Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN – LỚP 8 Bài 1 (4,5 điểm) 1) Phân tích thành nhân tử 2) Giải phương trình Bài 2 (3,0 điểm) 1) Các số thực thỏa[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN – LỚP Bài (4,5 điểm) 1) Phân tích thành nhân tử : a ) x 2019 x 2018 x 2019 b) x x y xy y x x x x 2019 2019 2) Giải phương trình : 2020 2019 2018 Bài (3,0 điểm) 1) Các số thực a, b, c, d thỏa mãn đồng thời điều kiện abc d 1,bcd a 2, cda b 3, dab c Chứng minh a b c d 0 2 2) Giả sử x, y , z số thực thỏa mãn x y z 4 x y z 6 Chứng minh số 2 ;2 x, y, z thuộc đoạn Bài (3,0 điểm) 20 10 1) Tìm đa thức dư chia đa thức x x x cho đa thức x 2) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y x 19 Bài (8,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a , gọi O giao điểm hai đường chéo CE CB AC BD, I trung điểm OB Trên tia đối tia CD láy điểm E cho Từ D kẻ DM vng góc với 1) 2) 3) 4) BE M BE , DM cắt BC H Chứng minh AOI ∽ BCE Chứng minh BIE 90 Chứng minh MA tia phân giác BMD Gọi G giao điểm AC DM, BG cắt IE P Hãy tính diện tích GHP theo a Bài (1,5 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c 2 Chứng minh : b c c a a b ĐÁP ÁN Bài (4,5 điểm) 3) Phân tích thành nhân tử : a ) x 2019 x 2018 x 2019 x x 2019 x 2019 x 2019 x x 1 x x 1 2019 x x 1 x x 1 x x 2019 b) x x y xy y x xy y x y 2 x y x y x y 32 x y x y 1 x x x x 2019 2019 4) Giải phương trình : 2020 2019 2018 x x x x 2019 2019 2020 2019 2018 x x x x 2019 1 1 0 2020 2019 2018 x 2021 x 2021 x 2021 0 2020 2019 1 x 2021 0 2 2020 2019 1 x 2021 Vì 2020 2019 Bài (3,0 điểm) 3) Các số thực a, b, c, d thỏa mãn đồng thời điều kiện abc d 1,bcd a 2, cda b 3, dab c Chứng minh a b c d 0 Giả sử a b c d 0, suy abc bcd cda dab 0 Thay d a b c ta : b 2c bc a 2c ac abc a 2b ab abc 0 a b b c c a 0 Xét trường hợp : a b bcd b 2 bcd b 3, mâu thuẫn a d bcd d 2 bcd d 1 , mâu thuẫn Vậy a b c d 0 2 4) Giả sử x, y, z số thực thỏa mãn x y z 4 x y z 6 Chứng minh 2 ; 2 số x, y , z thuộc đoạn 2 Ta có y z 4 x y z 6 x 1 2 x x x x 0 x 2 y2 z2 y z 2 Theo BĐT Co si ta có hay Tương tự với y,z Ta có điều phải chứng minh Bài (3,0 điểm) 20 10 3) Tìm đa thức dư chia đa thức x x x cho đa thức x Gọi đa thức dư phép chia ax b x 20 x10 x5 x 1 Q x ax b Xét với x 1 ta a b 4 Xét với x ta a b 2 Tìm a 1, b 3 Vậy đa thức dư x 4) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y x 19 Ta có : x y x 19 x x y 19 2 x 1 3 y * Vế trái (*) số chẵn nên vế phải số chẵn Suy y số lẻ vế trái (*) 0 nên vế phải (*) 0 y 1 y x 1 9 Do y 0 y 7 Từ tì Vậy x, y 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 x 2 x 4 Bài (8,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, I trung điểm OB Trên tia đối tia CD láy điểm E cho CE CB BE M BE Từ D kẻ DM vuông góc với , DM cắt BC H A B I P M H O G C D E 5) Chứng minh AOI ∽ BCE OI Chứng minh OA (vì I trung điểm OB, mà OA OB) CE OI OA OI Từ suy CB OA hay CB CE suy AOI ∽ BCE (c.g c) 6) Chứng minh BIE 90 Chứng minh CBE CDH (cùng phụ với BED) BC CE Từ chứng minh BCE ∽ DCH ( g g ) Suy DC CH Kết hợp với BC DC suy CE CH CE CB ) Từ suy H trung điểm BC (vì có Chứng minh IH đường trung bình BOC Suy IH / / OC IH BD Kết hợp với OC BD suy Chứng minh H trực tâm BDE (giao điểm hai đường cao DM BC) Suy EH BD Từ (1) (2) chứng minh E , H , I thẳng hàng Từ suy EI BD hay BIE 90 7) Chứng minh MA tia phân giác BMD Chứng minh BIE ∽ BMD ( g g ) BE BD BI BM Chứng minh BIM ∽ BED(c.g c) BIM BED Kết hợp với AIO BEC AIO ∽ BCE AIO BIM Chứng minh DIM BIM 180 (ba điểm B, I , D thẳng hàng) Từ suy DIM AIO 180 M , I , A thẳng hàng Chứng minh BMI BDC (vì BIM ∽ BED) Chứng minh BDC 45 (vì ABCD hình vng) Từ suy BMI BDC 45 Chứng minh IMD 45 BMI 45 , BMD 90 Suy MI tia phân giác BMD Kết hợp với ba điểm M , I , A thẳng hàng Suy MA tia phân giác BMD 8) Gọi G giao điểm AC DM, BG cắt IE P Hãy tính diện tích GHP theo a 1 S BDC S ABCD a 1 2 Chứng minh SGHB SGBC Chứng minh (Hai tam giác chung đường cao kẻ từ D xuống BC có BH BC ) GH DH Chứng minh G trọng tâm tam giác BCD Suy SGBC S DBC 3 Từ suy (hai tam giác có chung đương cao kẻ từ B xuống DH GH DH ) GP GB Chứng minh P trung điểm BG ( IP / /OG, I trung điểm OB) nên 1 SGHP SGHB GP GB ) 2 Lại có (hai tam giác có chung đường cao kẻ từ H xuống BG Từ (1), (2), (3), (4) suy : 1 1 SGHP SGHB SGBC S DBC S ABCD a dvdt 12 24 24 Bài (1,5 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c 2 Chứng minh : b c c a a b a b c 1 a b c b c c a a b b c c a a b Ta có Mà 1 3 3 2 b c c a a b a b c Do vai trị a, b, c nên giả sử a b c Suy : a b c a c c c 1 b c c a a b a c a c a b a b Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a b c 2 Vậy b c c a a b a b c 1 c 2 a b ... 2019 4) Giải phương trình : 2020 2019 20 18 x x x x 2019 2019 2020 2019 20 18 x x x x 2019 1 1 0 2020 2019 20 18 x 2021 x 2021 x 2021 0 2020... với AIO BEC AIO ∽ BCE AIO BIM Chứng minh DIM BIM 180 (ba điểm B, I , D thẳng hàng) Từ suy DIM AIO 180 M , I , A thẳng hàng Chứng minh BMI BDC (vì BIM ∽ BED) Chứng... 7 Từ tì Vậy x, y 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 x 2 x 4 Bài (8, 0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a , gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, I trung điểm OB Trên