Chứng minh giá trị lớn x b) Chứng minh giá trị nhỏ B x2 x ( x 0) x x 2 * Tìm cách giải: + Phương pháp chứng minh max A( x) a (a số) x Chứng minh A( x) a, x có o cho A( xo ) a + Phương pháp chứng minh B( x) b (b số) x Chứng minh B( x ) b, x có o cho B( xo ) b Giải x2 x A x 1 x x 1 a) Ta chứng minh Thật x 1 x2 x x2 x x2 x ( x 1) 0 x2 x 1 x2 2x 1 x2 x 1 ( x 1) 2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy ( x 1) 0 x x2 x B x 0 x2 b) Ta chứng minh Thật x 0 x2 x x2 2x x2 4x ( x 2) 0 x2 x2 2 x2 2x2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy ( x 2) 0 x 2 Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 10( x 2) M x 5 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M b, x (a, b số) Giải x M 10 x 25 x x2 ( x 5) 1, x x 5 Do M x * M 5( x 5) 5( x x 1) ( x 1) 5, x x2 x2 Do max M 5 x 1 Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị Ví dụ 7: Chứng minh định lý: 1) Nếu tổng hai số dương không đổi tích chúng lớn hai số 2) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Áp dụng: a) Tìm giá trị nhỏ T 16 x , x với x b) Cho a 9b 42 với a, b Tìm giá trị lớn tích P ab Giải Gọi số dương a b a b Ta có 0 a 2ab b 0 (a b)2 4ab 1) Nếu a b k khơng đổi Vậy max(a.b) 4ab k ab k2 k2 k a b FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 2) Nếu a.b h khơng đổi ta có (a b) 4h a b 2 h Do min(a b) 2 h a b h Áp dụng: a) T 16 x 16 x 2 x x 4 16 x 16 x 4 ; Ta có với x x số dương có tích x khơng đổi nên tổng chúng nhỏ 16 x x ( x 2)2 64 Phương trình có nghiệm x 10 x Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện Vậy A 4,5 x 2 b) Xét 63P 7a.9b a 9b 42 khơng đổi nên tích chúng lớn hai số a 9b 21 Vậy max P 7 a 3; b Ví dụ 8: Chứng minh tổng số dương với nghịch đảo có giá trị nhỏ Áp dụng: 1 A (a b) a b a) Với a, b tìm giá trị nhỏ 1 1 B 1 a b c a b c b) Với a, b, c tìm giá trị lớn Giải Gọi số dương x Thì số nghịch đảo x FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 1 x 1 x x x 1 x nhỏ x Ta có tích x không đổi nên tổng 1 x 2 x 1 x Vậy 1 a b a b A a b 2 a b b a a) Do b a hai số dương nghịch đảo Theo chứng minh A 2 4 Vậy A 4 a b 1 1 a b b c c a C a b c 3 a b c b a c b a c b) Ta có Theo chứng minh ta có C 3 9 Nên B 1 C 1 Vậy B x y z Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức Ví dụ 9: Cho x y z 6 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y z b) Tìm giá trị lớn biểu thức B xy yz zx c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B Giải 2 2 a) Cách 1: x y z 6 ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) 36 2 2 2 Mặt khác x y 2 xy; y z 2 yz; z x 2 zx Do cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được: x y z 2 xy yz zx x y z x y z 36 10 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share x y z 36 Vậy A 12 x y z 2 Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số 1, 1, x, y, z ta có ( x.1 y.1 z.1) 12 12 12 x y z Hay x y z Từ A 3( x y z ) ( x y z ) 36 12, x, y, z 3 Vậy A 12 x y z 2 b) Theo a) ta có A B 36 A B 3B A B 36 nên B 12 max B 12 x y z 2 c) Ta có A B 36 mà B 12 nên: A B A B B 36 48 min( A B ) 12 x y z 2 Dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 10: 1945 x A 2015 a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức c) Tìm giá trị lớn biểu thức B x x 11 C 4 x 16 (5 x 8)2 Giải a) Ta ln có: x, x 0 1945 x 1945 1945 x 1945 A 2015 2015 Dấu “=” xảy x 0 x 4,5 11 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Do max A 1945 389 x 4,5 2015 403 b) Cách 1: Sử dụng Ta có: a b a b Dấu “=” xảy ab 0 B x x 11 x 11 x (2 x 5) (11 x) 6 Vậy B 6 Dấu “=” xảy (2 x 5)(11 x) 0 Lập bảng xét dấu: x 2,5 5,5 2x - + | 11 2x + | + - Vế trái - + - + (2 x 5)(11 x) 0 2,5 x 5,5 Do B 6 2,5 x 5,5 Cách 2: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x 2,5 5,5 2x 5 2x 2x | 2x x 11 11 2x | 11 2x x 11 * Với x 2, ta có B 16 x (1) * Với 2,5 x 5,5 B 6 (2) * Với x 5,5 ta có B 4 x 16 (3) Từ (1), (2), (3) ta có B 6 2,5 x 5,5 c) Đặt 5x y 12 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share C 4 x 16 (5 x 8) 4 x 16 x ( y y 4) 12 ( y 2) 12 12 Vậy max C 12 y 2 x 2 x 2; x 1, C Bài Tập Vận Dụng Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A( x) 4 x x 15 2 2 b) A( y ) ( y 1) ( y 2) ( y 3) ( y 4) c) A( z ) ( z 2) ( z 2)(z z 4) Hướng dẫn giải – đáp số a) A( x) 4 x 1 11 11, x Vậy A( x) 11 x 2 b) A( y ) 2 y 16 y 2( y 4) 34 34, y Vậy A( y ) 34 y 4 2 c) A( z ) 6 z 12 z 16 6( z 1) 10 10, z Vậy A( z ) 10 z Tìm giá trị lớn biểu thức: a) B( x) 15 x x 2 2 b) B ( y ) ( y 2) 2( y 1) (2 y )(2 y ) B( z ) c) 11z 22 z 33 1 1 1 1 2 10 Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) B( x) 24 ( x x 9) 24 ( x 3) 24, x 13 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Vậy max B( x) 24 x 3 2 b) B ( y ) y y 10 12 2( y 1) 12, y Vậy max B ( y ) 12 y 11 1 1 1 20 ( bạn đọc tự rút gọn) 10 c) Rút gọn 1.3 2.4 9.11 ; ; ; 2.2 3.3 10 10.10 Lưu ý 2 Do B( z ) 20( z z 3) 40 20( z 1) 40, z Vậy max B ( z ) 40 z 1 Dạng đa thức biến bậc lớn hai a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C ( x 3)( x 5)( x x 17) b) Tìm giá trị lớn biểu thức D (1 x )( x 11x 41x 55) 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức E ( x x 18)( x x 2) d) Tìm giá trị lớn biểu thức F 2018 ( x 2014) ( x 2016) Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) C ( x x 15)( x x 17) C y 1 y 1 y 1, y x x 16 y Đặt ta có Vậy b) C y 0 x 0 x 4 D x x 5 x x 11 x x x x 11 14 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share D y 3 y 3 9 y 9, y Đặt x x y ta có x 2 max D 9 y 0 x x 0 ( x 2)(x 4) 0 x 4 Vậy 2 c) E ( x 6)( x 3)( x 2)(x 1) (x x 6)( x x 6) 2 Đặt x x y ta có E ( y 6)( y 6) y 36 35, y Vậy E 35 y 0 x x ( x 5) x 0 x 0; x 4 F 2018 y 1 y 1 x 2015 y d) Đặt a b Áp dụng đẳng thức a 4a 3b 6a 2b 4ab3 b ta có F 2018 2( y y 1) 2016 2( y y ) 2016, y Vậy max F 2016 y 0 x 2015 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai a) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị đó: M ( x, y ) x xy y 12 y 22 b) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn tìm giá trị đó: N ( x, y ) 2006 x y xy x y c) Tìm x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị lớn tìm giá trị đó: P ( x, y, z ) 1 x y z x y z d) Tìm x, y, z, t để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ tìm giá trị đó: Q( x, y, z, t ) ( x y z ) x y 2t xt y 6t 113 15 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share Hướng dẫn giải – đáp số a) M ( x, y ) x y y 10 10, x, y Do M ( x, y ) 10 x 2; y b) Do max N ( x, y ) 2015 x 3; y 2 c) 2 P( x, y, z ) 15 x 1 y z 3 15, x, y, z Do max P( x, y, z ) 15 x 1; y 2; z 3 d) N ( x, y) 2015 x y 1 y 2015, x, y 2 Q( x, y, z, t ) x y z x t y t 100 100, x, y, z, t Do Q( x, y, z , t ) 100 x 3; y 2; z 1; t 3 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R x12 x22 x32 x102 4( x1 x2 x3 x10 ) b) Với n N n Tìm giá trị nhỏ của: S x12 22 x22 32 x32 n xn2 2( x1 x2 x3 nxn ) 2n c) Với n N n Tìm giá trị lớn biểu thức: T 2(50 x1 x2 3x3 nxn ) (12 22 33 n ) ( x12 x22 x32 xn2 ) Hướng dẫn giải – đáp số a) 2 R x1 x2 x3 x10 40 40, xi (i 1; 2; ;10) minR 40 x1 x2 x10 2 16 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share b) Ta có i xi2 2ixi ixi 1 Do 2 S x1 1 x2 1 3x3 1 (nxn 1) n n, xi (i 1; 2; ; n) 1 minS n x1 1; x2 ; x3 ; ; xn n Do c) Ta có xi2 2ixi i xi i (i 1; 2;3; ; n) 2 Do đó: 2 T 100 x1 1 x2 x3 3 xn n 100, xi Do max T 100 x1 1; x2 2; x3 3; ; xn n Dạng phân thức 200 A 16 x x 21 a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức c) Tìm giá trị lớn biểu thức B 50 x 4x E 2015 x y 2( x y ) 2018 2 Hướng dẫn giải – đáp số A a) B 50 50 50 25 x ( x x 4) ( x 2) 2 Vậy B 25 x 2 E 2015 2015 2015 max E x , y 2016 ( x 1) ( y 1) 2016 2016 Vậy b) c) 200 200 10, x (4 x 1) 20 20 Vậy max A 10 x 0, 25 2 x 1 y 1 17 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức b) Tìm giá trị lớn biểu thức D E 5x x x2 x 26 x2 x x 16 F x2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức d) Tìm giá trị lớn biểu thức G x 16 x 38 x2 4x Hướng dẫn giải – đáp số a) D 4( x 2) (x x 1) ( x 1) 4, x x2 x2 Vậy D 4 x 1 5( x 5) 1 E 5 x 5 x 5 b) Do x ta có c) d) x 5 1 26 5 , x max E 5, x 0 x 5 x 5 F 2 2( x 2) 2, x x2 Vậy F 2 x 2 Q 4 6 4 , x max Q 5,5 x 2 ( x 2) 4 a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức f ( x) x x x 1 g ( x) x 12 x 13 2( x 2) x2 4x với x 2 Hướng dẫn giải – đáp số 18 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share x 1; f ( x) a) Với 3( x 1) 3 y ( x 1) x ( x 1) Đặt x 1 1 1 1 3 f ( x) 3 y y y y y , y 4 2 4 Ta có max f ( x ) y hay x 1 Vậy g ( x) b) y y ( y 1) 2 y y ( x 2) x x với x 2 Vậy với g ( x) 2 y 1 hay x 3 Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức a) Chứng minh giá trị nhỏ biểu thức A x x 15 x 3 b) Chứng minh giá trị lớn biểu thức C c) Cho B x2 x x x x 2 y y chứng minh rằng: max C 1 y 1 C 0,5 y Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta chứng minh A 6, x Thật x x 15 6 x x 0 ( x 3) 0 x Dấu “=” xảy x 3 b) Ta chứng minh B 8, x Thật vậy: x, ta có: x2 x x x 8( x x 5) 9( x 2) 8 0 0 x2 4x x2 x ( x 2) Hiển nhiên Dấu “=’ xảy x 2 19 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share C 1 c) Xét 1 y y y ( y 1) 0, y y2 y2 y2 Như C 1, y, dấu “=” xảy y 1 nghĩa max C 1 y 1 1 y y y y 2 C 0, y 2 2 y 2 y y Xét Như C 0,5, y, dấu “=” xảy y nghĩa minC 0,5 y 10 Chứng minh với x Z , biểu thức: a) b) A 30 x có giá trị lớn 30 x 3 B x 26 x có giá trị lớn 24 x 2 975 x C x 1945 có giá trị nhỏ 31 x 1944 c) Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x A Với x Z Xét x mẫu – x số nguyên dương Phân số A có tử mẫu dương, tử 30 không đổi nên A lớn mẫu (4 – x) số nguyên dương nhỏ Do x 1 x 3 Khi A 30 Vậy max A 30 x 3, b) Với x 3 B x 26 ( x 3) 23 23 23 1 1 x x x 3 x 23 23 0 B lớn x lớn Nếu x x 23 23 0 Nếu x x nên x lớn (3 x) nhỏ 20 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share ... 3) 23 23 23 1 1 x x x 3 x 23 23 0 B lớn x lớn Nếu x x 23 23 0 Nếu x x nên x lớn (3 x) nhỏ 20 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups /88 00256290 487 57/?ref=share... giá trị lớn biểu thức Giải 2 a) Do x x 19 ( x 1) 18 18, x 1 16 16 , x A , x 2 ( x 1) 18 18 ( x 1) 18 18 max A x 1 Vậy b) B x 12 12 12 12 1 4 ... 8) 2 Giải a) Ta ln có: x, x 0 1945 x 1945 1945 x 1945 A 2015 2015 Dấu “=” xảy x 0 x 4,5 11 FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm https://www.facebook.com/groups /88 00256290 487 57/?ref=share