Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB, AC lần lượt tại E và F.. Đường cao BD.[r]
(1)DÃY SỐ THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n dãy số sau
a 2, 5, 10, 17, 26, b 6, 14, 24, 36, 50, c 4, 28, 70, 130, 208, d 2, 5, 9, 14, 20, e 3, 6, 10, 15, 21, g 6, 12, 60, 120, 210, Đáp số:
a + n² b n(n + 5) c (3n – 2)(3n + 1) d n(n + 3)/2 e (n + 1)(n + 2)/2 g n(n + 1)(n + 3) Bài 2: Tính
a A = + + + + (n – 1) + n b A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Đáp số:
a n(n + 1)/2 b A = 333300
Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 Hướng dẫn:
A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) A = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + + 99.100 + 99
A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99) A = 333300 + 4950 = 338250
Bài 4: Tính A = 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 97.100 Bài 5: Tính A = + 12 + 24 + 40 + + 19800 Bài 6: Tính A = + + + 10 + 15 + + 4950 Hướng dẫn: nhân
Bài 7: Tính A = + 16 + 30 + 48 + + 19998 Bài 8: Tính A = + + + 14 + + 4949 + 5049 Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Hướng dẫn:
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97)
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100² Hướng dẫn:
A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1) A = + 1.2 + + 2.3 + + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + + + + 99 + 100) A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát: 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100²
Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99² Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – + 99² – 100²
Hướng dẫn:
A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99²
Hướng dẫn:
A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99
A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101
Hướng dẫn:
(2)Hướng dẫn:
A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2) A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + + + + 49 + 50) Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + + 99³ + 100³
Hướng dẫn:
A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1)
A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)
A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + + 98³ + 100³
Bài 19: Tính A = 1³ + 3³ + 5³ + + 99³
Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Tính chất:
Tính chất 1: Nếu a c
b d ad = bc
Tính chất 2: Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau a c a b d c d b
, , ,
b d c d b a c a
Tính chất 3: a c a c a c b d b d b d
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm ba số x, y, z biết x y y; z
3 5 2x – 3y + z = Theo đề ta suy x y z
9 12 20
→ x y z 2x 3y z 2x 3y z 12 20 18 36 20 18 36 20
Do đó: x = 27, y = 36, z = 60 Ví dụ 2: Tìm hai số x, y biết x y
2 xy = 40 Hiển nhiên x ≠
Nhân hai vế x y
2 với x =>
2
x xy 40 Suy x² = 16 nên x = x = –2
+ Với x = ta có y = 10 + Với x = –4 ta có y = –10 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tìm số x, y, z biết a x y z
10 6 21 5x + y – 2z = 28 b
x y y z ;
3 7 2x + 3y – z = 124 c 2x 3y 4z
3 x + y + z = 49 d
x y z
2 3 xyz = 192 e x y z
5 3 x² – y² + z² = 80 Bài 2: Tìm số x, y, z biết
a 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32 b x y z
2
2x + 3y – z = 50 c 2x = 3y = 5z x + y – z = 95 d x y z
2 35 xyz = 810 e y z z x x y
x y z x y z
(3)Bài 3: Tìm x, y biết 2y 4y 6y 18 24 6x
Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ a b c d
b c d a c d a b d a b c Tìm giá trị biểu thức A = a b b c c d d a
c d a d a b b c
Bài 5: Tìm số x; y; z biết
a 3x = 7y = 9z xy + yz + zx = 399 b
3 3
x y z
8 64 216 x² + y² + z² = 14 c 2x 3y 2x 3y
5 6x
d 4x = 3y = 5z x² + (2y – 3z)² = 836
Bài 6: Tìm số a, b, c biết 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 7: Tìm x, y, z thỏa mãn
a x : y : z = : : 3x² + 2y² – 5z² = –594 b x + y = x : y = 3(x – y)
Bài Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng Bài 9: Cho a b c
b c c a ab Biết a + b + c ≠ Tìm giá trị tỉ số
Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, trường THCS tỉ lệ với 9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a c
b d Chứng minh
2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d
Ta có a c a b 2a 3b 2a 3b 2a 3b b d c d 2c 3d 2c 3d 2c 3d
Vậy 2a 3b 2c 3d 2a 3b 2c 3d
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c
b d Chứng minh
2
2
ab a b cd c d
Từ giả thiết:
2 2
2 2
a c a b ab a b a b b d c d cb c d c d Vậy 2 2
ab a b cd c d
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho a c
b d Chứng minh tỉ lệ thức a 3a 5b 3c 5d
3a 5b 3c 5d
b
2 2
2 2
(a b) a b (c d) c d
c
2a 5b 2c 5d 3a 4b 3c 4d
d
2
2
7a 5ac 7b 5bd 7a 5ac 7b 5bd
Bài 2: Cho a b c
b c d Chứng minh
3
a b c a
( )
b c d d
Bài 3: Cho a b c
2016 2017 2018 Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)² Bài 4: Cho 2017
2 2018
a a
a a
a a a a Chứng minh
2017
1 2017
1
2018 2018
a a a a a
( )
a a a a a
Bài 5: Cho
2
a a a a
a a a a a1 + a2 + + a9 ≠ Chứng minh a1 = a2 = = a9 Bài 6: Chứng minh ac = b²
2
2
a b a b c c
(4)Bài 7: Chứng minh a b c a a b c a
a² = bc Bài 8: Cho tỉ lệ thức 3a 4b 3c 4d
5a 6b 5c 6d
Chứng minh ad = bc Bài 9: Chứng minh a b c d
a b c d
ad = bc
Bài 10: Cho bc(y + z) = ca(z + x) = ab(x + y) a, b, c đơi khác khác Chứng minh y z z x x y
c b a c b a
Bài 11: Cho ad = bc Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ zc + td ≠ Chứng minh xa yb xc yd za tb zc td
Bài 12: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn b² = ac; c² = bd b³ + c³ + d³ ≠ Chứng minh
3 3
3 3
a b c a b c d d
Bài 13: Cho a b ' b c '
a ' b b ' c = Chứng minh abc + a’b’c’ = Bài 14: Cho Cho dãy tỉ số bz cy cx az ay bx
a b c
Chứng minh x y z a b c Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nếu a ≥ → |a| = a
Nếu a < → |a| = –a
Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; x ≤ a => |x – a| = a – x * Tính chất: Giá trị tuyệt đối số không âm |a| = <=> a = |a| ≠ <=> a ≠ |a| = |b| <=> a = b or a = –b –|a| ≤ a ≤ |a| |a| = –a <=> a ≤ 0; |a| = a <=> a ≥
Nếu a < b < → |a| > |b| Nếu < a < b → |a| < |b| |ab| = |a||b| |a/b| = |a|/|b|
|A|² = A² |a| + |b| ≥ |a + b| |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ Nếu k > |A(x)| = k <=> A(x) = k A(x) = –k
Bài 1: Tìm x, biết
a |2x – 5| – = b 1/3 – |5/4 – 2x| = 1/4 c 1/2 – |x + 4/3| = –1/3 d – 4|2x + 1| = Bài 2: Tìm x, biết
a 2|2x – 3| = 1/2 b 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5 c |x + 0,25| – |–3,75| = –2 Bài 3: Tìm x, biết
a 2|3x – 1| + = b |x/2 – 1| = 3/2 c |–x + 2/5| + 1/2 = 3,5 Bài 4: Tìm x, biết
a – |1,5.x – 0,25| = |–1,25| b 3/2 + |2x – 3/4| = 7/4 c 4/3 – 2|x + 5/4| = 5/6 Bài 5: Tìm x, biết
a 6,5 –
4 : |x + 1| = b 11/4 + |(3/2) : 4x – 1/5| = 7/2 Bài 6: Tìm x, biết
a |5x – 4| = |x + 2| b |2x – 3| – |3x + 2| = c |2 + 3x| = |4x – 3| d |7x + 1| – |5x + 6| = Bài 7: Tìm x, biết |3x + 8| = |4x – 1|
Bài 8: Tìm x, biết
a |x + 2| = – 2x b 2|x| – 3x + 15 = c |7 – x| = 5x + Bài 9: Tìm x, biết
a |9 + x| – 2x = b |5x| – 3x – = c |x + 6| – = 2x d |2x – 3| + x = 21 Bài 10: Tìm x, biết
a |3x – 1| + = x b |x + 15| + = 3x c |2x – 5| + x = Bài 11: Tìm x, biết
(5)a |x – 5| + = x b |x + 7| – x = c |3x – 4| + = 3x Ví dụ: Tìm x biết |x – 1| + |x – 3| = 2x – (1)
Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ tìm x
x – = <=> x = x – = <=> x =
Ta có bảng xét dấu đa thức x – x –
x
x – – + | + x – – | – + Xét x < ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x –
<=> x = 5/4 (giá trị không thuộc khoảng xét)
Xét ≤ x ≤ ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – <=> x = 3/2 (giá trị thuộc khoảng xét) Xét x > ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x –
<=> –4 = –1 Vậy x = 3/2
Bài 13: Tìm x, biết
a |x| + 2|x – 5| = b 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = Bài 14: Tìm x, biết
a |x + 5| + |x – 3| = b |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = c |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = d 2|x + 2| + |4 – x| = 11
Bài 15: Tìm x, biết
a |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = b |x + 1| – |x + 2| – = c |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = d |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = e |x| – |2x + 3| – x + = f |x| + |1 – x| = x + |x – 3| Bài 16: Tìm x, biết
a |x – 3| + |x + 5| – = b |2x – 1| + |2x – 5| – = c |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = Bài 17: Tìm x, biết
a |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – b |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x
c |x + 2| + |x + 3/5| + |x + 2/5| = 4x – d |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5 Bài 18: Tìm x, biết
a |x + 1/101| + |x + 2/101| + |x + 3/101| + |x + 4/101| + + |x + 100/101| = 101x b |x + 1/2| + |x + 1/6| + |x + 1/12| + |x + 1/20| + + |x + 1/9900| = 100x
c | x | | x | | x | | x |
1.3 3.5 5.7 97.99
= 50x Bài 19: Tìm x, biết
a ||2x – 1| + 1/2| = b |4x² + |2x + 1|| = 4x² + c |x²|x + 3/4|| = x² Bài 20: Tìm x, biết
a |2|2x – 1| – 1| – 2/5 = b |2|x + 2| – 3| = 8/5 c |x|x² + 3/4|| = x Bài 21: Tìm x, biết
a |x(x² – 3/4)| = x b |(x + 1/2)|2x – 3/4|| = 2x – 3/4 c ||x – 1/2||2x – 3/4|| = 2x – 3/4 Bài 22: Tìm x, biết
a ||2x – 3| – x + 1| = 4x – b ||x – 1| – 1| = c ||3x + 1| – 5| = Bài 23: Tìm x, y thỏa mãn
a |3x – 4| + |3y + 5| = b |x – 2y| + |y + 1,5| = c |3 – 2x| + |4y + 5| = Bài 24: Tìm x, y thỏa mãn
a |15 – x| + (y – 12)² = b |2/3 + 5x/3| + |1,5 + 5y/6| = c |2x – 2014| + |5y – 2015| = Bài 25: Tìm x, y thỏa mãn
a |5x + 10| + |6y – 9| ≤ b |x + 2y| + |2y – 3| ≤ c |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ Bài 26: Tìm x, y thỏa mãn
a |12x + 8| + |11y – 5| ≤ b |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ c |x – 2| + |xy – 10| ≤ Bài 27: Tìm x, y thỏa mãn
a |x – 3y|11 + (y + 4)12 = b (x + y)2016 + 2017|y – 1|³ = c |x – y – 5| + 2015(y – 3)2016 = Bài 28: Tìm x, y thỏa mãn
(6)a 3|x – y|5 + 10|y + 2|7 ≤ b 2016 12
(x )
2 13
|4y – 6/5| ≤ Bài 30: Tìm x, biết
a |x + 5| + |3 – x| – = b |x – 2| + |x – 5| – = c |x – 5| + |x + 1| – = d 2|x + 3| + |2x + 5| = 11 e |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = g |x – 4| + |x – 6| – = h |x + 1| + |x + 5| – = i |3x + 7| + 3|2 – x| = 13
j |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = k |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = ℓ |x – 2| + |x – 7| – = Bài 31: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a |x – y – 2| + |y + 3| = b (x + y)² + 2|y – 1| = Bài 32: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a |x – 3y|5 + |y + 4| = b |x – y – 5| + (y – 3)4 = c |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = Bài 33: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a |x + 4| + |y – 2| – = b |2x + 1| + |y – 1| – = c |3x| + |y + 5| = d |5x| + |2y + 3| = Bài 34: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a 3|x – 5| + |y + 4| – = b |x + 6| + 4|2y – 1| = 12 c 6|x| + |y + 3| = 10 d 12|x + 1| + |2y + 3| = 21 Bài 35: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a y² = – |2x – 3| b y² = – |x – 1| c 2y² = – |x + 4| d 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1| Bài 36: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a |x| + |y| ≤ b |x + 5| + |y – 2| ≤ c |2x + 1| + |y – 4| – ≤ d |3x| + |y + 5| ≤ Bài 37: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a 5|x + 1| + |y – 2| – ≤ b 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ c 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ d 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤
Bài 38: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a |x – 1| + |4 – x| = b |x + 2| + |x – 3| = c |x + 1| + |x – 6| = d |2x + 5| + |2x – 3| = Bài 39: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện sau
a x + y = 4; |x + 2| + |y| = b x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = c x – y = 3; |x| + |y| = d x – 2y = |x| + |2y – 1| = Bài 40: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời
a x + y = |x + 1| + |y – 2| = b x – y = |x – 6| + |y – 1| = c x – y = |2x + 1| + |2y + 1| – = d 2x + y = |2x + 3| + |y + 2| – = Bài 41: Tìm số nguyên x thỏa mãn
a (x + 2)(x – 3) < b 3(2x – 1)(2x – 3) < c 4(3x + 1)(5 – 2x) > Bài 42: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a (2 – x)(x + 1) = |y + 1| b (x + 3)(1 – x) – 2|y| = c (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – = Bài 43: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a (x + 1)(3 – x) = 2|y| + b (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = c (x – 3)(5 – x) = |y + 2| Bài 44: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn
a |x + 2| + |x – 1| = – 2(y + 2)² b |3x + y + 2| + = 302 (y 5) 6 c |y – 4| + = 102
(x 1) 2 d |x – 1| + |3 – x| = | 2y | 3 e |2x + 3| + |2x – 1| = 32
(y 5) 2 g |3x + 1| + |3x – 5| = 12 (y 3) 2 h (x + 1)² + |y – 2| + =
| y 1| | y | i (x – 2)² + =
20
3 | y | | 3y 1| Bài 45: Tính giá trị biểu thức
a A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25 c C = 3x² – 2x + với |x| = 1/2
Bài 46: Tính giá trị biểu thức
a A = 6x³ – 3x² + 2|x| + với x = –2/3 b B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3 c C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x =
(7)a A = 0,5 – |x – 3,5| b B = –|1,4 – x| – c C = | x | | x | d D = | x |
3 | x |
e E = – |2x – 1,5| g G = 10 – |5x – 2| – (3y + 12)² h H = 12
| x2 | 4 i I = | x 2 | Bài 48: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a A = 1,7 + |3,4 – x| b B = |x + 2,8| – 3,5 c C = |3x + 8,4| – 14,2 d D = |4x – 3| + |5y + 7| + e E = 2(3x – 1)² –
Bài 49: Tìm giá trị lớn biểu thức
a A = 15 | 3x |
b B =
4 24
5| x 1| | y | 15 c C =
2 21
3(x 3y) 5 | x | 14 Bài 50: Tìm giá trị lớn biểu thức
a A = | x | 11 | x |
b B =
| y | 13 | y |
c C =
15 | x 1| 32 | x 1|
Bài 51: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a A = |x + 5| + – x b B = |2x – 1| + 2x + c C = |4x + 3| + 4x – d D = 2|x – 3| + 2x + e E = 5|x – 1| + – 5x f F = 4|x + 5| + 4x Bài 52: Tìm giá trị lớn biểu thức
a A = –|x – 5| + x + 12 b B = –|2x + 3| + 2x + c C = –|3x – 1| + – 3x d D = –2|x – 5| + 2x + e E = –3|x – 4| + – 3x f F = –5|5 – x| + 5x + Bài 53: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a A = |x + 1| + |x – 5| + b B = |x – 2| + |x – 6| + c C = |2x – 4| + |2x + 1| d D = |x + 2| + |x – 3| – e E = |2x – 4| + |2x + 5| d F = 3|x – 2| + |3x + 1| Bài 54: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7| b B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + c C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3| d D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + Bài 55: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = |x + 1| + |y – 2| Bài 56: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1|
Bài 57: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y| Bài 58: Cho 2x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12
DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tính tổng S = + – – + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012 Bài 2: Cho biểu thức A = – + – + + 99 – 100
a Tính A
b A có chia hết cho 2, cho 3, cho không? Bài 3: Cho A = – + 13 – 19 + 25 – 31 + a Biết A = 181 Hỏi A có số hạng? b Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n Bài 4: Cho A = – + 13 – 19 + 25 – 31 + a Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b Tìm số hạng thứ 2012 A
Bài 5: Tìm giá trị x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + + (x + 47) = 655 Bài 6: Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2017) = 2017.2018 Bài 7: Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2017 2018
Bài 8: Cho A = + + 3² + 3³ + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n Bài 9: Cho A = + 3² + 3³ + + 32016
a Tính A
b Chứng minh A chia hết cho 130
c A có phải số phương khơng? Vì sao?
(8)Bài 13: Cho S = + 5² + 5³ + + 596 a Chứng minh S chia hết cho 126 b Tìm chữ số tận tổng S
Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 B = 31.32.33 59.60
a Chứng minh B chia hết cho 230 b Chứng minh B – A chia hết cho 61 Bài 15: Cho A = + + 2² + 2³ + + 22015 B = 22016 So sánh A B
Bài 16: Cho M = + 3² + 3³ + + 3100 a M có chia hết cho 4, cho 12 khơng? Vì sao? b Tìm số tự nhiên n biết 2M + = 3ⁿ
Bài 17: Cho biểu thức: M = + + 3² + 3³ + + 3119 a Thu gọn biểu thức M
b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 khơng? Vì sao? Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 1 2015
3 6 10 n(n 1) 2016 Bài 19: Tính S = 3
1.44.77.10 n(n 3) với n số tự nhiên Chứng minh S < Bài 20: So sánh A = 2
60.6363.66 117.120 B =
5 5
40.4444.48 76.80 Bài 21: Tính
a A = 1 1 1
104088154238340 b B =
1 1
1.2.32.3.4 98.99.100 Bài 22: So sánh A = 1 12 13 1100
2 2
B =
Bài 23: Tính A = + 3 2 1 3 1 4 1 100 Bài 24: Tính giá trị biểu thức A =
1 1
1
3 99
1 1
1.99 3.97 5.95 99.1
Bài 25: Tính B =
1 1
2 100
99 98 97
1 99
Bài 26: Chứng minh 100 – (1 1 ) 99 100 100
Bài 27: Tính B/A biết A = 1
2 3 200 B =
1 198 199
199198197 Bài 28: Tìm tích 98 số dãy số ;1 ;11 1 ;1 ;1 ;
3 15 24 35 Bài 29: Tính tổng 100 số hạng dãy số 1; ; ; ;
6 66 176 336
Bài 30: Tính A =
1 1 1
1.2 3.4 5.6 17.18 19.20
1 1 1
11 12 13 19 20
Bài 31: Tìm x, biết ( 1 )x 1 1.1012.102 10.110 1.112.12 100.110 Bài 32: Tính
(9)Bài 33: Cho A = + + 4² + 4³ + + 499, B = 4100 Chứng minh 3A < B Bài 34: Tính giá trị biểu thức:
a A = + 99 + 999 + + 999 b B = + 99 + 999 + + 999 (50 chữ số) (200 chữ số) Bài 35: Tính |x| biết
a 1 1
1.33.5 47.49 x b
1 1 x
1.44.7 97.100 c 4 2x
1.5 5.9 97.101 101
d (1 1)(1 1)(1 1) (1 ) x 21
2 100
g 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 = 11x –
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI Bài 1: Viết số thập phân dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bài 2: Tính
a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)
Bài 3: Tính tổng chữ số chu kỳ tối thiểu biểu diễn số 116/99 dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn
Bài 4: Tính tổng tử mẫu phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12) Bài 5: Rút gọn biểu thức M = 0,5 0, (3) 0,1(6)
2,5 1, (6) 0,8(3)
Bài 6: Tìm x biết
a 0,1(6) 0, (3)x 0, (2) 0, (3) 1,1(6)
b
3
0, (3) 0, (384615) x
50 13
0, 0(3) 85
c [0,(37) + 0,(62)]x = 10 d 0,(12) : 1,(6) = x : 0,(4)
Bài 7: Cho biểu thức A =
3
m 3m 2m m(m 1)(m 2)
(m số tự nhiên) a Chứng minh A phân số tối giản
b Phân số A có biểu diễn thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn? sao? Bài 8: Chứng minh với a, b > a b a b
Bài 9: Tìm x biết
a (x – 3)² = |3 – x| b (x – 1)² + |2 – 2x| = Bài 10: Tìm x biết
a x = x b 16(x – 1)² =
Bài 11: Cho A = x
x
Tìm x để A =
Bài 12: Tìm số nguyên x để biểu thức sau có giá trị số nguyên
a A =
x b B =
x 13 x
c D =
2 x
x
Bài 13: Cho A = x
2 x
Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên
Bài 14: Chứng minh x, y số hữu tỉ x + y x – y số hữu tỉ Bài 15: Tính A = 1(1 2) 1(1 3) (1 16)
2 16
Bài 16: Tìm x biết
a 0,8(72) – 0,56(81).x = 0,5(09) b 0,8(3) + 0,20(45) : x = 0,(15) Bài 17: So sánh A = (1 1)(1 1)(1 1) (1 1)
2 3 4 10 B = –0,(1) Bài 18: Cho A = (1 1)(1 1)(1 1) ( 1)
(10)Bài 19: So sánh A = .119
2 120 B = 0,(09) Bài 20: Tìm x, biết
a (x + 3)² = –|x + 3| b |x² – 3x| + |(x + 1)(x – 3)| = Bài 21 Tìm số nguyên x cho
a |2x – 5| < b |10x + 7| < 37 c |4x + 3| + 4|x – 1| < Bài 22 Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
a 2|x| + 3|y| = b 2|x| + 3|y| < c 4x² + 5|y| = 13 Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC
Bài Cho ΔABC có AC > AB Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC Chứng minh góc ADC – ADB = B – C Bài Cho ΔABC có góc A = 60° Vẽ tia phân giác BD CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt O a Tính góc BOC b Vẽ phân giác B C cắt I Tính góc BIC
Bài Tính góc tam giác ABC Biết góc A – B = B – C = 20°
Bài Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60° Hai tia phân giác góc B C cắt I Vẽ tia phân giác đỉnh B cắt tia CI D Chứng minh góc BDC = góc ACB
Bài Cho tam giác ABC có góc A gấp lần góc B góc B gấp lần góc C a Tính góc A; B; C
b Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc ngồi C Tính góc AEC Bài Cho ΔABC có góc A; B; C tỷ lệ với 3; 2; Hỏi ΔABC tam giác nào?
Bài Cho tam giác ABC có chu vi 21 cm Độ dài canh số lẻ liên tiếp AB < BC < CA Tìm độ dài cạnh tam giác ABC
Bài Cho tam giác ABC tia phân giác góc B, góc C cắt O Kẻ OE, OF, OG thứ tự vng góc với AC, AB, BC
a Chứng minh OE = OF = OG b Tia AO cắt BC D Chứng minh góc BOD = COG
Bài Cho tam giác ABC Biết AB = cm, BC = cm CA = cm Gọi đường thẳng qua A song song với BC a Đường qua B song song với CA b đường thẳng qua C song song vơi AB c Gọi M, N, P theo thứ tự giao điểm đường thẳng b c; a c; a b Tìm độ dài cạnh tam giác MNP Bài 10 Gọi M trung điểm cạnh BC tam giác ABC, kẻ BH vng góc với AM CK vng góc với AM Chứng minh
a BH // CK b M trung điểm HK c HC // BK
Bài 11 Cho tam giác LMN có góc nhọn Người ta vẽ phía ngồi tam giác ba tam giác LMA; MNB NLC Chứng minh LB = MC = NA
Bài 12 Cho tam giác ABC có góc A = 90°; góc B = 60° Phân giác góc B phân giác góc C cắt I AI cắt BC M
a Chứng minh góc BIC góc tù b Tính góc BIC
Bài 13 Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20° Tia phân giác góc A cắt BC D Tính số đo góc ADC góc ADB
Bài 14 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB (D C khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc AC (E B khác phía AC) Chứng minh
a DC = BE b DC vng góc với BE
Bài 15 Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AE = AK Bài 16 Cho tam giác ABC với K trung điểm AB E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A trung điểm MN
Bài 17 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông A ΔADB; ΔACE Kẻ AH vng góc BC; DM vng góc AH EN vng góc AH Chứng minh
a DM = AH b MN qua trung điểm DE
Bài 18 Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm AB E trung điểm AC Vẽ điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh
a DB = CF b ΔDBC = ΔFCD c 2DE = BC
Bài 19 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D; E cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC
(11)Bài 21 Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh góc BKC = (góc BAC + góc BDC)/2
Bài 22 Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vng góc AB lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vng góc AC lấy AE = AC Chứng minh
a AM = ED / b AM vng góc với DE
Bài 23 Miền góc nhọn xƠy vẽ Oz cho góc xOz = (1/2)yÔz Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vng góc Ox cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD = OA Chứng minh tam giác AOD cân
Bài 24 Cho góc xƠz = 120° Oy tia phân giác xÔz; Ot tia phân giác góc xƠy M điểm miền góc yOz Vẽ MA, MB, MC vng góc với Ox, Oy, Ot Chứng minh OC = MA – MB
Bài 25 Cho tam giác cân ABC có Â = 100° Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD Bài 26 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BD, CE Trên tia đối BD lấy điểm I Trên tia đối CE lấy điểm K cho BI = AC, CK = AB Chứng minh ΔAIK vuông cân
Bài 27 Cho góc xƠy = 90° Lấy điểm A Ox điểm B Oy Lấy điểm E tia đối Ox điểm F tia Oy cho OE = OB OF = OA
a Chứng minh AB = EF AB vuông góc với EF
b Gọi M, N trung điểm AB, EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân
Bài 28 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm M N cho AM = CN Gọi O giao điểm CM BN Chứng ninh
a CM = BN b Số đo góc BOC khơng thay đổi
Bài 29 Cho tam giác ABC vuông A góc C = 45° Vẽ phân giác AD Trên tia đối AD lấy AE = BC Trên tia đối CA lấy CF = AB Chứng minh
a BE = CF b BE = BF
Bài 30 Cho tam giác ABC có BC = 2AB M trung điểm BC; D trung điểm BM Chứng minh AC = 2AD Bài 31 Cho tam giác ABC vuông A góc B = 60° Vẽ tia Cx vng góc với BC lấy CE = CA (CE CA phía với BC) Kéo dài CB lấy F cho BF = BA Chứng minh
a ΔACE b Ba điểm E, A, F thẳng hàng
Bài 32 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B C cắt O Qua O kẻ đường song song BC, cắt AB D cắt AC E Chứng minh
a Góc BOC khơng đổi b DE = DB + EC
Bài 33 Cho tam giác ABC có góc B = góc C Kẻ AH vng góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh: FH = FA = FC
Bài 34 Cho tam giác ABC có góc A = 90° Ở miền ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân ABD B, ACF C
a Chứng minh D, A, F thẳng hàng
b Từ D F kẻ đường DD’, FF’ vng góc xuống BC Chứng minh DD’ + FF’ = BC
Bài 35 Cho ΔABC có góc BAC = 120° Kẻ AD phân giác góc A Từ D hạ DE vng góc với AB E; DF vng góc với AC F
a Tam giác DEF tam giác gì?
b Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB M, ACM tam giác gì?
Bài 36 Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia phân giác H cắt AB, AC E F Chứng minh
a BE = CF b 2AE = AB + AC 2BE = AB – AC c góc BME =
2(góc ACB – góc ABC) Bài 37 Cho tam giác nhọn ABC có góc  = 60° Đường cao BD Gọi M, N trung điểm AB; AC a Xác định dạng tam giác BMD tam giác AMD
b Trên tia AB lấy điểm E cho AE = AN Chứng minh CE vng góc AB
Bài 38 Cho ΔABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M, N cho BM = BA; CN = CA Tính số đo góc MAN
Bài 49 Cho tam giác ABC đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tam giác ABM tam giác
Gợi ý: a Vẽ MI vuông góc AC
Bài 40 Cho ΔABC có góc B = 75°, C = 60° Kéo dài BC thêm đoạn CD cho CD = (1/2)BC Tính góc ADB
(12)Bài 41 Cho tam giác ABC có AB = 24 cm; BC = 40 cm AC = 32 cm Trên cạnh AC lấy M cho AM = cm Chứng minh
a Tam giác ABC vng b góc AMB = góc ACB
Bài 42 Cho tam giác ABC có AB = 25 cm; AC = 26 cm Đường cao AH = 24 cm Tính BC hai trường hợp góc B góc nhọn góc B góc tù
Bài 43 Độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông tỷ lệ 15 Cạnh huyền 51 cm Tính độ dài cạnh góc vng
Bài 44 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E cho HE = AD Đường vuông góc AH D cắt AC F Chứng minh EB vng góc EF
Bài 45 Một tre cao m Bị gãy ngang thân Ngọn chạm đất cách gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?
Bài 46 Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(5; 4); B(2; 3) C(6; 1) Tính góc ΔABC Bài 47 Cho tam giác ABC Trung tuyến AM phân giác
a Chứng minh tam giác ABC cân b Cho biết AB = 37 cm; AM = 35 cm Tính độ dài BC Bài 48 Cho tam giác ABC có ba đường cao
a Chứng minh tam giác
b Cho biết đường cao có độ dài Tính độ dài cạnh tam giác
Bài 49 Cho tam giác ABC cân A A = 80° Gọi O điểm nằm tam gốc cho góc OBC = 30°; góc OCB = 10° Chứng minh tam giác COA cân
Gợi ý: Vẽ thêm tam giác BCM cho M, A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC
Bài 50 Cho tam giác ABC cân A góc A = 100° Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho góc CBO = 30° Tính góc CAO
Gợi ý: Vẽ tam giác BCM cho M, A nửa mặt phẳng bờ BC
Bài 51 Cho tam giác cân ABC có AB = AC Kẻ đường vng góc AB B vng góc AC C Hai đường cắt D
a Chứng minh AD phân giác góc A b Hãy so sánh AD CD
Bài 52 Cho tam giác cân ABC có AB = AC D điểm thuộc AB E môt điểm thuộc AC cho AD = AE Từ D E hạ đường vng góc với BC Chứng minh BM = CN
Bài 53 Cho góc xÔy Ox lấy điểm A Trên Oy lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Từ A, B hạ đường thẳng AE; BF vng góc với tia OM Chứng minh AE = BF
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1: Cho x – y = 9, tính giá trị biểu thức B = 4x 4y 3x y 3y x
(x ≠ –3y; y ≠ –3x) Bài 2: Tính giá trị biểu thức A =
2 2 4 8
16 16
x (x 2y)(x 2y)(x 2y )(x 2y )
x 2y
với x = 4; y = Bài 3: Tìm giá trị biến để
a A = (x + 1)(y² – 6) có giá trị b B = x² – 12x + có giá trị
Bài 4: Tính giá trị biểu thức A =
2
2
5x 3y
10x 3y
biết 5x = 3y
Bài 5: Cho x, y, z ≠ x = y + z Tính giá trị biểu thức B = (1 z)(1 x)(1 y)
x y z
Bài 6: Cho biểu thức E = x x
Tìm giá trị nguyên x để E có a giá trị nguyên b giá trị nhỏ
Bài 7: Cho f(x) = ax + b a, b số ngun Chứng minh khơng thể đồng thời có f(17) = 71 f(12) = 35
Bài 8: Cho f(x) = ax² + bx + c Chứng minh số nguyên a, b, c làm cho f(x) = x = 1998 f(x) = x = 2000
(13)a x 3 y x b (x – 2) 25n25 + y – = (n số tự nhiên) Bài 12: Tìm x, y số nguyên cho
a y = x x
b y = 2x
x Bài 13: Cộng trừ đơn thức
a 3a²b + (–a²b) + 2a²b – (–6a²b) b (–7y²) + (–y²) – (–8y²) c (–4,2p²) + (–0,3p²) + 0,5p² + 3p² d 5an + (–2an) + 6an
Bài 14: Cho đơn thức A = x²y B = xy² Chứng tỏ x, y nguyên x + y chia hết cho 13 A + B chia hết cho 13
Bài 15: Cho biểu thức P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1 (n số tự nhiên) Với giá trị a P >
Bài 16: Cho biểu thức Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk (k số tự nhiên) Với giá trị x k Q <
Bài 17: Tìm x biết: xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = (n số nguyên dương) Bài 18: Rút gọn biểu thức
a 2n+3 + 2n+2 – 2n+1 + 2n b 90.10k – 10k+2 + 10k+1 c 2,5.5n–3.10 + 5n – 6.5n–1
Bài 19: Cho biểu thức M = 3a²x² + 4b²x² – 2a²x² – 3b²x² + 19 (a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm giá trị nhỏ M Bài 20: Cho A = 8x5y³; B = –2x6y³; C = –6x7y³ Chứng minh rằng: Ax² + Bx + C =
Bài 21: Chứng minh với n nguyên dương a 8.2n + 2n+1 có tận
b 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 c 4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300
Bài 22: Cho A = (– 3x5y³)4 B = (2x²z4)5 Tìm x, y, z biết A + B = Bài 23: Rút gọn
a M + N – P với M = 2a² – 3a + 1, N = 5a² + a, P = a² –
b 2y – x – {2x – y – [y + 3x – (5y – x)]} với x = a² + 2ab + b², y = a² – 2ab + b² Bài 24: Tìm x, biết (0,4x – 2) – (1,5x + 1) + (4x + 0,8) = 3,6
Bài 25: Tìm số tự nhiên abc (a > b > c) cho abc bca cab = 666
Bài 26: Có số tự nhiên abc mà tổng abc bca cab số phương khơng? Bài 27: Tìm x, biết
a x + 2x + 3x + 4x + … + 100x = –213 b 3|x – 2| + |4x – 8| = c x x x x x 10 x 11
7 10 11 12
d x 32 x 23 x 38 x 27
11 12 13 14
=