004 đề hsg toán 8 thường xuân 22 23

UBND HUYỆN THƯỜNG XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (4,0 điểm) 2x  x  x 1    x 2, x 3 x  5x  x   x Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A Tìm x   để A có giá trị ngun A Tìm x để A Câu 2: (4,0 điểm) x 3x   0 Giải phương trình x  x  x  x   x  y  z   1 1 4  2 2 2 x y z xyz  1 1    0 x , y , z Cho ba số khác thoả mãn:  x y z Tính giá trị biểu thức Bài 3: (4,0 điểm) P  x 2019  y 2019   y 2019  z 2019   z 2019  x 2019  Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x  0 P x ax  bx  c P x Cho đa thức   thoả mãn điều kiện với số nguyên x   số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b số chẵn Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM Chứng minh: OEM vuông cân Chứng minh: ME // BN CH  BN  H  BN  Từ C kẻ Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 3a  b 3b  c 3c  a     9  a  ab b  bc c  ca   a  b  c   = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (4,0 điểm) 2x  x  2x 1    x 2, x 3 x  5x  x   x Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A Tìm x   để A có giá trị nguyên A Tìm x để A Lời giải A  2x  x  x 1    x 2, x 3 x  5x  x   x  x  3  x  3   x  1  x   2x    x    x  3  x    x    x    x   x   x   x  3x    x    x  3  x    x 1  x  x2  x     x    x  3  x    x  3 x  x 1  Với x   để A  x    x  1  x  3   x     x    4 x     x  3  U    1;  1; 2;  2; 4;  4  x   4; 2;5;1;7;  1 x   4;5;1;7;  1 Kết hợp với điều kiện ta có: x   4;5;1;7;  1 Vậy A  x 1 A  x  3 Để  x 1 2x   x  x 5  0 0 0 x 2  x  3  x  3 x 5 0  x  3 Vì x   x  nên để   x   A x  2 Vậy  x     x    x    5 x3  x  Câu 2: (4,0 điểm) x 3x   0 Giải phương trình x  x  x  x   x  y  z   1 1 4  2 2 2 y z xyz x 1 1    0 x , y , z Cho ba số khác thoả mãn:  x y z Tính giá trị biểu thức P  x 2019  y 2019   y 2019  z 2019   z 2019  x 2019  Lời giải   x  x  0   x  x  0 Đkxđ:  Ta có x 0 khơng nhiệm phương trình x  1 x Do x 0 Chia tử mẫu cho x ta được: x   t  t 0  x Đặt  x 5 x 2  1  2  t   3t 2t  8t 1  Khi trở thành t t   2t  6t  0   t  1  t   0   x  1  t 1     t 2  x    Với x  1 1 x 2 x 1  x  x  0  x  x   0 x   x  1 3  x    x 1   TM  Với x  1 17 2  x  x  0  x  x   0 x 4  17 17  17    x     x    x  TM  2 2   17  17   S 1  3;1  3; ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình Ta có: 1 1 1 2 x  y  z 4     2 2 2 x y z xyz x y z xyz 1 2 1 1           x y z xy yz xz  x y z  1 1 1   0   2 x y z x y z Mà nên 1 1      yz  xz  xy   x  y  z  xyz Suy x y z x  y  z  xyz  x z  x y  y z  xyz  y x  z y  z x  xyz  xyz  x y  x z  y x  y z  z y  z x  xyz 0   x  y   x  z   y  z  0  x  y   y  z   z  x  x 2019  y 2019  x 2019  y 2019 0  2019   z 2019   y 2019  z 2019 0 y  z 2019  x 2019  z 2019  x 2019 0    P  x 2019  y 2019   y 2019  z 2019   z 2019  x 2019  0 Bài 3: (4,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x  0 P x ax  bx  c P x Cho đa thức   thoả mãn điều kiện với số nguyên x   số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b số chẵn Lời giải x  xy  y  x  0  x  xy  12 y  20 x  28 0   x  x    xy  12 y    14 x  21  0  x  x  3  y  x     x    0   x  3  x  y    Vì x; y   số nguyên tố nên ta có trường hợp: 2 x    x 1    y  TH1: 2 x  y  7 2 x  1  x 2    y 1 TH2: 2 x  y   2 x    x    TH3: 2 x  y  1  y  2 x  7  x 5   TH4: 2 x  y    y 4 x; y   1;  3 ,  2;1 ,   2;   ,  5;  Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  P c Ta có:   P c  x  x   Vì   số phương nên c   Đặt P a  b  c; P   1 a  b  c Ta có:   Suy a  b; a  b   2a     2b   Đặt  2a  y  y; z    2b  z Ta có P   16a  4b  c k  k   Lại có k 8 y  z  x   k  x   k  x  2  y  z   k  x   k  x  2 y  z  2 Nếu k ; x khơng tính chẵn lẻ (vơ lí  )   k  x   k  x  4   y  z  2  z 2 Do k ; x tính chẵn lẻ  b    a   (vì a  b   ) Lại có P   4a  2b  c Đặt P   t Ta có t  x 2  2a  b    t  x   t  x  2  2a  b  2 t  x   t  x  2 Nếu t ; x khơng tính chẵn lẻ  (vơ lí)   t  x   t  x  4   2a  b  2  b 2 Nếu t ; x tính chẵn lẻ a , b , c Vậy số nguyên b số chẵn Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM Chứng minh: OEM vuông cân Chứng minh: ME // BN CH  BN  H  BN  Từ C kẻ Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Lời giải  AB BC  Vì  EB CM nên AE BM Xét OAE OBM có: AE BM   OAE OBM  45  OA OB OAE OBM  c  g  c  Do  OE OM  1  AOE BOM   Mà AOE  EOB 90    BOM  EOB 90  EOM 90   Do 1; Từ     suy OEM vuông cân O  AE BM BM AE   BE  CM Vì  nên CM BE AM BM  AB // CN Mà nên MN CM (Định lí Ta-let) AM AE   ME // BN Suy MN BE (Định lí Ta-let đảo) Gọi H  giao điểm OM BN    Vì ME // BN nên OME MH B 45 MCO Xét MCO MH B có:   B MCO MH    OMC BMH MCO MH B  g  g  Do OM MC OM MB     MB MH  MC MH  Xét OMB CMH  có:    OMB CMH OM MB  MC MH  OMB CMH  c  g  c  Do   M 45 OBM CH    Ta có BH C BH M  CH M 90  CH   BN Mà CH  BN Suy H  trùng H Vậy ba điểm O, M , H thẳng hàng Bài 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 3a  b 3b  c 3c  a     a  b  c    9  a  ab b  bc c  ca  Lời giải  4a   a  b  4b   b  c  4c   c  a   VT  a  b  c      b  b  c c  c  a    a  a  b b c   a  1  1  1 9       a     b    c    b c c a a b  b c c a  a b    1  9  a       b    b  c  b c   ca 1   x, y  (Vì x y x  y )   1       c   c a   a b  1      9  a b  Dấu " " xảy a b c 3a  b 3b  c 3c  a     a  b  c    9  a  ab b  bc c  ca  Vậy Cách 2: Khơng tính tổng qt giả sử a  b  c 3 Do a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có: 3  b  ;0  c  2 Tương tự ta có VT  Ta có: 3a  b 3b  c 3c  a   3 a  a  b b  b  c c  c  a a  b  c  a    a   4a   a  b  4b   b  c  4c   c  a    3 a  a  b b  b  c c c  a 4    a b b c c a 1         3 a a   3 b 1   3 a b c 1  1   3  1   b   3 c c   3  2a  a   0;     2 Ta chứng minh  a a  Thật    5a   2a  1  3a  a   2a  7a  8a  0   a  1  2a  5a   0  3 a   0;    a  1  2a  3 0  2  3  2b  a   0;   3  2 Chứng minh tương tự ta có  b b  3  2c  c   0;    3 c c  2 VT 2  a  b  c   3 ta có  1 Dấu " " xảy a b c 3a  b 3b  c 3c  a     a  b  c    9  a  ab b  bc c  ca  Vậy Từ   ,  3 ,   = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =