PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,5 điểm) Cho biểu thức và a) Biết Tìm điều kiện của a để giá trị của biểu thức M được xác định b) Rút gọn biểu[.]
PHỊNG GIÁO DỤC HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP MƠN TỐN – NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,5 điểm) Cho biểu thức M P a 1 a3 a Q a 3a 3a a3 a a P A Tìm điều kiện a để giá trị biểu thức M xác định a) Biết b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức M số nguyên 11 13 15 17 d) Tính giá trị biểu thức M biết a 12 20 30 42 56 72 Bài (3,5 điểm) a) Tìm x để A 5B với A 2 3x x B x x 1 x 1929 x x 1 3859 x3 x 1 1936 x 11580 b) Giải phương trình : Bài (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số ta số P có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta số Q có chữ số Q P 22221 ABCD AB / /CD & CD AB Gọi trung điểm đường Bài (7,5 điểm)Cho hình thang chéo AC BD P Q Gọi trung điểm AB, BC , CD DA R, N , S , M a) Chứng minh RQSP hình bình hành Các cạnh bên AD BC hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để RQSP hình chữ nhật, hình thoi, hình vng ? PQ CD AB b) Chứng minh PQ / / AB c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD E cắt CN G Chứng minh AB.CG CD.BG BC EG AE p pCD qAB EG p q d) Biết DE q Chứng minh Bài (1,5 điểm) 5 a) Chứng minh a b 29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b C 28 a b 44ab 12 a b 2033 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức trị nhỏ đạt giá trị a, b Giá ĐÁP ÁN Bài (4,5 điểm) Cho biểu thức e) Biết M M P a 1 a3 a 1 Q a 3a 3a a a2 a P A Tìm điều kiện a để giá trị biểu thức M xác định P Q nên M xác định P, Q xác định Q khác Do Vây M xác định a 1; a 0; a 1 f) Rút gọn biểu thức M P 2 a 1 a 1 2 a 1 a 1 2 3a a 3a 3a 3a 3a a 1 3a a a 1 a a 1 a a3 P 2a Q M 2 a a a a Q a a a a 1 g) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức M số nguyên M 2a 2a 2 2 a a a Để giá trị biểu thức M số nguyên 2a a 1 U (2) 1; 2 a 1(ktm), a 0( ktm); a 2(tm); a 3(tm) 11 13 15 17 h) Tính giá trị biểu thức M biết a 12 20 30 42 56 72 1 3 4 5 6 7 8 1 1 a 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9 2.3 a 3 M 3 3 a 9 a M 2.( 3) 3 Bài (3,5 điểm) A 2 c) Tìm x để A 5 B với ĐKXĐ: x 1; x Ta có A=5B 2 3x x B x x 1 3x x 1 x2 x Quy đồng khử mẫu ta phương trình : x 13 x 0 x 12 x x 0 x 4 x x ( x 4) 0 x x 1 0 (tmdk ) x 1 x 4; x Vậy d) Giải phương trình : x 1929 x x 1 3859 x3 x 1 1936 x 11580 x 1929 x x 1 3859 x x 1 1936 x 11580 x x 1929 x 3858 x 1929 3859 x x 1 1936 x 11580 x x 1929 x x 1929 x 1 1936 x 11580 x 1 x 1929 x x 1 1936 x 11580 x 1929 x 1936 x 11580 0 x 1930 x x 1930 x x 11580 0 x 3 x 1930 x x 0 x 1930 x 3 x 0 x x 1930 S 1930; 2;3 Vậy Bài (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số ta số P có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta số Q có chữ số Q P 22221 Gọi số tự nhiên có chữ số x x N ;999 x 10000 Thêm chữ số vào bên phải số ta số P x 10 x Thêm chữ số bên trái số ta số Q 4 x 40 000 x Theo ta có phương trình : 40 000 x 10 x 22221 x 17775 x 1975(tm) ABCD AB / /CD & CD AB Bài (7,5 điểm)Cho hình thang Gọi trung điểm đường chéo AC BD P Q Gọi trung điểm AB, BC , CD DA R, N , S , M R A d M E F D B Q P N H S G C e) Chứng minh RQSP hình bình hành Các cạnh bên AD BC hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để RQSP hình chữ nhật, hình thoi, hình vng ? Áp dụng định lý đường trung bình tam giác tam giác BAD, CAD ta 1 RP AD; QS / / AD QS AD 2 có : RP / / AD và RP / /QS RP QS RQSP hình bình hành Hình bình hành RQSP trở thành hình chữ nhật PRQ 90 PR RQ AB BC Vậy AB BC nằm hai đường thẳng góc với RQSP hình chữ nhật +Hình bình hành RQSP trở thành hình thoi PR RQ AB BC Vậy AB BC RQSP hình thoi +Hình bình hành RQSP trở thành hình vuông PR RQ PRQ 90 AB BC , AB BC Vậy AB BC nằm hai đường thẳng vng góc với AB BC RQSP hình vng CD AB PQ PQ / / AB f) Chứng minh MN đường trung bình hình thang ABCD MN / / AB MP đường trung bình BAD MP / / AB NQ đường trung bình BAC NQ / / AB Theo tiên đề Ơ clit điểm R, S , N , M thẳng hàng nên PQ / / AB Ta có MP MN AB CD MN đường trung bình hình thang ABCD) AB MP đường trung bình BAD) AB (NQ đường trung bình BAC ) AB CD AB AB CD AB PQ MN MP NQ 2 2 NQ g) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD E cắt CN G Chứng minh AB.CG CD.BG BC.EG Gọi giao điểm đường thẳng d với BC AC F H Vì d / / MN / / AB EF / / AB; HG / / AB Áp dụng hệ định lý Talet vào tam giác BAD CAB ta có : DE EF CG HG 1 ; AB.CG BC.HG AD AB CB AB CG CH DE 4 Tương d / / AB / /CD Áp dụng hệ định lý Talet ta có CB CA DA HG EF HG EF Từ (1), (2), (4) suy AB AB BG FG BG.CD BC FG Lại có BC CD Từ (3), (5) suy AB.CG CD.BG BC.HG BC.FG AB.CG CD.BG BC HG FG AB.CG CD.BG BC HG FH HG AB.CG CD.BG BC EF FH HG AB.CG CD.BG BC EG AE p pCD qAB EG p q h) Biết DE q Chứng minh Do EG / / AB / / CD Áp dụng hệ định lý Talet vào CAD ta có : AE p AE HE AE HE CD ED q AD CD AD mà AE AE p p HE CD AD AE ED p q p q Áp dụng hệ định lý Talet vào tam giác CAD & CAB ta có : AE AH BG p HG CG CG HG AB ED HC CG q AB CB CB CG q q HG AB p q Tương tự ta tính : CB p q p q p.CD q AB EG EH HG CD AB pq pq pq Từ (6), (7) suy Bài (1,5 điểm) 5 c) Chứng minh a b 29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b a 5b 29ab5 a 5b ab5 30ab5 a 5b ab5 a 5b ab ab ab5 ab a 1 ab b 1 Ta có: Với số nguyen a b Xét : ab a 1 ab a 1 a 1 a 1 ab a 1 a 1 a ab a 1 a 1 a a 5ab a 1 a 1 a a 1 a 1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết a a 1 a 1 a a 5ab a 1 a 1 30 tích số nguyên liên tiếp nên a a 1 a 1 a a 30 ab a 1 30 ab b 1 30 & 30ab 30 a 5b 29ab5 a 5b ab5 30ab5 30 Tương tự: 5 Vậy a b 29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giá trị nhỏ đạt giá trị a, b C 28 a b 44ab 12 a b 2033 C 28 a b 44ab 12 a b 2033 25a 25b 50ab 3a 3b 12 6ab 12a 12b 2021 25 a b a b 2ab 3a 3b 2021 2 25 a b a b 2021 2021a, b a b 0 a b 1 a b Dấu xảy Vậy Min C 2021 a b 1 ... x x 1 385 9 x3 x 1 1936 x 11 580 x 1929 x x 1 385 9 x x 1 1936 x 11 580 x x 1929 x 385 8 x 1929 385 9 x x 1 1936 x 11 580 x x ... 13 15 17 h) Tính giá trị biểu thức M biết a 12 20 30 42 56 72 1 3 4 5 6 7 8 1 1 a 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7 .8 8.9 9 2.3 a 3 M 3 ... 1929 x 1 1936 x 11 580 x 1 x 1929 x x 1 1936 x 11 580 x 1929 x 1936 x 11 580 0 x 1930 x x 1930 x x 11 580 0 x 3 x 1930 x