De hsg toan 8 cap huyen nam 2022 2023 phong gd dt doan hung phu tho 4249

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 6, 7, CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề thi mơn: TỐN Lớp Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 03 trang Ghi chú: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi trắc nghiệm tự luận tờ giấy thi, không làm tờ đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho hai số a, b thỏa mãn a+b = Giá trị biểu thức P = 2a + 6ab + 2b3 − 2023 A −2023 B −2022 C −2021 D −2019 Câu Khi chia đa thức f ( x ) chia cho ( x + ) dư −12 ; chia f ( x ) cho ( x − 3) dư 28 Đa thức dư chia f ( x ) cho ( x − x − ) B x + A x + Câu Cho a, b hai số thỏa mãn C 3x − D −2 x + a b 32 x − 19 với x cho + = x + x − x2 − x − phân thức có nghĩa Khi hiệu 2a − b A −19 Câu Cho B 19 C 32 D −32 x − xy + y xy A = Giá trị biểu thức (giả sử biểu = x + xy + y x2 + y thức có nghĩa) A B C 7 D − Câu Có giá trị x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên?   x − + A=  (với x ≠ ±2; x ≠ ) :  x − 3x − x +  x + A B C D x2 (ẩn x ) có Câu Điều kiện hệ số a để phương trình x − a x += a + x −1 − x2 nghiệm A a ≠ 0; a ≠ 1; a ≠ C a ≠ ±1 B a ≠ ±1; a ≠ −2; a ≠ D a ≠ ±1; a ≠ 0; a ≠ ±2 Câu Một hình chữ nhật có chu vi 132m Nếu tăng chiều dài thêm 8m giảm chiều rộng 4m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 52m Chiều dài hình chữ nhật Trang 1/3 A 29 B 37 C 62 Câu Số số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình A 11 B 12 D 52 1− 2x − 5x −2< C 13 D 14 Câu Cho ∆ABC có = BC a= , AB c= ; AC b Kẻ tia phân giác AD góc BAC ( D ∈ BC ) , tia phân giác BI góc ABD ( I ∈ AD ) Khi tỉ số A ac a+c B b+c c C b+c ac AI ID D b+c a Câu 10 Cho hình thang ABCD có đáy = AB 9= cm, CD 16cm , đường chéo AC = 12cm  = 520 Số đo góc CAD BCD A 1380 B 520 C 1280 D 1480 Câu 11 Cho hình bình hành ABCD , điểm G thuộc cạnh CD cho DG = DC Gọi E giao điểm AG BD Kết tỉ số DE : DB A B C D Câu 12 Cho hình thang ABCD = có AB 5= cm; CD 15cm , độ dài hai đường chéo AC 16 cm; BD 12cm Diện tích hình thang ABCD = = A 96cm B 192cm C 100,8cm D 72cm Câu 13 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = a Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M N Khi tích BM DN có giá trị A a B a C 2a D 4a Câu 14 Cho hình thang ABCD có AB đáy nhỏ, gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD BC theo thứ tự M ; N Hệ thức sau đúng? A 1 + = AB CD MN B 1 + = AB CD MN C 1 + = CD MN AB D 1 MN + = AB CD Câu 15 Cho hình chữ nhật ABCD = có AD 6= cm; AB 8cm hai đường chéo cắt O Qua D kẻ đường thẳng d vng góc với DB , d cắt BC kéo dài E Kẻ CH vng góc với DE H Khi tỉ số diện tích A B 16 25 S EHC S EBD C 256 625 D 25 16 Câu 16 Một rô bốt chuyển động từ A đến B theo cách sau: 5m dừng lại giây, tiếp 10m dừng lại giây, tiếp 15m dừng lại giây Cứ từ Trang 2/3 A đến B hết tất thời gian dừng lại 551 giây Biết rô bốt chuyển động với vận tốc 2,5m /giây Khoảng cách từ A đến B dài mét? B 1900m A 380m C 950m D 1127,5m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p để p + p + số nguyên tố b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + x =19 − y Câu (4,0 điểm) a) Cho hai số thực phân biệt a, b ≠ thỏa mãn điều kiện giá trị biểu thức T = ( a − 1)( b − 1) + 2022  b) Giải phương trình 2023 1 Tính + 3+ = a b ab 3x + + − = x2 + x2 + x2 + Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E , cạnh BC lấy điểm F cho AE = BF Kẻ DM vng góc với EC M a) Chứng minh D, M , F thẳng hàng b) Tìm số đo góc BMD AE = BE c) Khi E di chuyển AB thỏa mãn AE = BF , tìm vị trí E để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất? Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x ( x − z ) + y ( y − z ) = biểu thức P = x3 y3 x2 + y + + + x2 + z y + z x+ y - HẾT Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/3 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐOAN HÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN LỚP Một số ý chấm bài: • Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách Thí sinh giải cách khác mà cho kết tổ chấm thống cho điểm phần ứng với thang điểm Hướng dẫn chấm • Giám khảo cần bám sát yêu cầu phần tính phần lí luận giải thí sinh điểm • Tổ chấm chia nhỏ thang điểm đến 0,25 Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Đáp án Điểm C 0,5 A 0,5 B 0,5 C 0,5 B 0,5 C 0,5 B 0,5 D 0,5 D 0,5 10 C 0,5 11 D 0,5 12 A 0,5 13 A 0,5 14 A 0,5 15 C 0,5 16 C 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) CÂU ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC ĐIỂM điểm a) Tìm số nguyên tố p để p + p + số nguyên tố b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + x =19 − y a) Giải: (1,5 2 điểm) - Xét p = , thay vào p + ta có p + = + = hợp số Suy p = (loại) Trang 4/3 - Xét p = , thay vào ta có p + = 32 + = 11 số nguyên tố 0.5 p + = 33 + = 29 số nguyên tố Suy p = (thỏa mãn) - Xét p > Trong ba số tự nhiên liên tiếp p − 1; p; p + tồn số chia hết cho Vì p > p số nguyên tố nên p không chia hết cho 0.5 Nếu p − p + chia hết cho ( p − 1)( p + 1) ⇒ p − 1 ⇒ p + 2= p − + 3 ⇒ p + hợp số nên trường hợp p > loại 0.5 Vậy p = b) b) (1,5 Giải: điểm) x + x =19 − y ( ) ⇔ x + x + = 21 − y ⇔ ( x + 1) =21 − y (1) 0.5 Vì ( x + 1) ≥ ∀x nên 21 − y ≥ ⇔ y ≤ Vì y ∈ Z nên y ∈ {0; 1; 4} - Với y = thay vào (1) ta có ( x + 1) = 21 ⇔ ( x + 1) = 2 (loại) 21 ∉Z 0.5 - Với y = thay vào (1) ta có ( x + 1) =18 ⇔ ( x + 1) =9 2 = x +1 = x ⇔ ⇔  x + =−3  x =−4 - Với y = thay vào (1) ta có 2 ( x + 1) =21 − 12 ⇔ ( x + 1) = ∉ Z (loại) Vậy cặp giá trị ( x; y ) thỏa mãn yêu cầu đề là: 0.5 ( 2;1) ; ( 2; −1) ; ( −4;1) ; ( −4; −1) a) Cho hai số thực phân biệt a, b ≠ thỏa mãn điều kiện 1 + 3+ = a b ab Tính T = ( a − 1)( b − 1) + 2022  giá trị biểu thức 4.0 điểm 2023 Trang 5/3 3x + b) Giải phương trình + − = x + x + x2 + a) Áp dụng HĐT: (2,0 x3 + y + z − 3xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) điểm) 1 Với x = ; y = ; z = −1 , ta có: a b 1 + −1+ =0 a b ab 1 1  1  ⇔  + − 1  + + − + +  =0 ab a b   a b  a b (1) 2 1 1 1      1   Vì + + − + + =  + 1 +  + 1 +  −   > a b ab a b  a   b   a b   với a, b ≠ b) (2,0 điểm) Nên (1) ⇔ 1 + − = ⇔ a + b = ab ⇔ ab − a − b = a b Do T= ( ab − a − b + + 2022 ) 0.5 0.5 0.5 2023 = 20232023 0.5 Vậy T = 20232023 + 3x + − = x2 + x2 + x2 + + 3x       ⇔ − 1 +  − 1 +  − = x +5   x +1   x +   ⇔ − x2 − x2 − x2 + + = x2 + x2 + x2 + 0.5 1   ⇔ − x2  + + =  x +1 x + x +  (  ) 1 0.5 0.5  Vì  + +  > 0, ∀x  x +1 x + x +  0.5 Nên − x =0 ⇔ x =±2 Vậy tập nghiệm phương trình S = {−2; 2} 4.0 điểm Trang 6/3 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E , cạnh BC lấy điểm F cho AE = BF Kẻ DM vng góc với EC M a) Chứng minh D, M , F thẳng hàng b) Tìm số đo góc BMD AE = BE c) Khi E di chuyển AB , tìm vị trí E để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất? E A B F H D M K C a) a) Gỉa sử DF cắt EC M ' (1,5 điểm)  AB = BC Ta có  => EB = CF  AE = BF Xét tam giác BEC tam giác CFD, ta có: = C = 900 EB = FC; BC = CD; B ∆CFD => ∆BEC =  = FDC  => ECB  + ECD = Mà ECB 900 =  + FDC => ECD 900  => DM 'C = 900 0.5 0.5 ' Hay DM ⊥ EC Mà DM vuông góc với EC M (gt) Vậy D, M , F thẳng hàng b) Kẻ AH vng góc với DM, K giao DC AH, ta có: AECK hình bình hành => AE = CK b) (1,5 Lại có điểm)   AE = AB => KC = DC   AB = CD 0.5 0.5 Trang 7/3 => K trung điểm DC Ta lại có KH // CM suy H trung điểm DM Nhưng: AH ⊥ DM => ADM tam giác cân A => AD = AM Mà AD = AB => AM = AB => ABM cân A  1800 − DAM  Từ ADM cân A ta có: AMD =  180 − BAM Từ ABM cân A ta có:  AMB = 0  180 − BAM  180 − DAM  =>  AMD + = AMB + 2  => BMD = 135 0.5 0.5 ∆FCD c, Ta có ∆EBC = => SEMFB + SMFC = SDMC + SMFC => SEMFB = SDMC => SDEM + SEMFB = SDEM + SDMC => SDEBF = SDEC Lại có SDEC = AD.DC không đổi c) (1,0 => SDEBF không đổi điểm) 0.5 Ta lại có: BE.BF ≤ ( BE + BF ) => BE.BF ≤ AB => BE.BF ≤ ( BE + AE ) => BE.BF lớn BE = BF => SBEF lớn BE = BF Mà SDEF = SDEBF – SBEF => SDEF nhỏ BE = EA SDEF nhỏ E trung điểm AB Khi S tam giác EFD 0.5 diện tích hình vng ABCD Câu Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức x(x − z) + y ( y − z) = P= x3 y3 x2 + y + + + x2 + z y + z x+ y 1.0 điểm Áp dụng bất bẳng thức AM – GM ta có: x3 xz xz z = x − ≥ x − = x− 2 2 x +z x +z 2xz 0.5 Trang 8/3 (1,0 điểm) x2 + y + y3 z P ≥ x + y − z + ≥ y − Suy x+ y y2 + z2 Tương tự Theo = gt z x2 + y ⇒ P≥ x+ y+ ≥ x+ y x+ y Vậy Pmin = ⇔ x = y = z = 0.5 Lưu ý: + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số Hướng dẫn giải trắc nghiệm Câu 1: P = ( a + b ) ( a − ab + b ) + 6ab − 2023 = ( a + 2ab + b ) − 2023 = −2021 Câu 2: f ( x) = ( x + ) Q ( x ) − 12 f ( x) = ( x − 3) P ( x ) + 28 f ( x )= (x ) − x − G ( x ) + ax + b f ( −2 ) = −12 ⇒ −2a + b = −12 f ( 3) = 28 ⇒ 3a + b = 28 a = ⇒ b = Câu 3: a ( x − ) + b ( x + 1) ( x + 1)( x − ) = 32 x − 19 với x ≠ 2; x ≠ −1 x2 − x − ⇒ ( a + b ) x − 2a + b= 32 x − 19 với x ≠ 2; x ≠ −1 ⇒ −2a + b = −19 ⇒ 2a − b = 19 Câu 5: Thu gọn A kết A = − x ∈ U (1) ={±1} ⇒ x ∈ {1;3} Để A nhận giá trị nguyên 2− x Câu 6: Biến đổi phương trình trở thành: x (1 − a ) =−a + Phương trình có nghiệm − a ≠ ⇔ a ≠ ±1 Câu 7: Gọi chiều dài hình chữ nhật x , chiều rộng 66 − x Ta có phương trình: ( x + )( 62 − x= ) x ( 66 − x ) + 52 Trang 9/3 Giải phương trình ta x = 37 Câu 8: Giải bất phương trình ta x < 15 Câu 9: A AI AB AC AC AB + AC AB + AC b + c = = = = = = ID BD CD DC DB + DC BC a I B C D  Câu 10: ∆BAC  ∆ACD ( c.g.c ) ⇒  A1 = ABC mà A   =1800 ⇒  ABC + BCD ABC =1280 = ⇒ CAD ABC = 1280 B 12 D 16 A Câu 11: Vì AB / / CD nên C B DE DG DG DE = = = ⇒ DE = EB ⇒ = EB AB DC 5 DB E D G C Câu 12: Kẻ BE / / AC , E thuộc đường thẳng DC Có BD + BE = DE , suy ∆BDE vuông ∆HDB  ∆BDE ⇒ BH = ⇒ S ABCD = AC.BD = 96(cm ) A B 12 D Câu BE.BD 16.12 = = 9, DE 20 16 15 13: CD / / AM ⇒ Vì AD CM = ND CN 16 H C BC / / AN ⇒ E MB CM = BA CN ; Trang 10/3 ⇒ MB AD = ⇒ BM ND = AD.BA = a BA ND Câu 14: Áp dụng định lý Ta-let hệ ta có: OM ON = ⇒ OM = ON AB AB Ta lại có ON OB OM OD OM ON OB + OD DB ; = = ⇒ + = = =1 CD DB AB DB AB CD DB DB Vì OM = ON = 1 MN nên + = AB CD MN Câu 15: ∆CHD  ∆DCB ( g.g ) ⇒ CD CH = ⇒ CD = CH BD BD CD S EHC  CH   CH DB  = =    S EBD  DB   DB  2  CD   82  256 =  = =   625  BD   10  Câu 16: Gọi số lần x (lần) ( x ∈ N *) Số lần dừng x − (lần) Thời gian 10 5x + + + = + + + + x = x ( x + 1) (giây) 2,5 2,5 2,5 x ( x − 1) Thời gian dừng là: + + + + ( x − 1) = Theo đề ta có: x ( x + 1) + x ( x − 1) 2 (giây) = 551  x = 19 ( chon ) Giải phương trình ta được:   x = − 58 ( loai )  380 (giây) Thời gian 19 (19 + 1) = Khoảng cách AB là: 2,5.380 = 950 ( m ) Trang 11/3