Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỔI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,5 điểm) Cho a) Chứng minh rằng b) Tính giá trị của biểu thức Bài 2 (3,5 điểm) Giải các phương trình sa[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỔI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,5 điểm) Cho abc 2021 2021a 2021 a) Chứng minh ab 2021a 2021 b bc 2021 2021a b c M ab 2021a 2021 bc b 2021 ac c b) Tính giá trị biểu thức Bài (3,5 điểm) Giải phương trình sau : a) x x x 10 x 26 x x 10 x x 17 x x x x b) x x x 10 72 Bài (3,0 điểm) x y 2 a) Cho x,y số dương Chứng minh y x a b c 1 b) Cho ba số dương x,y,z Chứng minh bc ca ab a b c Bài (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD I cho ABM MBI Kẻ tia phân giác CBI Tia cắt cạnh CD N Trên cạnh BI lấy điểm H cho BH BA a a) Chứng minh MN AM NC b) Tính MN diện tích tam giác BNM theo a Bài (5,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H, tia phân giác EHB, DHC cắt AB, AC I K, Qua I K vẽ đường thẳng vng góc với AB, AC chúng cắt M, MK IM cắt BC P Q, a) Chứng minh AI AK b) Chủng đường thẳng HM qua trung điểm J BC Bài 6: (2,0 điểm) a) Chúng với số nguyền x x x 2 2 2 b) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b c d Chứng minh S a b c d hợp số ĐÁP ÁN Bài (3,5 điểm) Cho abc 2021 2021a 2021 c) Chứng minh ab 2021a 2021 b bc 2021 Vì abc 2021 nên a, b, c 0 2021a 2021 2021 ab 2021a 2021 b 2021 2021 b 2021 bc a Do 2021a 2021 Vậy ab 2021a 2021 b bc 2021 2021a b c M ab 2021a 2021 bc b 2021 ac c d) Tính giá trị biểu thức 2021a 2021 c bc bc ; Vì ab 2021a 2021 b bc 2021 ac c abc bc b 2021 bc b Nên M 2021 b bc 2021 b bc 1 b bc 2021 bc b 2021 2021 bc b 2021 bc b Bài (3,5 điểm) Giải phương trình sau : x x x 10 x 26 x x 10 x x 17 a) x 2;3; 4;5 x x x x x 2 x 1 x 5 x 1 x 3 x 1 x 4 1 x 1 1 x 5 x x 4 x x x x 1 1 2x 2x 0 x x x x x x 10 x x 12 1 1 2x 7 0 x (do 0 x x 10 x x 12 x x 10 x x 12 x 2 x Vậy b) x x x 10 72 x x 10 72 x 3 x 3 72 x 72 x 9 x 4 x 81 x 9(VN ) Vậy x 4 Bài (3,0 điểm) x y 2 c) Cho x,y số dương Chứng minh y x Ta có : x y 0 x xy y 0 x2 y2 x y 2 2 xy y x Dấu xảy x=y a b c 1 d) Cho ba số dương x,y,z Chứng minh bc ca ab a b c Ta có : a b 1 a b b c c a ; Cmtt : ; bc ac c b a c ac ab a ab bc b c a b c 1 a b 1 1 2 bc ac ab a b c bc ca ab a b c Nên Bài (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD I cho ABM MBI Kẻ tia phân giác CBI Tia cắt cạnh CD N Trên cạnh BI lấy điểm H cho BH BA a A M D B a H IN C x c) Chứng minh MN AM NC HBN CBN c.g c Ta có ABM HBM (c.g c) Suy BHM BAM 90 BHN BCN 90 Suy M, H, N thẳng hàng Do MN MH HN AM NC d) Tính MN diện tích tam giác BNM theo a NC x, MN AM NC a x; DN a x Đặt 2 a 3 MN MD DN a x a x 4 16 DMN vuông D nên ta có : a2 a a ax x a 2ax x ax a x 16 16 2 1 3 a 25 3 BH MN a a x a a a dvdt 4 56 4 Diện tích tam giác BMN 2 2 Bài (5,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H, tia phân giác EHB, DHC cắt AB, AC I K, Qua I K vẽ đường thẳng vng góc với AB, AC chúng cắt M, MK IM cắt BC P Q, A D K E I H M P B J Q C a) Chứng minh AI AK Ta có Và EHI DHK EHB ( HI phân giác EHB ) DHC ( HK phân giác DHC ) Mà EHB DHC (đối đỉnh) nên EHI DHK Hai tam giác vng EHI & DHK có EHI DHK nên chúng đồng dạng với suy EIH DKH Lại có ba điểm I, H, K thằng hàng nên AIK cân A suy AI AK b) Chủng đường thẳng HM qua trung điểm J BC Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có : EI EH HD DK EI DK IB BH HC KC IB KC DK MP EI CQ ; CBD , BEC KC PC IB BQ Áp dụng định lý Talet cho tam giác ta BP CQ BP CQ BP CQ PC BQ BC BC Gọi J giao điểm HM BC JP MJ JQ MJ ; BP MH QC MH mà BP CQ JBH JCH Áp dụng định lý Talet vào ta : nên JP JQ JB JC hay J trung điểm BC HM qua trung điểm BC Bài 6: (2,0 điểm) a) Chúng với số nguyền x x x 2 x x x x 2 tích số nguyên liên tiếp Ta có 2 2 b) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b c d Chứng minh S a b c d hợp số 2 2 2 2 Ta có a b c d a d c b a Mà b c d a b c d a a b b c c d d Nên Vậy S a b c d hợp số a d a b c d 2 a b c d 2