070 đề hsg toán 8 thường tín 22 23

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI HSG ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4,5 điểm) Cho biểu thức và a) Biết Tìm điều kiện của để giá trị của biểu thức[.]

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ THI HSG Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức P  a 1  a3   a  1  Q  a   3a  3a a  a2  a P M Q Tìm điều kiện a để giá trị biểu thức M xác định a) Biết b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức M số nguyên 11 13 15 17         d) Tính giá trị biểu thức M biết a 12 20 30 42 56 72 Bài 2: (3,5 điểm) a) Tìm x để A 5 B với A 2  3x  x B x  x 1 x  1929 x  x  1  3859 x3  x  1  1936 x  11580  b) Giải phương trình Bài 3:(3,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình: Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số ta số P có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta số Q có chữ số Q  P 22221 Bài 4:(7,5 điểm) Cho hình thang ABCD ( AB //CD CD  AB ) Gọi trung điểm đường chéo AC BD P Q Gọi trung điểm AB, BC , CD DA R, N , S M a) Chứng minh RQSP hình bình hành Các cạnh bên AD BC hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để RQSP hình chữ nhật, hình thoi, hình vng? b) Chứng minh PQ //AB PQ  CD  AB c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD E cắt CN G Chứng minh AB.CG  CD.BG BC.EG AE p p.CD  q AB  EG  DE q p  q d) Biết Chứng minh Bài 5: (1,5 điểm) 5 a) Chứng minh a b  29ab chia hết ch 30 với số nguyên a b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C 28  a  b2   44ab  12  a  b   2033 Giá trị nhỏ đạt giá trị a b ? = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN Nămhọc: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức P  a 1  a3   a  1  Q  a   3a  3a a  a2  a P M Q Tìm điều kiện a để giá trị biểu thức M xác định a) Biết b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị a để giá trị biểu thức M số nguyên 11 13 15 17         d) Tính giá trị biểu thức M biết a 12 20 30 42 56 72 Lời giải P Q nên giá trị biểu thức M xác định giá trị P a) (1,0đ) Do xác định Q xác định khác P xác định a 2, a  M 1  1 3 a  a  a  2.a    a     a  a  a a  a  a  1 4   4 với Do mà giá trị a nên Q xác định khác a 0, a 1 2 Vậy giá trị biểu thức M xác định a  1, a 0, a 1 b) (1,25đ) P 2  a 1 a 1 a 1 2    a  1       2  3a a   3a 3a 3a  3a a  3a a  1  a  1  a  a  1 a  a3  Q   a  a2  a a a  a  a  1 M P 2a  Q a M 2a 2a   2  2  a a a c)(1,0đ) Để giá trị biểu thức M số nguyên 2a  a  Z nên a  ước  a  1  1; 2 Vì Ta có bảng sau: a a 2 1 1 2 Loại Kết luận Vậy Loại Thỏa mãn Thỏa mãn a   3; 2 1                2.1 3.2 4.3 5.4 6.5 7.6 8.7 9.8 d) (1,25đ) a 1 1 1 1 1 1 1 1 1                1   a 2 3 4 5 6 7 8 9 Vậy Với a 9  a   3;  3 a 3 M Với a  Bài 2: (3,5 điểm) 2.3 3 3 M 2.( 3) 1,5  3 a) Tìm x để A 5 B với A 2  3x  x B x  x 1 b) Giải phương trình x  1929 x  x  1  3859 x3  x  1  1936 x  11580  Lời giải a) (1,5đ) ĐKXĐ: Ta có A 5B  x 1, x  2 3x  5( x  1)  x2  x  Quy đồng khử mẫu ta phương trình: 3x  13x  0  x  3x  1   x  1 0  x  0   x  1  x   0     x  0   x 3   x 4 (Thỏa mãn ĐKXĐ)  1 x  4;   3 Vậy b) (2,0đ) Biến đổi vế trái phương trình x   x nên ta được: x  1929 x  x  1  3859 x  x  1  1936 x  11580   x  x  1929 x  3858 x  1929  3859 x   x  1  1936 x  11580   x  x  1929 x  x  1929   x  1  1936 x  11580   x  1929 x  x  1929 x  x  1  1936 x  11580    x  1  x  1929 x   x  1  1936 x  11580    x  1  x  1929 x  1936 x  11580  0  x  1929 x  1936 x  11580 0  x   x   x3  1930 x  x  1930 x  x  11580 0  x  x  1930   x  x  1930    x  1930  0   x  x    x  1930  0  x  0   x  0   x  1930 0   x  3  x    x  1930  0 Vậy  x 3  x    x  1930 S   1930;  2;3 Bài 3:(3,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình: Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số ta số P có chữ số, viết thêm chữ số vào bên trái số ta số Q có chữ số Q  P 22221 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số x ( x  N ;999  x  10000) Thêm chữ số vào bên phải số ta số P x 10 x  Thêm chữ số vào bên trái số ta số Q 4 x 40000  x Ta có phương trình:  40000  x    10 x   22221   x  17775  x 1975(TM ) Vậy số cần tìm 1975 Bài 4:(7,5 điểm) Cho hình thang ABCD ( AB //CD CD  AB ) Gọi trung điểm đường chéo AC BD P Q Gọi trung điểm AB, BC , CD DA R, N , S M a) Chứng minh RQSP hình bình hành Các cạnh bên AD BC hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để RQSP hình chữ nhật, hình thoi, hình vng? b) Chứng minh PQ //AB PQ  CD  AB c) Một đường thẳng d song song với MN cắt MD E cắt CN G Chứng minh AB.CG  CD.BG BC.EG AE p p.CD  q AB  EG  DE q p  q d) Biết Chứng minh Lời giải R A P M d E B Q H F D N G S C a) (2,0đ) +Áp dụng định lý đường trung bình tam giác tam giác BAD 1 RP  AD; QS  AD QS // AD 2 CAD ta có: RP // AD  RP // QS RP QS  RQSP hình bình hành + Hình bình hành RQSP trở thành hình chữ nhật :  PRQ 900  PR  RQ  AB  BC AB Vậy chữ nhật BC nằm hai đường thẳng vng góc với RQSP hình +Hình bình hành RQSP trở thành hình chữ thoi : PR RQ  AB BC Vậy AB BC RQSP hình thoi  + Hình bình hành RQSP trở thành hình vuông : PR RQ PRQ 90  AB BC AB  BC AB BC nằm hai đường thẳng vng góc với AB BC Vậy RQSP hình vng ABCD  MN // AB b) (1,5đ) MN đường trung bình hình thang MP đường trung bình BAD  MP // AB NQ đường trung bình BAC  NQ // AB Theo tiên đề Ơ-clit điểm R, N , S , M thẳng hàng  PQ // AB Ta có MN  AB  CD ( MN đường trung bình hình thang ABCD ) AB ( MP đường trung bình BAD ) AB NQ  ( NQ đường trung bình BAC ) MP  AB  CD AB AB CD  AB     2 2 c) (2,0đ) Gọi giao điểm đường thẳng d với BC AC F H PQ MN   MP  NQ   EF //AB; HG // AB Vì d // MN// AB  Áp dụng hệ định lý Talet vào tam giác BAD CAB ta có: DE EF CG HG  (1);  (2);  AB.CG BC.HG (3) AD AB CB AB Tương CG CH DE   (4) d // AB// CD Áp dụng hệ định lý Talet  CB CA DA HG EF  1 ,   ,   suy AB  AB  HG EF Từ BG FG  BC CD  BG.CD BC.FG (5) Lại có Từ  3 ,  5 suy AB.CG  CD.BG BC.HG  BC FG  AB.CG  CD.BG BC ( HG  FG )  AB.CG  CD.BG BC ( HG  FH  HG )  AB.CG  CD.BG BC ( EF  FH  HG )  AB.CG  CD.BG BC.EG d) (2,0đ) Do EG// AB// CD Áp dụng hệ định lý Talet vào CAD ta có: AE HE AE  HE  CD AD CD  AD AE p AE AE p p    HE  CD ED q  AD AE  ED p  q  pq (6) Mà AE AH BG p    Áp dụng hệ định lý Talet vào CAD CAB ta có: ED HC CG q HG CG CG  HG  AB AB CB  CB Tương tự ta tính : CG q q  HG  AB CB p  q  pq (7) , Từ     suy EG EH  HG  p q p.CD  q AB CD  AB  pq pq pq Bài 5: (1,5 điểm) 5 a) Chứng minh a b  29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C 28  a  b   44ab  12  a  b   2033 Giá trị nhỏ đạt giá trị a b ? Lời giải 5 5 a) (0,75đ) a b  29ab a b  ab  30ab Ta có a 5b  ab5 a 5b  ab  ab  ab5 ab  a  1  ab  b  1 Với số nguyên a b Xét ab  a  1 ab  a  1  a  1  a 1 ab  a  1  a  1  a    ab  a  1  a  1  a    a    5ab  a  1  a  1 a  a  1  a  1 a a  1  a  1 6 tích số nguyên lên tiếp nên   5ab  a  1  a  1 30 a  a  1  a  1  a    a   tích số nguyên lên tiếp  a  a  1  a  1  a    a   30 4  ab  a  1 30 Tương tự ab  b  1 30 30ab5 30  a 5b  29ab5 a5b  ab5  30ab5 30 5 Vậy a b  29ab chia hết cho 30 với số nguyên a b b) (0,75đ)Biến đổi: C 28  a  b   44ab  12  a  b   2033 25a  25b  50ab  3a  3b  12  6ab  12a  12b  2021 25  a  b    a  b   2ab  3a  3b   2021 2 25  a  b    a  b    2021 2021 a, b a  b 0  Dấu xảy  a  b  0  a b 1 Vậy C 2021  a b 1